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2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 十三、函数和导数(逐题详解)

2014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版) 十三、函数和导数(逐题详解)
第 I 部分 1.【2014 年陕西卷(理 10) 】如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水 平距离 10 千米处下降, 为( ) 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分, 则函数的解析式

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 x ?x (C) y ? 125
(A) y ? 【答案】 【解析】 A

(B) y ?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 x ? x (D) y ? ? 125 5

三次奇函数过点 (0,0), (5, - 2) , 且x = 5为极值点, 即f ′(5) = 0.对A而言, ? f ( x) = 3x2 3 3 3 ∴ f (5) = 1 - 3 = -2,f ′( x) = - ,f ′(5) = - = 0.只有A符合.选A 125 5 5 5

1 3 3 x - x 125 5

2.【2014 年陕西卷(理 07) 】下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函 数是( )
1 2

(A) f ? x ? ? x

(B) f ? x ? ? x

3

?1? (C) f ? x ? ? ? ? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3

x

【答案】 【解析】

D

只有C不是递增函数 .对D而言,f ( x + y) = 3x+ y , f ( x) ? f ( y) = 3x ? 3y = 3x+ y.选D
1

3.【2014 年安徽卷(理 06) 】设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时,

f ( x) ? 0 ,则 f (
1 2

23? )? 6
(B)

(A)

3 2

(C) 0

(D) ?

1 2

【答案】A 【解析】法一: f ( 法二:

23? 17? 17? 11? 11? 1 5? 5? 1 )? f( ) ? sin ? f ( ) ? sin ? ? f ( ) ? sin ? 6 6 6 6 6 2 6 6 2

f ( x ? 3? ) ? f ( x ? 2? ) ? sin(x ? 2? ) ? f ( x ? ? ) ? sin(x ? ? ) ? sin(x ? 2? ) ? f ( x) ? sin x

f(

23? 5? 5? 1 ) ? f ( ) ? sin ? 6 6 6 2

4.【2014 年安徽卷(理 09) 】若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值为 3 ,则实数 a 的值为

(A) 5 或 8

(B) ? 1 或 5

(C) ? 1 或 ? 4

(D) ? 4 或 8

【答案】D 【解析】若 a ? 2 ,则当 ?

a a ? x ? ?1 时,由 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a ? x ? a ? 1 ? ? 1 ? 3 2 2

可得 a ? 8 符合要求; 若 a ? 2 ,则当 ? 1 ? x ? ?

a a 时,由 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a ? 1 ? a ? x ? 1 ? ? 3 2 2

可得 a ? ?4 符合要求;综上所述, a ? ?4 或 8 。

2

5.【2014 年福建卷(理 04) 】若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函 数图象正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由题意可知图象过(3,1) ,故有 1=loga3,解得 a=3, 选项 A,y=a =3 =
3 ﹣x ﹣x

单调递减,故错误;

选项 B,y=x ,由幂函数的知识可知正确; 3 3 选项 C,y=(﹣x) =﹣x ,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误; 选项 D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x) ,当 x=﹣3 时,y=1, 但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误.故选:B.

6. 【2014 年福建卷 (理 07) 】 已知函数 f (x) = A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数

, 则下列结论正确的是 (



B. f(x)是增函数 D. f(x)的值域为[﹣1,+∞)

【答案】D 【解析】由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数, 2 当 x>0 时,f(x)=x +1,为二次函数的一部分, 故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性, 故可排除 A、B、C,对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,函数的值域为值域为(1,+∞) , 故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确.故选:D

3

7.【2014 年湖南卷(理 03) 】已知分别 f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 1 ,则 f (1) ? g (1) ?
A. ? 3 B.

?1

C. 1

D. 3

【答案】C 【解析】令 x ? ?1 可得 f (?1) ? g (?1) ? f (1) ? g (1) ? 1 ,所以故选 C. 或者观察求得 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ( x) ? ? x 3 ,可求得 f (1) ? g (1) ? 1

8.【2014 年湖南卷(理 08) 】 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为 p ,第 二年的增长率为 q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A. C.

p?q 2 pq

B.

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 2 D. ( p ? 1)(q ? 1) ? 1

【答案】D 【解析】设两年的平均增长率为 x ,则有 ?1 ? x ? ? ?1 ? p ??1 ? q ?
2

?x?

?1 ? p ??1 ? q ? ? 1,故选 D.
1 ( x ? 0) 与 g ( x) ? x 2 ? ln(x ? a) 2

9. 【2014 年湖南卷 (理 10) 】 已知函数 f ( x) ? x ? e ?
2 x

的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是 A. (?? ,

1 e

)

B.

