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高中数学竞赛模拟试卷(2)


高中数学竞赛模拟试卷(2) 班级 姓名

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代 表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1.函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的定义域和值域都是 R ,且都有反函数,则函数

y = f 1 g 1 ( f ( x ) ) 的反函数是( A. y = f g ( f 1 ( x ) ) C . y = f 1 g ( f ( x ) )

(

)



(

)
)

B. y = f g 1 ( f 1 ( x ) )

(

)
)
x ,

(

D. y = f 1 g 1 ( f ( x ) )

(

2.集合 M 由满足如下条件的函数 f ( x ) 组成:当 x1 , x2 ∈ [ 1, 1 ] 时,有

f ( x1 ) f ( x2 ) ≤ 4 x1 x2 ,对于两个函数 f1 ( x ) = x 2 2 x + 5, f 2 ( x ) =
以下关系中成立的是( )

A. f1 ∈ M , f 2 ∈ M ; B. f1 M , f 2 M ; C. f1 M , f 2 ∈ M ; D. f1 ∈ M , f 2 M ;
3. ABC 中, BC = a, AC = b, AB = c, 则比式

( b + c a ) : ( a + c b ) : ( a + b c ) 等于
A B C : sin : sin 2 2 2 A B C C. tan : tan : tan 2 2 2 A. sin B. cos A B C : cos : cos 2 2 2 A B C D. cot : cot : cot 2 2 2

4.抛物线 y = 2 x 2 上两点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 关于直线 y = x + m 对称,

若 2 x1 x2 = 1 ,则 2m 的值是(

).

A. 3,

B. 4,

C. 5,

D. 6

x2 y2 5.椭圆 2 + 2 = 1 a b O, F , G , H ,则

( a > b > 0 ) 的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点依次为
的最大值为( ).

FG OH
1 , 3

A.

1 , 2

B.

C.

1 , 4

D. 不能确定.


6.函数 f ( x ) =

x 3 + 12 3 x 的值域为(

A. 1,

2

B. 1,

3

3 C. 1, 2

D.

[1, 2]

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

7.若

1 cos θ 1 = ,则 ( 4 + cos 3 θ ) ( 3 + sin 3 θ ) = 2 4 + sin θ 2

.

8.数列 { xn } : 1,3,3,3,5,5,5,5,5,L 由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数 k 连 续出现 k 次, k = 1,3,5,L ,如果这个数列的通项公式为 xn = a bn + c + d





则a+b+c+d = 9. x, y 为实数,满足 x 2 + y 2 ≤ 1 ,则 x 2 + 2 xy y 2 的最大值为 .

10.若集合 A 中的每个元素都可表为 1, 2,L ,9 中两个不同的数之积,则集 A 中元素个数 的最大值为 . 11.作出正四面体每个面的中位线,共得 12 条线段,在这些线段中,相互成异面直线的 “线段对”有 个. 12. 用五种不同的颜色给图中的 “五角星” 的五个顶点染色, (每 D 点染一色, 有的颜色也可以不用) 使每条线段上的两个顶点皆不同色,
E C

A

B

则不同的染色方法有

种.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13.设 a1 , a2 ,L , an 为正数,证明:

a1 + a2 + L + an + a2 + a3 + L + an + a3 + L + an + L + an

≥ a1 + 4a2 + 9a3 + L + n 2 an

14.已知二次函数 y = x 2 + 2mx n 2 (1)若 m,n 变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的 交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标。 (2)若此二次函数的图象经过点(1,1) ,且记 m,n + 4 两数中较大者为 P,试求 P 的最小值。

15.设 p 是质数,且 p 2 + 71 的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p .

高二数学竞赛模拟试卷(2)参考答案
二、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代 表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分.

