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江西师大附中高三月考试卷数学


江西师大附中高三年级数学(理)月考试卷
命题人:曾 敏 审题人:李清荣 2016. 12 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分 . 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.定义集合 A ? x f ? x ? ? 2 x ? 1 , B ? y y ? log 2 2 x ? 2 ,则 A ? ?R B ? ( A. ?1, ?? ? B. ?0,1? C. ?0,1? D. ? 0, 2 ? )

?

? ?

?

??



4 3 2.若复数 z ? (cos? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数( i 为虚数单位) ,则 tan(? ? ? ) 的值为( 5 5 4

A. ? 7 3.下列说法正确的是( A. a ? R ,“

B. ? )

1 7

C. 7

D. ? 7 或 ?

1 7

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
2 2 C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”

D.命题 p :“ ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ”,则 ? p 是真命题 r r r r r r r r 4.已知向量 a, b 满足 a ? 2, a ? b ? a ? ?3 ,则 b 在 a 方向上的投影为(

?

?


1 2

A. ?

5.为了得到函数 y ? 3cos 2 x 的图象,只需把函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的图象上所有的点( )

2 3

B.

2 3

C. ?

1 2

D.
6

? A.向右平移 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 3

? 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 6
B.向右平移
1 (n ? N ? ), 数列 ?bn ? 的前 n 项 an ? 1
2

6.已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, bn ?

和为 Sn , 则 S100 的值为( ) 35 3 101 25 A. B. C. D. 36 10 25 101 7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法, b d 其理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 ( a, b, c, d ? N * ) , a c b?d 则 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值,我们知道 ? ? 3.14159 ? ? ? ,若令 a?c 31 49 31 16 16 ? ? ? ,则第一次用“调日法”后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值,即 ? ? ? , 10 15 10 5 5 若每次都取最简分数,那么第三次用“调日法”后可得 ? 的近似分数为 22 63 78 109 A. B. C. D. 7 20 25 35
高三数学(理)试卷 1 / 9

8.两圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 4by ? 1 ? 4b2 ? 0 恰有三条公切线,若 1 1 a? R , b ? R 且 ab ? 0 ,则 2 ? 2 的最小值为( ). a b 1 4 A. 1 B. 3 C. D. 9 9 ?x ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,点 P 是由不等式组 ? y ? 0 所确定的平面区域内的动点, Q ?x ? y ? 1 ? ??? ? ???? 是直线 2 x ? y ? 0 上任意一点, O 为坐标原点,则 | OP ? OQ | 的最小值为( )
5 2 2 B. C. D. 1 5 3 2 10.如图,正三棱柱 ABC?A1B1C1(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的 各条棱长均相等,D 为 AA1 的中点.M,N 分别是线段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含端点) ,且满足 BM=C1N.当 M,N 运动时,下列结论中 不正确 的是( ) ...

A.

A1 B1

C1

N D

A.平面 DMN⊥平面 BCC1B1 B.三棱锥 A1?DMN 的体积为定值 C.△DMN 可能为直角三角形 D.平面 DMN 与平面 ABC 所成的锐二面角范围为 (0, ] 4 11.已知关于 x 的方程 | x ? k |?

A

M

C

?

B

2 k x 在区间 [k ? 1, k ? 1] 上有两个不相等的实根,则实数 2

k 的取值范围是(
A. 0 ? k ? 2

) B. 0 ? k ? 3 C. 0 ? k ? 2 D. 0 ? k ? 1

12.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 6 ,底边 BC 在平面 ? 内,绕 BC 旋转该三棱锥,若 某个时刻它在平面 ? 上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是 ( ) 6 A . (0, 6] B . (0, ] ? [ 6,3] 2 3 6 6 C . (0, ] ] D . (0, 6] ? [3, 2 2 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上) 13.在计算“1×2+2×3+. . .+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法: 1 先改写第 k 项:k(k+1)= [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)] 3 1 由此得 1× 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) . 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) 3 . . . . . . . . . . . . .
高三数学(理)试卷 2 / 9