(?? , e )

C. ( ?

1 e

, e)

D.

(? e ,

1 e

)

【答案】B

1 2 ? ? ? x0 ? ? ln ? ? x0 ? a ? 2 1 1 ? e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ? ? 0 ,当 x0 趋近于负无穷小时,e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ? 趋近于 ?? , 2 2 1 因为函数 y ? e x ? ln ? ? x ? a ? ? 在定义域内是单调递增,所以 ln a ? ln e ? a ? e ,故 2
2 【解析】由题可得存在 x0 ? ? ??, 0 ? 满足 x0 ?e 0 ? x

选 B.

4

10.【2014 年辽宁卷(理 03) 】已知 a ? 2

?

1 3

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
D. c ? b ? a



A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

【答案】C 【解析】∵0<a= <2 =1,b=log2 <log21=0,c=log
0

=log23>log22=1,

∴c>a>b.故选:C

11.【2014 年辽宁卷(理 11) 】当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实
3 2

数 a 的取值范围是(



A. [?5, ?3]

B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

【答案】C 【解析】当 x=0 时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 对任意 a∈R 恒成立; 当 0<x≤1 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≥
3 2 3 2



令f (x) =

, 则 f′ (x) =

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≤
3 2



由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当﹣1<x<0 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是[﹣6,﹣2].

5

12.【2014 年辽宁卷(理 12) 】已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为(

A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

【答案】B 【解析】依题意,定义在[0,1]上的函数 y=f(x)的斜率|k|< , 不妨令 k>0,构造函数 f(x)= (0<k< ) ,

满足 f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|< |x﹣y|. 当 x∈[0, ],且 y∈[0, ]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y| ≤k| ﹣0|=k× < ; 当 x∈[0, ],且 y∈[ ,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)| =|k(x+y)﹣k|≤|k(1+ )﹣k|= < ; 当 y∈[0, ],且 y∈[ ,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|< ; 当 x∈[ ,1],且 y∈[ ,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)| =k|x﹣y|≤k×(1﹣ )= < ; 综上所述,对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|< , ∵对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<k 恒成立, ∴k≥ ,即 k 的最小值为 .故选:B

6

13.【2014 年全国大纲卷(03) 】设 a ? sin 33 , b ? cos 55 , c ? tan 35 ,则(
0 0 0



A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

【答案】C 【解析】由诱导公式可得 b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b>a, 而 c=tan35°= >sin35°=b,∴c>b>a 故选:C

14.【2014 年全国大纲卷(07) 】曲线 y ? xe

x ?1

在点(1,1)处切线的斜率等于(



A.2e

B.e

C.2

D.1

【答案】C 【解析】函数的导数为 f′(x)=e +xe =(1+x)e ,当 x=1 时,f′(1)=2, x﹣1 即曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率 k=f′(1)=2,故选:C
x﹣1 x﹣1 x﹣1

15.【2014 年全国大纲卷(12) 】函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线

x ? y ? 0 对称,则 y ? f ( x) 的反函数是(



A. y ? g ( x)

B. y ? g (? x)

C. y ? ? g ( x)

D. y ? ? g ( ? x )

【答案】D 【解析】设 P(x,y)为 y=f(x)的反函数图象上的任意一点, 则 P 关于 y=x 的对称点 P′(y,x)一点在 y=f(x)的图象上, 又∵函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称, ∴P′(y,x)关于直线 x+y=0 的对称点 P″(﹣x,﹣y)在 y=g(x)图象上, ∴必有﹣y=g(﹣x) ,即 y=﹣g(﹣x)∴y=f(x)的反函数为:y=﹣g(﹣x)

7

16.【2014 年山东卷(理 03) 】函数 f ( x) ?

1 (log2 x) 2 ? 1

的定义域为

(A) (0, )

1 2

(B) ( 2, ? ?)

(C) (0, ) ? ( 2,?? )

1 2

? ?) (D) (0, ] ? [ 2,

1 2

【答案】C

? log 2 x ?
【解析】

2

? 1 ? 0 ?log2 x ? 1 或? log 2 x ? ?1? x ? 2 或? 0 ? x ?

1 。 2

17.【2014 年山东卷(理 08) 】已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 1 g ?x ? ? kx .若方程 f , 有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是

?x ? ? g ?x ?