1.函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的定义域和值域都是 R ,且都有反函数,则函数

y = f 1 g 1 ( f ( x ) ) 的反函数是( A. y = f g ( f 1 ( x ) ) C . y = f 1 g ( f ( x ) )
答:C. 解:由 y = f
1 1

(

)



(

)
)

B. y = f g 1 ( f 1 ( x ) )

(

)
)

(

D. y = f 1 g 1 ( f ( x ) )
1

(

( g ( f ( x ) ) ) 依次得 f ( y ) = g ( f ( x ) ) , g ( f ( y ) ) = f ( x ) ,
y = f 1 g ( f ( x ) ) .

f 1 g ( f ( y ) ) = x ,互易 x, y 得

(

)

(

)

2.集合 M 由满足如下条件的函数 f ( x ) 组成:当 x1 , x2 ∈ [ 1, 1 ] 时,有

f ( x1 ) f ( x2 ) ≤ 4 x1 x2 ,对于两个函数 f1 ( x ) = x 2 2 x + 5, f 2 ( x ) =
以下关系中成立的是( )

x ,

A. f1 ∈ M , f 2 ∈ M ; B. f1 M , f 2 M ; C. f1 M , f 2 ∈ M ; D. f1 ∈ M , f 2 M ;
答:D.
2 解: f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) = x12 x2 2 ( x1 x2 ) = x1 x2 x1 + x2 2 ≤ 4 x1 x2 .

f 2 ( x1 ) f 2 ( x2 ) =

x1

x2 =

x1 x2 x1 + x2

,取 x1 =

1 1 , x2 = , 900 3600

则 f 2 ( x1 ) f 2 ( x2 ) =

x1 x2 x1 + x2

=

x1 x2 = 20 x1 x2 > 4 x1 x2 . 1 1 + 30 60

3. ABC 中, BC = a, AC = b, AB = c, 则比式

( b + c a ) : ( a + c b ) : ( a + b c ) 等于
A B C : sin : sin 2 2 2 A B C C. tan : tan : tan 2 2 2 A. sin B. cos A B C : cos : cos 2 2 2 A B C D. cot : cot : cot 2 2 2

答: D.

A

A 解:如图易知, b + c a = 2 AD = 2r cot 2 B C a + c b = 2r cot , a + b c = 2r cot 2 2 因此选 D
2

D

I C

B

4.抛物线 y = 2 x 上两点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 关于直线 y = x + m 对称, 若 2 x1 x2 = 1 ,则 2m 的值是( ).

A. 3,
答: A . 解:由

B. 4,

C. 5,

D. 6

y1 y2 y + y2 x1 + x2 2 = 1, 1 = + m, 2 x1 x2 = 1 以及 y1 = 2 x12 , y2 = 2 x2 x1 x2 2 2

得 x2 x1 = y1 y2 = 2 x1 x2 , x1 + x2 =
2 2 2 2m = ( y1 + y2 ) ( x1 + x2 ) = 2 ( x12 + x2 ) +

(

)

1 , 2

1 2

= 2 ( x1 + x2 ) 4 x1 x2 +
2

1 1 1 = 2 + 2 + = 3 2 4 2

5.椭圆

x2 y2 + =1 a2 b2

( a > b > 0 ) 的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点依次为
的最大值为( ).

O, F , G, H ,则 1 , 2 答: C .

FG OH
1 , 3

A.

B.

C.

1 , 4

D. 不能确定.

解:

FG a c e 1 e 1 1 1 = 2 = 2 = 2 = ≤ .( e = 2 时取等号) a OH e ( e 1) + 1 2 + ( e 1) + 1 4 e 1 c
x 3 + 12 3 x 的值域为(


6.函数 f ( x ) =

A. 1,
答: D .

2

B. 1,

3

3 C. 1, 2

D.

[1, 2]
2

解: f ( x ) 的定义域为 3 ≤ x ≤ 4, 则 0 ≤ x 3 ≤ 1 ,令 x 3 = sin θ , 0 ≤ θ ≤

π
2

,则

f ( x ) = x 3 + 3 ( 4 x ) = sin θ + 3 (1 sin 2 θ ) = sin θ + 3 cos θ = 2 sin(θ + ) 3 π π 5π 1 π π ,则 ≤ sin(θ + ) ≤ 1, 1 ≤ 2sin(θ + ) ≤ 2 . 因 ≤θ + ≤ 3 3 6 2 3 3

π

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.若

1 cos θ 1 = ,则 ( 4 + cos 3 θ ) ( 3 + sin 3 θ ) = 2 4 + sin θ 2 答: 9 .
2 2

.

