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9-3平面内两直线位置关系


§9-3 平面内两直线的位置关系

一 平面内两直线位置关系
(1)平行

(2)重合
垂直 (3)相交 斜交

二 两直线平行

斜率存在

l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2

l1 l 2

?

α1=α2

?

tanα1=tanα2即k1=k2.

例1.已知直线方程, l1 证明 :

: 2 x ? 4 y ? 7 ? 0, l 2 : x ? 2 y ? 5 ? 0

l1 ∥ l 2

例2.求过点A(1,-4)且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线的方程. 练习:p248 2,3(垂直改平行)

三 两直线垂直
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2

两直线斜率存在且不为零 请问此时两直线夹角是多少度?
k 2 ? k1 1 ? k1k 2

1 两直线夹角 不大于90° tan ? ?

0 ? ? ? ? 90 ?

请问此时两直线垂直时两斜率有什么关系? 2

l1 ? l2 ?

k1· 2=-1 k

例3.已知两条直线: l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 , l 2 : 2 x ? y ? 5 ? 0 , 求两直线夹角

例4.求过点A(2,1),且与直线 垂直的直线 l 的方程.

2 x ? y ? 10 ? 0

练习:p248 1,3,4

探究提高 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是: Ax+By+m=0 (m∈R且m≠C) (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是

Bx-Ay+m=0 (m∈R)

例:a为何值时,直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0,
(1)平行;(2)垂直.

补充 (1)已知△ABC的顶点坐标为A(1,2),B(-1,1), C(0,3),求BC边上的高所在的直线方程. (2)已知两点A(7,-4),B(-5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程.

四 两直线相交

直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的
公共点的坐标与方程组 的解一一对应. 相交? 方程组有 唯一解 ,交点坐标就是方程组的解;
? A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

平行 重合

方程组 无解 ; ? 方程组有 无数个解 .
?

例 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. (1)先求出l1与l2的交点,再用点斜式; (2) 可利用直线系方程求解.

练习:p251 1

五 点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=
Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

例:求原点到直线x+2y-5=0的距离。

练习:p253 1,2

例:求 l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0, l 2 : x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离。

练习:p253 3
六 两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0
C2 ? C1 A ?B
2 2

(C1≠C2)间的距离为d=


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