(1, 2) (2, ? ?) (A) (B) (C) (D) (0, ) ( , 1)

1 2

1 2

【答案】B 画出 f ? x ? 的图象最低点是 ? 2,1? , g ? x ? ? kx 过原点和 ? 2,1? 时斜率最小为 【解析】 率最大时 g ? x ? 的斜率与 f ? x ? ? x ?1的斜率一致。

1 ,斜 2

18.【2014 年四川卷(理 09) 】已知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) , x ? (?1,1) 。现有下列命 题: ① f (? x) ? ? f ( x) ;② f ( 的序号是 A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②

2x ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | 。其中的所有正确命题 x ?1
2

【答案】B 【解析】 f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? f ( x) 故①正确

8

f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln

1? x ? 1? x

2x 1? 2 2x x ? 1 ? ln(1 ? x ) 2 ? 2 ln 1 ? x ? 2 f ( x) f ( 2 ) ? ln 2x x ?1 1? x 1? x 1? 2 x ?1

当 x ? [0,1) 时, | f ( x) |? 2 | x |? f ( x) ? 2 x ? 0 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 2 x ( x ? [0,1) ) 因为 g ?( x) ?

1 1 2 x2 ? ?2? ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0,1) 单增, 1? x 1? x 1 ? x2

g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? g (0) ? 0
即 f ( x) ? 2 x ,又 f ( x) 与 y ? 2 x 为奇函数,所以 | f ( x) |? 2 | x | 成立故③正确

19.【2014 年天津卷(理 04) 】函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 4) 的单调递增区间为
2

A. (0 , ??)

B. (?? , 0)

C. (2 , ??)

D. (?? , ?2)

【答案】D
?x -4>0, ? 【解析】要使 f(x)单调递增,需有? 解得 x<-2. ?x<0, ?
2

20.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 03) 】设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函 数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数
C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
【答案】 :C

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

【解析】 :设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (?x) ? f (?x) g ( ?x) ,∵ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,∴ F (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x ) 为奇函数,选 C.
9

21.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 11) 】已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零
3 2

点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

【答案】 :B 【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

2 , a

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 B

3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3

1 1 ? x x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 x

y ? ?t 3 ? 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t ) ? ?t 3 ? 3t , f ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ,由
f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 , t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,

t ? ?1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 B

22.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 08) 】设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D

1 . 【解析】 x+1 ∴ f (0) = 0, 且f ′(0) = 2.联立解得a = 3.故选D. ? f ( x) = ax - ln(x + 1),∴ f ′( x) = a 10

23. 【2014 年全国新课标Ⅱ (理 12) 】 设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满

m

2 足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( 2



A.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?2? ? ? 2, ??
C

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??

【答案】

πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 【解析】 m2 m2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4 ? f ( x) = 3 sin

24.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 15) 】已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 . 若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________.

【答案】

(-1, 3) .

? 偶函数y ? f ( x)在[0,??)上单减,且f (2) ? 0
【解析】

∴ f ( x) ? 0的解集为| x | ? 2. ∴ f ( x - 1) ? 0的解集为| x - 1 | ? 2,解得x ? (-1, 3) . 故解集为| x - 1 | ? 2,解得x ∈ (-1, 3) .

25.【2014 年北京卷(理 02) 】下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(



A. y ? x ? 1

B. y ? ( x ? 1)2

C. y ? 2 ? x

D. y ? log0.5 ( x ? 1)

【答案】A 【解析】解:由于函数 y= 在(﹣1,+∞)上是增函数,故满足条件, 2 由于函数 y=(x﹣1) 在(0,1)上是减函数,故不满足条件, ﹣x 由于函数 y=2 在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件, 由于函数 y=log0.5(x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,故不满足条件,

11

f ( x) g( x) d x ? 0 26. 【2014 年湖北卷 (理 06) 】 若函数f(x),g ( x) 满足 ??1 , 则称f(x),g ( x)
为区间[-1,1] 上的一组正交函数,给出三组函数:

1

f ( x) ? sin


1 1 x, g ( x) ? cos x 2 2 2 ;② f ( x) ? x ? 1,g( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x,g( x) ? x


其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( A.0 【答案】 C 【解析】 对①, B.1 C.2 D.3

?

1

?1

(sin

1 1 1 1 1 x ? cos x)dx ? ? ( sin x)dx ? ? cos x |1 则 f ( x ) 、g ( x) ?1 ? 0 , ?1 2 2 2 2

为区间 [ ?1,1] 上的正交函数; 对②,
1 1 3 4 2 1 ( x ? 1)( x ? 1) dx ? 则 f ( x ) 、g ( x) ??1 ??1 ( x ? 1)dx ? ( 3 x ? x) |?1 ? ? 3 ? 0 , 1

不为区间 [ ?1,1] 上的正交函数; 对③,

?