解:由条件得, 2 2 cos θ = 4 + sin θ , ( cos θ 1) = 4, cos θ = 1 则 4 + cos 3 θ 3 + sin 3 θ = 9 . 8.数列 { xn } : 1,3,3,3,5,5,5,5,5,L 由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数 k 连续出 现 k 次, k = 1,3,5,L ,如果这个数列的通项公式为 xn = a bn + c + d

(

)(

)





则a+b+c+d = 答: 3 . 解:由 xk 2 +1 = xk 2 + 2 = L = x
( k +1)2

= 2k + 1 ,即当 k 2 + 1 ≤ n ≤ ( k + 1) 时, xn = 2k + 1
2

k = n 1 ,所以 xn = 2 n 1 + 1 ,于是, ( a, b, c, d ) = ( 2,1, 1,1) , a + b + c + d = 3
9. x, y 为实数,满足 x 2 + y 2 ≤ 1 ,则 x 2 + 2 xy y 2 的最大值为 答: 2 . 解:设 x = r cos θ , y = r sin θ , 0 ≤ r ≤ 1, π < θ ≤ π ,则 .

x 2 + 2 xy y 2 = r 2 cos 2 θ + 2sin θ cos θ sin 2 θ = r 2 sin 2θ + cos 2θ

(当 = 2r 2 sin(2θ + ) ≤ 2 , r = 1, 2θ + = ± 时取等号). 4 2 4 10.若集合 A 中的每个元素都可表为 1, 2,L ,9 中两个不同的数之积,则集 A 中元素个数的 最大值为 答: 31 . .

π

π

π

解:从 1, 2,L ,9 中每次取一对作乘积,共得 C9 = 36 个值,但其中有重复,重复的情况为
2

1× 6 = 2 × 3, 1× 8 = 2 × 4, 2 × 9=3 × 6, 2 × 6 = 3 × 4, 3 × 8 = 4 × 6 ,共 5 种,因此集合 A 中
至多有 C9 5 = 31 个数 .
2

11.作出正四面体每个面的中位线,共得 12 条线段,在这些线段中,相互成异面直线的 “线段对”有 个. 答: 24 个“线段对”. 解:任取一条中位线 AB 考虑, AB 所在的侧面没有与 AB 异面的线段;含点 A 的另一个侧面 恰有一条中位线与 AB 异面;含点 B 的另一个侧面恰有一条中位线与 AB 异面;不含 A, B 的侧 面恰有两条中位线与 AB 异面;因此与 AB 异面的中位线共有 4 条,即含有线段 AB 的异面“线 (其中有重复). 段对”共有 4 个,于是得异面“线段对” 12 × 4 = 48 个, 但每一个异面“线段对”中有两条线段,故恰被计算了两次,因此得

48 = 24 个异面“线段对”. 2
种.

12.用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色, (每点染一色,有的颜色也可以不 用)使每条线段上的两个顶点皆不同色,则不同的染色方法有 答: 1020 种. D 解: 将其转化为具有五个扇形格的 圆盘染五色,使邻格不同色的染色问题。 设有 k 个扇形格的圆盘染五色的方法数 E 为 xk ,则有

D

A C

C

B E

xk + xk 1 = 5 4 k 1 ,于是

A

B

x5 = ( x5 + x4 ) ( x4 + x3 ) + ( x3 + x2 ) x2 = 5 ( 44 43 + 42 4 ) = 1020

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13.设 a1 , a2 ,L , an 为正数,证明:

a1 + a2 + L + an + a2 + a3 + L + an + a3 + L + an + L + an

≥ a1 + 4a2 + 9a3 + L + n 2 an
证:对 n 归纳, n = 1 时显然成立等号;设 n = k 时结论对于任意 k 个正数成立,
当 n = k + 1 时,对于任意 k + 1 个正数 a1 , a2 ,L , ak , ak +1 ,据假设有

a2 + a3 + L + ak +1 + a3 + L + ak +1 + L + ak +1 ≥ a2 + 4a3 + 9a4 + L + k 2 ak +1 ,…5 分