1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] . 3 1 相加,得 1× 2+2× 3+. . .+n(n+1) ? n(n ? 1)(n ? 2) 3 类比上述方法, 请你计算“1×2×3+2×3× 4+. . . .? n(n ? 1)(n ? 2) ”, 其结果是__________. (结果写出关于 n 的一次因式 的积 的形式) .... ..
14.如图是一个几何体的三视图,则该几何体外接球的体积为 . 4

15.若正数 a,b,c 满足 c2+4bc+2ac+8ab=8,则 a+2b+c 的最小 值为______ 4 ??2 x( x ? 0) 16. 已知函数 f ( x) ? ? ? x , 若关于 x 的方程 f [ f ( x)] ? m ? 0 恰有 ??e ( x ? 0) 两个不等实根 x1 、 x 2 ,则 x1 ? x2 的最小值为_____.

8

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) a?b a ?c ? 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , 已知 sin( A ? B) sin A ? sin B (Ⅰ)求角 B (Ⅱ)若 b ? 3, cos A ?
6 ,求 ?ABC 的面积。 3

18.(本小题满分 12 分)
2 ? 9a1a5 . 已知正项等比数列 {an } 满足 a1 , 2a2 , a3 ? 6 成等差数列,且 a4

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? (1 ? log 3 an ) ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为矩形,?ADE , ?BCF 均为等边三角形,

1 AB . 2 (Ⅰ)过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N ,使得 AF //平面 BDN , 试确定点 N 的位置,并予以证明; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值. EF / / AB, EF ? AD ?

E
D

F

C
B

A

高三数学(理)试卷 3 / 9

20.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 中, ?BCD 为正三角形, AD ? AB ? 2 , BD ? 2 3 ,AC 与 BD 交于 O 点. 将 ?ACD 沿边 AC 折起, 使 D 点至 P 点, 已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 ? , 且 P 点在平面 ABCD 内的射影落在 ?ACD 内. (Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBD; (Ⅱ)若已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为
21 ,求 ? 的大小. 7 P
C

D A

O

B

21.(本小题满分 12 分) x2 y 2 2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与抛物线 C2 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 a b F 重合,且点 F 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 , C1 与 C2 的一个交点的纵坐标为 6 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; D 两点, (Ⅱ) 过点 F 的直线 l 与 C1 交于 A, B 两点, 与 C2 交于 C, 求 取值范围.
1 1 ? 的 | AB | | CD |

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx (a, b ? R ) , g ( x) ? 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, 2) 内有且仅有一个极值点,求 m 的取值范围; 1 (Ⅲ)设 M ( x, y) ( x ? m ? ) 为两曲线 y ? f ( x) ? c (c ? R) , y ? g ( x) 的交点,且两曲 m 线在交点 M 处的切线分别为 l1 , l2 .若取 m ? 1 ,试判断当直线 l1 , l2 与 x 轴围成等腰三角形 时 c 值的个数并说明理由.

1 2 1 x ? (m ? ) x (m ? 0) ,且 y ? f ( x) 在 2 m

高三数学(理)试卷 4 / 9

高三数学(理)答案 1 B 2 A 3 A 4 D 5 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 C 11 D 12 B

13.

1 n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 4

14.

64 6?

15. 2 2

16.