1 x 3 dx ? ( x 4 ) |1 ?1 ? 0 ,则 f ( x ) 、 g ( x ) 为区间 [ ?1,1] 上的正交函数. ?1 4
1

所以满足条件的正交函数有 2 组.

27. 【 2014 年湖北卷(理 10 ) 】已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ?
围为(

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范 2


A. [?

1 1 , ] 6 6

B. [?

6 6 , ] 6 6

C.

1 1 [? , ] 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

【答案】 B

? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 ? 2 2 2 【解析】 依题意,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? a , a ? x ? 2a ,作图可知, f ( x ) 的最小值为 ?? x,0 ? x ? a 2 ?
2 ? a2 , 因为函数 f ( x ) 为奇函数, 所以当 x ? 0 时 f ( x ) 的最大值为 a , 因为对任意实数 x 都

12

有, f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以, 4a 2 ? (?2a 2 ) ? 1,解得 ?

6 6 ?a? , 6 6

故实数 a 的取值范围是 [?

6 6 , ]. 6 6

28.【2014 年江西卷(理 02) 】 函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为 A. (0,1) B. [0,1] C. (??,0) ? (1,??) D. (??,0] ? [1,??)

【答案】C 【解析】

Q x2 ? x ? 0

? x ? 1或x ? 0

| x| 2 29. 【2014 年江西卷 (理 03) 】 已知函数 f ( x) ? 5 ,g ( x) ? ax ? x(a ? R) , 若 f [ g (1)] ? 1 ,

则a ? A. 1 【答案】A B. 2 C. 3 D. ?1

Q f ? g ? x ? ? ? 1 ? 50
【解析】

? g ?1? ? 0 ? a ?1 ? 0 ?a ?1
2

30.【2014 年江西卷(理 08) 】若 f ( x ) ? x ? 2 A. ?1 B. ?

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ?
0

1

1 3

C.

1 3

D.1

【答案】B 【解析】设 m ?
2

? f ? x ?dx ,
0

1

则 f ( x) ? x ? 2m , 所以 m ? ?

?

1

0

f ( x)dx ? ? x 2 ? 2 ? f ( x) dx dx ?
0 0

1

?

1

?

1 3 1 x ? 2mx ? ? 2m ? m , 3 3 0

1

1 . 3
13

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 31.【2014 年上海卷(理 18) 】设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 1 ? x ? ? a, x ? 0. x ?

a 的取值范围为(
(A) [?1 , 2] .

) (B) [?1 , 0] . (C) [1 , 2] . (D) [0 , 2] .

【答案】D

【解析】 :先分析 x ? 0 的情况,是一个对称轴为 x ? a 的二次函数,当 a ? 0 时,

f ( x)min ? f (a) ? f (0) ,不符合题意,排除 AB 选项;当 a ? 0 时,
根据图像 f ( x)min ? f (0) ,即 a ? 0 符合题意,排除 C 选项;∴选 D;

32.【2014 年浙江卷(理 06) 】已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,且
3 2

0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3 ,则
A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6 C. 6 ? c ? 9 D. c ? 9

【答案】C 【解析】由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得 ,解得 ,

f(x)=x +6x +11x+c,由 0<f(﹣1)≤3,得 0<﹣1+6﹣11+≤3,即 6<c≤9,故选 C

3

2

33. 【2014 年浙江卷 (理 07) 】 在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? x ( x ? 0) ,g ( x) ? loga x
a

的图象可能是

【答案】D
14

【解析】当 0<a<1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

a

此时答案 D 满足要求, 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:
a

无满足要求的答案,综上:故选 D

34. 【2014 年浙江卷 (理 10) 】 设函数 f1 ( x) ? x2 , f2 ( x) ? ( 2 x ? x2 ) , f 3 ( x ) ?

1 | sin 2? x | , 3

ai ?

i , i ? 0 , 1, 2 ,..., 99 ,记 99 I k ?| fk (a1 ) ? fk (a0 ) | ? | fk (a2 ) ? fk (a1 ) | ? ... ? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | , k ? 1,2,3,则
A. I1 ? I 2 ? I3 C. I1 ? I3 ? I 2 B. I 2 ? I1 ? I3 D. I3 ? I 2 ? I1

【答案】B 【解析】由 = ,故 =1,

15

由 <1, + = , 故 I2<I1<I3,故选:B.

