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2013届高考理科数学第一轮复习测试题1

A 级 基础达标演练 (时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列各式中对 x∈R 都成立的是( A.lg(x2+1)≥lg(2x) 1 C. 2 ≤1 x +1 ).

B.x2+1>2x 1 D.x+ ≥2 x

解析 A、D 中 x 必须大于 0,故 A、D 排除,B 中应 x2+1≥ 2x,故 B 不正确. 答案 C 2.用反证法证明命题:“已知 a,b∈N,若 ab 可被 5 整除,则 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”时,反设正确的是( A.a,b 都不能被 5 整除 B.a,b 都能被 5 整除 C.a,b 中有一个不能被 5 整除 D.a,b 中有一个能被 5 整除 解析 由反证法的定义得,反设即否定结论. 答案 A 3.(2011· 福州调研)下列命题中的假命题是( A.三角形中至少有一个内角不小于 60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a,b∈Z,若 a+b 是奇数,则 a,b 中至少有一个为奇数 解析 a+b 为奇数? a,b 中有一个为奇数,另一个为偶数,故 D 错误. 答案 D 4.命题“如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 ( ). ). ).

A. 不成立 B.成立 C.不能断定 D.能断定 解析 ∵Sn=2n2-3n, ∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1 时,a1=S1=-1 符合上式). 又∵an+1-an=4(n≥1), ∴{an}是等差数列. 答案 B 1 1 1 5.设 a、b、c 均为正实数,则三个数 a+ 、b+ 、c+ ( b c a ).

A.都大于 2 C .至少有一个不大于 2

B.都小于 2 D.至少有一个不小于 2

解析 ∵a>0,b>0,c>0, 1 1 1 1 1 ∴?a+b?+?b+c?+?c+a?=?a+a?+?b+b?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?c+1?≥6, ? c?
当且仅当 a=b=c=1 时,“=”成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于 60°”时,假设应该是 ______________________________________________. 解析 用反证法证明命题时,假设结论不成立,即否定命题的结论. 答案 三角形的三个内角都大于 60° 7.要证明“ 3+ 7<2 5”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是________(填序号). ①反证法,②分析法,③综合法. 答案 ② 8.(2011· 韶关模拟)下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能 b a 使 + ≥2 成立的条件的个数是________. a b b a b a 解析 要使 + ≥2,只要 >0 且 >0,即 a,b 不为 0 且同号即可,故有 3 个. a b a b 答案 3 三、解答题(共 23 分) 1 1 1 9.(11 分)设 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8. a b ab 证明 ∵a+b=1, 1 1 1 a+b a+b a+b ∴ + + = + + a b ab a b ab b a a+b =1+ +1+ + ≥2+2 a b ab a+b ba ·+ a b ?a+b?2 ? 2 ?

1 =2+2+4=8,当且仅当 a=b= 时 等号成立. 2 |a|+|b| 10.(12 分)已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证: ≤ 2. |a+b| 证明 a⊥b a· b=0,

|a|+|b| 要证 ≤ 2. |a+b| 只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a· 2), b+b 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0, 上式显然成立,故原不等式得证. B 级 综合创新备选 (时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1 a+b? ? 2ab ? 1.已知函数 f(x)=?2?x,a,b 是正实数,A=f? ? ? ? 2 ?,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A、B、 C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A ). B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b 2ab 解析 ∵ ≥ ab≥ , 2 a+b 1 又 f(x)=?2?x 在 R 上是减函数. ? ? ∴f? 2ab a+b? ≤f( ab)≤f?a+b?. ? 2 ? ? ?

答案 A 2.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: ①1]( ).

A.n B.n+1 C.n-1 D.n2 解析 由(n+1)*1=n*1+1,得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1] 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 解析 首先 a≥0,b≥0 且 a 与 b 不同为 0. 要使 a a+b b>a b+b a,只需(a a+b b)2>(a b+b a)2,即 a3+b3>a2b+ab2,只需 (a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),只需 a2-ab+b2>ab,即(a-b)2>0,只需 a≠b.故 a,b 应满 足 a≥0,b≥0 且 a≠b. 答案 a≥0,b≥0 且 a≠b 4. x, z 是空间的不同直线或 不同平面, 设 y, 且直线不在平面内, 下列条件中能保证“若 x⊥z,

且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面;③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平面,z 为直线;⑤x,y,z 为直线. 解析 ①中 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z, ∴x∥平面 y 或 x?平面 y. 又∵x?平面 y,故 x∥y 成立. ②中若 x,y,z 均为平面,则 x 可与 y 相交,故②不成立. ③x⊥z,y⊥z,x,y 为不同直线,故 x∥y 成立. ④z⊥x,z⊥y,z 为直线,x,y 为平面可得 x∥y,④成立. ⑤x,y,z 均为直 线,x,y 可平行、异面、相交,故⑤不成立. 答案 ①③④ 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)若 a、b、c 是不全相等的正数,求证: lg a+b b+c c+a +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2

证明 ∵a,b,c∈(0,+∞), a+b b+c a+c ∴ ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ab>0. 2 2 2 又上述三个不等式中等号不能同时成立. a+b b+c c+a ∴ · · >abc 成立. 2 2 2 上式两边同时取常用对数, 得 lg? ∴lg a+b b+c c+a? ? 2 · 2 · 2 ?>lg(abc),

a+b b+c c+a +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2

6. 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点, f(c)=0, (12 若 且 0<x<c 时,f(x) >0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根; a 1 (2)试比较 与 c 的大小; a (3)证明:-2<b<-1. (1)证明 ∵f(x )的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根,

c 1 1 又 x1x2= ,∴x2= ?a≠c?, a a? ? 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根. a 1 1 (2)解 假设 <c,又 >0, a a 由 0<x<c 时,f(x)>0, 1 1 1 知 f?a?>0 与 f?a?=0 矛盾,∴ ≥c, ? ? ? ? a 1 1 又∵ ≠c,∴ >c. a a (3)证明 由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为 b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < .又 a>0, 2a a ∴b>-2,∴-2<b<-1.



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