1 ? ln 2

17. 解(Ⅰ)因为

a?b a?c ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

所以

a?b a?c , ? c a ?b

所以 a 2 ? b 2 ? ac ? c 2 ,

a 2 ? c2 ? b2 ac 1 ? ? ? ,又因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 2ac 2ac 2 3 6 3 a b (Ⅱ)由 b ? 3, cos A ? 可得 sin A ? , 由 可得 a ? 2 , ? 3 3 sin A sin B 3 ?3 2 而 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? 6 3 ?3 2 1 所以 ?ABC 的面积 S ? ab sin C ? 2 2
所以 cos B ? 18. 解(1)设正项等比数列 ?a n ?的公比为 q?q ? 0?
2 a4 ? 9 ? q ? ?3 ,因为 q ? 0 ,所以 q ? 3 . 2 a3 又 因 为 成 等 差 数 列 a1 ,2a2 , a3 ? 6 a1 ? ?a3 ? 6? ? 4a2 ? 0 ? a1 ? 9a1 ? 6 ?12a1 ? 0 ? a1 ? 3 2 2 由 a4 ? 9a1a5 ? 9a3 ? q2 ?

,





所以数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 3n . (2) 依题意得 bn ? ?2n ? 1?? 3n ,则

Tn ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n …………?

3Tn ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n ? ?2n ?1?? 3n?1 …………?

由?-?得

2Tn ? ?2n ?1?? 3n?1 ? 2 ? 32 ? 33 ? ? ? ? ? 3n ? 32
? ?2n ? 1? ? 3n?1 ? 2 ?

?

?

32 ? 3n?1 2 ? 3 ? 2n ? 3n?1 1? 3 所以数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? n ? 3n?1
19. 解: (Ⅰ)当 N 为线段 FC 的中点时,使得 AF // 平面 BDN , 证法如下:
高三数学(理)试卷 5 / 9

E
D

F

N C O
B

A

连结 AC , BD ,设 AC ? BD ? O , ∵四边形 ABCD 为矩形 ∴ O 为 AC 的中点 又∵ N 为 FC 的中点 ∴ ON 为 ?ACF 的中位线 ∴ AF // ON ∵ AF ? 平面 BDN , ON ? 平面 BDN ∴ AF // 平面 BDN ,故 N 为 FC 的中点时,使得 AF // 平面 BDN . (Ⅱ)过 O 作 PQ // AB 分别与 AD, BC 交于 P, Q , 因为 O 为 AC 的中点,所以 P, Q 分别为 AD, BC 的中点 ∵ ?ADE 与 ?BCF 均为等边三角形,且 AD ? BC ∴ ?ADE ≌ ?BCF ,连结 EP, FQ ,则得 EP ? FQ ∵ EF // AB , AB//PQ , EF ? ∴ EF // PQ

z
E
D

MF

N
P

C O

1 AB 2

A

Q y
B

x

G

1 P Q ∴四边形 EPQF 为等腰梯形. 2 取 EF 的中点 M ,连结 MO ,则 MO ? PQ , 又∵ AD ? EP, AD ? PQ, EP ? PQ ? P ∴ AD ? 平面 EPQF 过 O 点作 OG ? AB 于 G ,则 OG // AD ∴ OG ? OM , OG ? OQ ???? ??? ? ???? ? 分别以 OG, OQ, OM 的方向为 x, y, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 不妨设 AB ? 4 ,则由条件可得: 1 3 2 O(0, 0, 0), A(1, ?2, 0), B(1, 2, 0), F (0,1, 2), D( ?1, ?2, 0), N (? , , ) …8 分 2 2 2 ? ??? ? ? ?n?AB ? 0 ? ?4 y ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABF 的法向量,则 ? ? ??? 即? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?n?AF ? 0 ? ? 所以可取 n ? ( 2,0,1) ???? 3 1 2 由 BN ? (? , ? , ) ,可得 2 2 2 ??? ?? ??? ? ? 2 | BN ?n | 2 ? ? ? ∴直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值为 . | cos ? BN , n ?|? ??? 3 | BN || n | 3 E F?
20. 解:(Ⅰ)易知 O 为 BD 的中点,则 AC ? BD ,又 AC ? PO , 又 BD ? PO ? O , BD, PO ? 平面 PBD , 所以 AC ? 平面 PBD (Ⅱ)方法一:以 OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,过 O 垂直于 平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间 直角坐标系,则 A(0, ?1, 0) , B( 3,0,0) P(? 3 cos θ,0, 3sin θ) ? 易知平面 PBD 的法向量为 j ? (0,1,0) ??? ? ??? ? D AB ? ( 3,1,0) , AP ? (? 3 cos θ,1, 3sin θ)