,故

第 II 部分
2 ? ? x ? x( x ? 0) 2 ,则实数 a 的 35.【2014 年浙江卷(理 15) 】设函数 f ( x ) ? ? 2 ,若 f ( f (a)) ? ? ? ? x ( x ? 0)

取值范围是______. 【答案】 (﹣∞, ] 【解析】∵ 函数 f(x)= ,它的图象如图所示:由 f(f(a) )≤2,可得 f
2

(a)≥﹣2.由 f(x)=﹣2,可得﹣x =﹣2,即 x= 实数 a 的取值范围是 a≤ ,

,故当 f(f(a) )≤2 时,则

36.【2014 年陕西卷(理 11) 】已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
a

16

【答案】
a

10
2a 1 1 , 所以x = 102 = 10. 2

, lg x = a = 【解析】? 4 = 2 = 2, lg x = a,∴ 2a = 1

37.【2014 年重庆卷(理 12) 】函数 f ( x) ? log 2

x ? log 2 (2 x) 的最小值为_________.

【答案】 ?

1 4

【解析】因为 log 2

1 x ? log 2 x,log 2 (2 x) ? log 2 4 x 2 ? 2 ?2log 2 x ,设 t ? log 2 x ,则: 2 1 1 2 1 1 1 2 原式 ? t (2 ? 2t ) ? t ? t ? (t ? ) ? ? ? ,故最小值为 ? 2 2 4 4 4

38.【2014 年山东卷(理 15) 】已知函数 y ? f ( x)( x ? R) ,对函数 y ? g ? x ?? x ? I ? ,定义

g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称函数”为函数 y ? h ? x ?? x ? I ? , y ? h ? x ? 满足:对任意 x ? I ,
两 个 点 x, h? x ? , x, g ? ?x 关 于 点 x, f ? x? 对 称 , 若 h ? x ? 是 g ? x ? ? 的 “对称函数” , 且 h ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 则实数 b 的取值范围是 f ? x? ? 3 x? b

?

??

?

?

?

4 ? x2 关 于


b ? 2 10
【答案】 【解析】 根据图像分析得,当 f ( x) ? 3x ? b 与 g ( x) ? 4 ? x2 在第二象限相切时,

b ? 2 10 ,由 h( x) ? g ( x) 恒成立得 b ? 2 10 .

39.【2014 年四川卷(理 12) 】设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ? [?1,1) 时,

17

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? 2 0 ? x ? 1, ? x,



【答案】 1 【解析】 f ( ) ? f ( ? ) ? ?4 ? (? ) 2 ? 2 ? 1

3 2

1 2

1 2

40.【2014 年四川卷(理 15) 】以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质 的函数 ? ( x) 组成的集合:对于函数 ? ( x) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于 区间 [? M , M ] 。例如,当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ? 2 ( x) ? B 。现有如 下命题: ①设函数 f ( x) 的定义域为 D ,则“ f ( x) ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , ; f (a) ? b ” ②函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 其中的真命题有

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

。 (写出所有真命题的序号)

【答案】①③④

2 41. 【2014 年天津卷 (理 14) 】 已知函数 f ( x) ?| x ? 3x | ,x ? R .若方程 f ( x) ? a | x ? 1|? 0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为_____________.

【答案】 0 < a < 1 或 a > 9 . 【解析】在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x-1|的图像如图所示.当 y=a|x-1|
? ?-ax+a=-x -3x, 2 与 y=f(x)的图像相切时,由? 整理得 x +(3-a)x+a=0,则 ?a>0, ?
2

Δ =(3-a) -4a=a -10a+9=0,解得 a=1 或 a=9.故当 y=a|x-1|与 y=f(x)
18

2

2

的图像有四个交点时,0<a<1 或 a>9.

42.【2014 年江苏卷(理 10) 】已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1,若对于任意 x ? [m, m ? 1] , 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取值范围是 .

【答案】 ( ?

2 ,0 ) 2

【解析】二次函数开口向上,在区间 [ m, m ? 1] 上始终满足 f ( x) ? 0 ,只需 ?

? f (m) ? 0 即 ? f (m ? 1) ? 0

? 2 2 ? ?m? 2 2 ? ? m ? m ? 1 ? 0 ? ? 2 ,则 m ? (? 2 ,0) 可, ? ,解得 ? 2 2 2 ? ?(m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0 ?? 3 ? m ? 0 ? ? 2

2 43.【2014 年江苏卷(理 11) 】在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax ?

b (a, b为常数 ) x


过点 P(2,?5) ,且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是

【答案】

1 2

19

' 【解析】根据 P 点在曲线上,曲线在点 P 处的导函数值等于切线斜率, y ? 2ax ?

b , x2

b ? 3 ? 5 ? 4a ? ? ? 7 1 ? ?a ? ? 2 k ? ? ,将 P(2,?5) 带入得 ? ,解得 ? 2 ,则 a ? b ? 2 2 ?4 a ? b ? ? 7 ? ?b ? 2 ? 4 2 ?