所以

a1 + a2 + L + ak +1 + a2 + a3 + L + ak +1 + L + ak +1

≥ a1 + a2 + L + ak +1 + a2 + 4a3 + 9a4 + L + k 2 ak +1
只要证,

a1 + a2 + L + ak +1 + a2 + 4a3 + L + k 2 ak +1 ≥ a1 + 4a2 + L + (k + 1)2 ak +1 … ○ 1
平方整理,只要证,

a1 + a2 + L + ak +1 a2 + 4a3 + L + k 2 ak +1 ≥ a2 + 2a3 + 3a4 + L + kak +1 …○…10 分 2
由柯西不等式


(

a2

) +( a )
2 3

2

+L+

(

2 ak +1

) ( a ) + (2 a )
2 2 3

2

2 + L + k ak +1

(

)



(

a2 a2 + a3 2 a3 + a4 3 a4 + L + ak +1 k ak +1

)

2

……………15 分



( a2 + L + ak +1 ) ( a2 + 4a3 + L + k 2 ak +1 ) ≥ (a2 + 2a3 + 3a4 + L + kak +1 )2

所以 ( a1 + a2 + L + ak +1 ) ( a2 + 4a3 + L + k 2 ak +1 ) ≥ (a2 + 2a3 + 3a4 + L + kak +1 ) 2 即○成立,因此当 n = k + 1 时结论成立.故由归纳法知,所证不等式成立. 2 ………………………………20 分
14.已知二次函数 y = x 2 + 2mx n 2 (1)若 m,n 变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的 交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标。

(2)若此二次函数的图象经过点(1,1) ,且记 m,n + 4 两数中较大者为 P,试求 P 的最小值。 [解答 : 解答]: 解答

(1)图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1 , 0), B ( x2 , 0), C (0, n 2 )。 又x1 x2 = n 2 , 若n = 0, 则与三个交点不符, x1 x2 = n 2 < 0,∴ x1 , x2 分在原点左右两侧。(3分) ∴ 又 Q x1 x2 = n 2 1, 存在点P0 (0,1)使得 OA OB = OP0 OC ,所以A, B, C , P0四点共圆, ∴ ∴ 这些抛物线必过定点P0 0, ( 1)(6分)
(2)由过点(1,1)得到: m =

n2 2
P

要比较m,n + 4大小,即: m n + 4) ( = n2 2 n + 4) (

1 = (n 2 2n 8) 2 1 = (n 4)n + 2) ( 2

o

n

n2 (n ≤ 2或n ≥ 4) 如图所示,当 n = 2 时∴ Pmin = 2 ∴P = 2 n + 4 ( 2 < n < 4)
15.设 p 是质数,且 p 2 + 71 的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p . 解:当 p = 2 时, p 2 + 71 = 75 = 3 × 52 ,有 (1 + 1)( 2 + 1) = 6 个正因数; 当 p = 3 时, p 2 + 71 = 80 = 24 × 5 ,有 ( 4 + 1)(1 + 1) = 10 个正因数. 所以 p = 2 、 p = 3 满足条件. 当 p > 3 时, p + 71 = ( p 1)( p + 1) + 72 .
2

其中 p 为奇质数, 所以 ( p 1) 与 ( p + 1) 是相邻的两个偶数, 从而必然有一个 2 的倍数和 4 个倍 数,还必然有一个 3 的倍数,从而 ( p 1)( p + 1) 是 24 的倍数.

设 p 2 + 71 = 24 × m = 23 × 3 × m ,其中 m ≥ 4 . 若 m 中有不同于 2 、 3 的质因数,则 p + 71 的正因数个数 ≥ ( 3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) > 10 ;
2

若 m 中含有质因数 3 ,则则 p + 71 的正因数个数 ≥ ( 3 + 1)( 2 + 1) > 10 ;
2

若 m 中仅有质因数 2 ,则 p + 71 的正因数个数 ≥ ( 5 + 1)(1 + 1) > 10 .
2

所以 p > 3 不满足条件. 综上所说,所求得的质数 p 是 2 或 3 .


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