P

z
C
y

? 设平面 ABP 的法向量为 n ? ( x, y, z)

O
A

B

? ??? ? ? ??? ? ? ? n ? AB ? 3x ? y ? 0 n ? AB ? ? 则由 ? ? ??? ? 得, ? ? ??? ? ? ? ? n ? AP ?n ? AP ? ? 3 cos θx ? y ? 3 sin θz=0
高三数学(理)试卷 6 / 9

? y ? ? 3x ? 解得, ? ,令 x ? 1 ,则 n ? (1, ? 3, cos θ ? 1) ? cos θ+1 sin θ x ?z ? sin θ ? ? ? 2 ? ? 则 | n? j | 3 21 解得, (cos θ+1) ? 3 ,即 2 | cos ? n, j ?|? ? ? ? ?
| n || j | 4? (cos θ+1)2 sin 2 θ 7
sin θ

3 sin θ ? cos θ=1,即 sin ? ? ?

? ?

??

π π 1 ? π? ? ? ,又 ? ? ? 0, ? ,∴ ? ? 故 ? ? 3 3 6? 2 ? 2?

21. 解: (Ⅰ)∵ C2 : y 2 ? 2 px 的焦点 F 的坐标为 (

p , 0) 2

p ? 1| ? 2 由点 F 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 得 2 2 ,0) 为椭圆的一个焦点 ∵p?0 解得 p ? 2 又 F (1 |
∵ C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 x 轴对称,

∴ a ?b ?1
2 2



2 而 C2 的方程为 y ? 4 x ,从而 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( , ? b ) ∴

3 2

9 6 ? 2 ?1 ② 2 4a b

x2 y 2 ? ? 1 ,点 F 的坐标为 (1, 0) 9 8 8 x2 y 2 F ? ? 1 求得 y ? ? (Ⅱ)当 l 过点 且垂直于 x 轴时, l 的方程为 x ? 1 代入 C1 : 3 9 8 16 ∴ | AB |? 把 x ? 1 代入 C2 : y 2 ? 4 x 求得 y ? ?2 ∴ | CD |? 4 3
联立①②解得 a ? 9, b ? 8 , ∴ C1 的方程为
2 2

此时

1 1 3 1 7 ? ? ? ? | AB | | CD | 16 4 16

当 l 与 x 轴不垂直时,要使 l 与 C2 有两个交点,可设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 此时设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) 把 直 线 l 的 方 程 与 椭 圆 C1

? y ? k ( x ? 1) ? 的 方 程 联 立 得 ? x2 y 2 得 ? ? 1 ? ?9 8

(8 ? 9k 2 ) x2 ?18k 2 x ? 9k 2 ? 72 ? 0
2 2 可得 x1 ? x2 ? 18k 2 , x1 x2 ? 9k ? 72 , ?1 ? 36 ? 64(k 2 ? 1) ? 0 2 8 ? 9k 8 ? 9k

∴ | AB |? 1 ? k

2

2 2 48(k 2 ? 1) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ( 18k 2 )2 ? 4?9k ? 72 ? 2 2

8 ? 9k

8 ? 9k

8 ? 9k

把直线 l 的方程与抛物线 C2 的方程联立得 ?