44.【2014 年江苏卷(理 13) 】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x[0,3) 时,

f ( x ) ?| x 2 ? 2 x ?
取值范围是 .

1 | y ? f ( x) ? a 在区间 [?3,4] 上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的 2

【答案】 ( 0, ) 【解析】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找 y ? f ( x) 与 y ? a 的图象交
2 点去推出零点,先画出[0,3]上 y ? x ? 2 x ?

1 2

1 的图像,再将 x 轴下方的图象对称 2

到上方,利用周期为 3,将图象平移至 [?3,4] ,发现若 f ( x) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的交点,则 a ? (0, )

1 2

45.【2014 年广东卷(理 10) 】曲线 y ? e

?5 x

? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为



【答案】 5x ? y ? 3 ? 0 【解析】由题知: y? ? ?5e
?5 x

,∴ k ? f ?(0) ? ?5 ,由点斜式直线方程的曲线切线方程为:

y ? 3 ? ?5x ,即 5x ? y ? 3 ? 0 .

46.【2014 年湖北卷(理 14) 】设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数,且 f ?x ? ? 0 ,对任意

a ? 0, b ? 0 ,若经过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b?? 的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a , b 关于
函 数 f ?x ? 的 平 均 数 , 记 为 M f (a, b) , 例 如 , 当 f ?x ? ? 1( x ? 0) 时 , 可 得

20

M f ( a, b) ? c ?

a?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术平均数. 2

(1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (2)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

2ab ; a?b

【答案】 (1) x (2) x

【解析】 : (1)设 f (x) ? x , (x>0) ,则经过点 (a, a ) 、 (b, ? b ) 的直线方程为

y? a ? b? a ? ,令 y=0,求得 x ? c ? ab , x?a b?a
∴当 f (x) ? (x>0)时, M f (a, b) 为 a,b 的几何平均数 ab x,

(2) 设 f ( x) ? x( x ? 0) , 则经过点 ( a, a ) ,(b,?b) 的直线方程为 令 y ? 0 ,所以 c ? x ?

y ?a ?b?a ? , x?a b?a

2ab , a?b

所以当 f ?x ? ? x( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数

2ab a?b

47.【2014 年江西卷(理 13) 】若曲线 y ? e 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 则点 P 的坐标是________.

?x

Q y ? e? x ? y ' ? ?e ? x 设P ? x0 , y0 ?
【答案】 ? ? ln 2,2? 【解析】??e
? x0

? ?2

? e ? x0 ? 2 Q y0 ? e? x0 ? 2 ? P(? ln 2, 2)

21

48.【2014 年上海卷(理 04) 】 设 f ( x) ? ? 围为 .

? x,
2

x ? (?? , a),

? x , x ?[a , ? ?).

若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范

【答案】 a ? 2 【解析】 :根据题意, 2 ? [a, ??) ,∴ a ? 2

49. 【 2014 年上海卷(理 09 ) 】若 f ( x) ? x 3 ? x 是 .

2

?

1 2

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围

【答案】 (0,1)

【解析】 : f ( x) ? 0 ? x 3 ? x

2

?

1 2

,结合幂函数图像,如下图,可得 x 的取值范围是 (0,1)

第 III 部分

50.【2014 年陕西卷(理 21) 】 (本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(1) g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( g n ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式; (2)若

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ?

? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.

22



由题设得,g(x) =

x ( x ? 0). 1? x

x x x (I)由已知,g1(x)= , g 2( x) ? g ( g1( x)) ? 1 ? x ? , x 1? 2x 1? x 1? 1? x x g 3( x) ? ,...,可得 gn ( x) ? . 1 ? 3x 1 ? nx
下面用数学归纳证明. 1 当 n= ○ 1 时,g1(x)=,结论成立.

2 假设 n=k 时结论成立,即 gk(x)= . ○ 1 ? kx 那么,当 n=k+1 时.

x

x g k ( x) x g k ?1 ( x) g ( g k ( x)) ? ? 1 ? kx ? , 1 ? g k ( x) 1 ? x 1 ? (k ? 1) x 1 ? kx
即结论成立. 由○ 1 ○ 2 可知,结论对 n ? N,成立.

