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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:2.2对数函数第3课时课堂探究学案(含答案)

2.2 对数函数 课堂探究 探究一 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数必须是形如 y=logax(a>0,且 a≠1)的形式,即必须满足以下 条件: (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数. (3)对数的真数仅有自变量 x. 【典型例题 1】 下列函数中,哪些是对数函数? (1)y=logax (a>0,且 a≠1); (2)y=log2x-1; (3)y=2log8x; (4)y=logxa(x>0,且 x≠1); (5)y=log5x. 思路分析:根据对数函数的定义进行判断. 解:只有(5)为对数函数. (1)中真数不是自变量 x,故不是对数函数; (2)中对数式后减 1,故不是对数函数; (3)中 log8x 前的系数是 2,而不是 1, 故不是对数函数; (4)中底数是自变量 x,而非常数 a,故不是对数函数. 探究二 对数函数的图象问题 1.画对数函数 y=logax 的图象时,应牢牢抓住三个关键点(a,1),(1,0), ? 2 ?1 ? , ?1? . ?a ? 2.对数函数图象与直线 y=1 的交点横坐标越大,则对应的对数函数的底数越大. 3.函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的底数变化对图象位置的影响 观察图象,注意变化规律: (1)上下比较:在直线 x=1 的右侧,当 a>1 时,a 越大,图象越靠近 x 轴,当 0<a<1 时, a 越小,图象越靠近 x 轴. (2)左右比较: (比较图象与 y=1 的交点)交点的横坐标越大, 对应的对数函数的底数越 大. 【典型例题 2】 画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调 区间: (1)y=log3(x-2);(2)y=|log 1 x|. 2 解:(1)函数 y=log3(x-2)的图象如图①.其定义域为(2,+∞),值域为 R,在区间(2, +∞)上是增函数. 图① (2)y=|log 1 x|= ? 2 0 ? x ? 1, ?log 1 x, ? 2 ? ?log 2 x,x ? 1, 其图象如图②. 图② 其定义域为(0,+∞),值域为[0,+∞),在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函 数. 规律总结 1.函数 y=loga(x+m)(a>0,且 a≠1)的图象可由函数 y=logax 的图象向左 (m>0)或向右(m<0)平移|m|个单位而得到. 2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换.一般地,y=|f(x)|的图象是保留 y =f(x)的图象在 x 轴上方的部分, 并把 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得 到的. 探究三 与对数函数有关的定义域问题 求与对数函数有关的函数定义域时, 除遵循前面求函数定义域的方法外, 还要对这种函 数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意底数. 【典型例题 3】 求下列函数的定义域: (1)y= lg? 2 ? x ? ; (2)y= 1 ; log3 ?3x ? 2? (3)y= log 4 ? 4 ? x ? . x?3 解:(1)要使函数式有意义,则 lg(2-x)≥0, ∴? ?2-x ? 0, ∴x≤1. ?2-x ? 1, 故函数的定义域为(-∞,1]. (2)要使函数式有意义,则 log3(3x-2)≠0, ∴? ?3x-2 ? 0, ?3x-2 ? 1, 2 ,且 x≠1. 3 ∴x> 故函数的定义域为 ? ,1? ∪(1,+∞). (3)要使函数有意义,则有 ? ?2 ? ?3 ? ?4-x ? 0, 解得 x<4,且 x≠3, ? x-3 ? 0, 故函数的定义域为(-∞,3)∪(3,4). 探究四 易错辨析 易错点 求函数的定义域时先对解析式变形 【典型例题 4】 已知函数 f(x)=log5(x-1) ,求 f(x)的定义域. 错解:f(x)=2log5(x-1),要使 f(x)有意义,则 x-1>0,解得 x>1,则 f(x)的定义域 是(1,+∞). 错因分析:错解中,由于对 f(x)的解析式变形后再求定义域,导致出错. 正解:要使 f(x)有意义,则(x-1) >0,解得 x≠1,则 f(x)的定义域是(-∞,1)∪(1, +∞). 反思求函数 f(x)的定义域时, 不能对 f(x)的解析式变形, 否则会导致求出的定义域“变 大”或“缩小”. 2 2


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