? y ? 4x
2

? y ? k ( x ? 1)

得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,
2 2 2 2

高三数学(理)试卷 7 / 9

2k 2 ? 4 可得 x3 ? x4 ? , ?2 ? 16(k 2 ? 1) ? 0 2 k 2k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) ? 2 ? ∴ | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? k2 k2


1 1 8 ? 9k 2 k2 ? ? ? | AB | | CD | 48(k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1)

8 ? 9k 2 ? 12k 2 21k 2 ? 8 7 13 ? ? ? 2 2 48(k ? 1) 48(k ? 1) 16 48(k 2 ? 1) 13 13 2 ?? ?0 ∵ k ?1 ? 1 ∴? 48 48(k 2 ? 1) 1 7 1 1 ? 综上可得 的取值范围是 ( , ] . 6 16 | AB | | CD | ?



1 7 1 1 ?( , ) ? 6 16 | AB | | CD |

a ? b ,∴ f ?(1) ? a ? b ? 1 ,又 f (1) ? b ? 0 ,∴ a ? 1, b ? 0 . x 1 1 1 1 (Ⅱ) h( x) ? ln x ? x 2 ? (m ? ) x ; ∴ h?( x) ? ? x ? ( m ? ) 2 m x m 1 1 由 h?( x) ? 0 得 ( x ? m)( x ? ) ? 0 , ∴ x ? m 或 x ? . m m 1 1 ? 2 ? m 时,函数 h( x) 在区间 (0, 2) 内有且 ∵ m ? 0 ,当且仅当 0 ? m ? 2 ? 或 0 ? m m
22. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 仅有一个极值点. 若0 ? m ? 2 ?

函数 h( x) 有极大值点 x ? m , 若0 ?

1 1 ,即 0 ? m ? ,当 x ? (0, m) 时 h?( x) ? 0 ;当 x ? (m, 2) 时 h?( x) ? 0 , m 2

1 1 1 ? 2 ? m ,即 m ? 2 时,当 x ? (0, ) 时 h?( x) ? 0 ;当 x ? ( , 2) 时 h?( x) ? 0 , m m m 1 1 ? 函数 h( x) 有极大值点 x ? , 综上, m 的取值范围是 ? ?m | 0 ? m ? 或m ? 2? . m 2 ? ? (Ⅲ)当 m ? 1 时,设两切线 l1 , l2 的倾斜角分别为 ? , ? , 1 an? = g ?( x) ? x ? 2 , 则 tan ? ? f ?( x) ? ,t x ∵ x ? 2 , ∴ ? , ? 均为锐角,当 ? ? ? ,即 2 ? x ? 1? 2 时,若直线 l1 , l2 能与 x 轴围成
等腰三角形,则 ? ? 2? ;当 ? ? ? ,即 x ? 1 ? 2 时,若直线 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三 角形,则 ? ? 2? .

an2? ? 由 ? ? 2? 得, tan ? ? t

2t an? 1 2( x ?2) ,得 = 2 1? t an ? x 1 ? ( x ?2)
高三数学(理)试卷 8 / 9

2

,即 3x ?8 x ?3 ?0 ,此
2

方程有唯一解 x ?

4? 7 ? (2,1 ? 2) ,直线 l1 , l2 能与 x 轴围成一个等腰三角形. 3
1

2? 2t an? x ,即 x3 ? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , an2? ? 由 ? ? 2? 得, tan ? ? t ,得 x- 2= 2 1? t an ? 1 1? x2

设 F ( x) ? x ? 2 x ? 3x ? 2 , F ?( x) ? 3x ? 4 x ? 3 ,
3 2 2

当 x ? (2, ??) 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (2, ??) 单调递增,则 F ( x) 在 (1 ? 2, ??) 单

5 ,所以 F (1 ? 2) ? 0 ,则 F (1 ? 2) F (3) ? 0 , 2 3 2 即方程 x ? 2 x ? 3x ? 2 ? 0 在 (2, ??) 有唯一解, 直线 l1 , l2 能与 x 轴围成一个等腰三角形.
调递增,由于 F ( ) ? 0 ,且 1 ? 2 ? 因此,当 m ? 1 时,有两处符合题意,所以 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形时, c 值的个数 有 2 个.

5 2

高三数学(理)试卷 9 / 9


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