1 ? x) ? (II)已知 f ( x) ? ag ( x)恒成立,即 m(
设 ? ( x) ? 1n(1 ? x) ? 则 ? ' ( x) ?

ax 恒成立 . 1? x

ax ( x ? 0), 1? x

1 a x ?1? a ? ? , 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

? ??上单调递增,又 ?(0) ? 0, ? ? ( x)在?0, ? ??上恒成立, ? ? ( x) ? 0在?0,

? a>1 时,对 x ? (0, a ?1]有? ' ( x) ? 0, ? ? (a ? 1) ? ? (0) ? 0.

0, a ?1]上单调递减, ? ? ( x)在(

1 ? x) ? 即 a>1 时存在 x>0,使 ? ( x) ? 0, 故知1n(
综上可知,a 的取值范围是( ? ?,1 ]. (III)由题设知 g(1)+g(2)+...+g(n)=

ax 不恒成立, 1? x

1 2 n ? ? ... ? , 2 3 n ?1
23

n ? f (n) ? n ? 1n(n ? 1),
比较结果为 g (1) ? g (2) ? ... ? g (n) ? n ? 1n(n ? 1). 证明如下: 证法一

1 1 1 ? ? ... ? ? 1n(n ? 1), 2 3 n ?1 x , x ? 0. 在(II)中取 a=1,可得 1n(1+x)> 1? x 1 1 n ?1 ? 1n 令 x ? , n ? n? , 则 . n n ?1 n
上述不等式等价于 下面用数学归纳证明. 1 当 n=1 时, ? 1n 2 ,结论成立. ○ 2

1

? 1n(k ? 1). 2 假设当 n=k 时结论成立,即 ? ? ... ? ○ 2 3 k ?1
那么,当 n=k+1 时,

1

1

1

1 1 1 1 k ?2 ? ? ... ? ? 1n(k ? 1) ? ? 1n(k ? 1) ? 1n ? 1n(k ? 2), 2 3 k ?2 k ?2 k ?1
即结论成立. 由○ 1 ○ 2 可知,结论对 n ? n? 成立. 证法二

1 1 1 ? ? ... ? ? 1n(n ? 1), 2 3 n ?1 x , x ? 0. 在(II)中取 a=1,可得 1n(1 ? x) ? 1? x 1 n ?1 1 ? . 令 x ? , n ? n? , 则1n n n n ?1 1 故有 1n2-1n1> , 2 1 1n3 ? 1n2 ? , 3
上述不等式等价于 ..........

1n(1n2) ? 1nn ?

1 , n ?1

上述各式相加可得 1n(n ? 1) ? 结论得证. 证法三 如图,

1 1 1 ? ? ... ? , 2 3 n ?1

? o ? 1 dx 是由曲线

n x

y?

x , x ? n 及 x 轴所围成的曲边梯形 x ?1

24

的面积,而

1 2 n ? ? ... ? 是图中所示 2 3 n ?1

各矩形的面积和,

?

n x n 1 2 n 1 ? ? ... ? ?? dx ? ? (1 ? )dx ? n ? 1n(n ? 1) , o x ?1 0 2 3 n ?1 x ?1

结论得证.

51.【2014 年重庆卷(理 20) 】已知函数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的导函数

f '( x ) 为偶函数,且曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .
(1)确定 a , b 的值; (2)若 c ? 3 ,判断 (3)若

f ( x) 的单调性;

f ( x) 有极值,求 c 的取值范围.

解: (1)

f '( x) ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c ,由 f '(? x) ? f '( x) 恒成立知:

2ae2 x ? 2be?2 x ? c ? 2ae?2 x ? 2be2 x ? c ? (2a ? 2b)e4 x ? (2b ? 2a) ? 0
故a ? b 另外 f '(0) ? 2a ? 2b ? c ? 4 ? c ? a ? b ? 2



联立解出 a ? b ? 1

(2)此时

f '( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 3 ? 2(ex ? e? x )2 ? 1 ? 0 ,故 f ( x) 单调递增。
f '( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ? 0 有非最值解,设 t ? e2 x ? 0 ,则等价于
2 2 ? c 在 t ? 0 时有非最值解,由双钩函数知: 2t ? ? [4, ??) t t

(3)等价于

方程 2t ?

所以 c ? 4 ,故 c 的取值范围为 (4, ??)

25

52.【2014 年安徽卷(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x 2 ? x 3 ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值. 【解析】 (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,导函数 f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? (1 ? a) 由 a ? 0 知 ? ? 4 ? 12(1 ? a) ? 12a ? 16 ? 0

由 f ' ( x) ? 0 ? ?

1 ? 3a ? 4 3a ? 4 ? 1 ; ?x? 3 3
3a ? 4 ? 1 1 ? 3a ? 4 或x? 3 3

由 f ' ( x) ? 0 ? x ? ?

因此: f ( x ) 在 (?

1 ? 3a ? 4 3a ? 4 ? 1 , ) 上是增函数; 3 3
1 ? 3a ? 4 3a ? 4 ? 1 ) 和( ,??) 上是减函数 3 3 3a ? 4 ? 1 ,即 a ? 4 时, f ( x ) 在 x ? [0,1] 上是增函数 3

在 (??,?

(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,①若 1 ?

此时,当 x ? 0 时取得最小值;当 x ? 1 时取得最大值。 由 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x ? x ? f (0) ? 1 得 x ?
2 3

4a ? 5 ? 1 4a ? 5 ? 1 ( x ? 0 ,x ? ? 舍去) 2 2

②若

3a ? 4 ? 1 3a ? 4 ? 1 4a ? 5 ? 1 ) 上是增函数, ?1? ,即 1 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 [0, 3 3 2 3a ? 4 ? 1 4a ? 5 ? 1 ,1] 上是减函数,且 f (1) ? f ( ) ? f (0) 3 2 3a ? 4 ? 1 时取得最大值;当 x ? 0 时取得最小值。 3

在(

此时,当 x ?

③若 a ? 1 时,当 x ? 0 或 1时取得最小值;当 x ?

3a ? 4 ? 1 7 ?1 ? 时取得最大值 3 3

④若 0 ? a ? 1 时,同理易得当 x ?

3a ? 4 ? 1 时取得最大值;当 x ? 1 时取得最小值。 3
26

53.【2014 年福建卷(理 20) 】已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; 2 x (2)证明:当 x>0 时,x <e ; x (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce .

x

解: (1)由 f(x)=e ﹣ax 得 f′(x)=e ﹣a.又 f′(0)=1﹣a=﹣1,∴a=2, ∴f(x)=e ﹣2x,f′(x)=e ﹣2. 由 f′(x)=0 得 x=ln2, 当 x<ln2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴当 x=ln2 时,f(x)有极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4. f(x)无极大值.
ln2 x x

x

x

(2)令 g(x)=e ﹣x ,则 g′(x)=e ﹣2x, 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4>0,即 g′(x)>0, ∴当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e ;
2 x ln2

x

2

x

(3)对任意给定的正数 c,总存在 x0= >0.当 x∈(x0,+∞)时, 由(2)得 e >x > x,即 x<ce . ∴对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce
x x 2 x

54.【2014 年湖南卷(理 22) 】 (本小题满分 13 分) 已知常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(1 ? ax ) ?

(1) 讨论 f ( x ) 在区间 (0, ? ?) 上的单调性;

2x . x?2

(2)若 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

27

解: (1) f ' ( x) ?

a 2( x ? 2) ? 2 x ax2 ? 4(a ? 1) ? ? 1 ? ax ( x ? 2) 2 (1 ? ax)(x ? 2) 2

(*)

当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时, f ( x ) 在区间 (0, ? ?) 上单调递增; 当 0 ? a ? 1 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x1 ? 2

1? a 1? a ( x 2 ? ?2 舍去) , a a

当 x ? (0, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ( x1 , ? ?) 时, f ' ( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在区间 (0, x1 ) 上单调递减,在区间 ( x1 , ? ?) 上单调递增.

综上所述, 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (0, ? ?) 上单调递增; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (0, 2 递增.

1? a 1? a ) 上单调递减,在区间 (2 , ? ?) 上单调 a a

(2)由(*)式知,当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 不存在极值点. 因而要使

f ( x) 存在两个极值点,必有 0 ? a ? 1 ,且 f ( x) 的极值点只可能是 x1 ? 2

1? a 和 a

x 2 ? ?2

1? a , a
1 1? a 1 ?? 且 x ? ?2 ,所以 ? 2 a a a

且由 f ( x ) 的定义可知, x ? ?

且?2

1? a 1 ? ?2 ,解得 a ? . 此时,则(*)式知, x1 , x2 分别是 f ( x) 的极小值点 a 2

和极大值点. 而

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln(1 ? ax1 ) ?

2 x1 2 x2 ? ln(1 ? ax2 ) ? x1 ? 2 x2 ? 2 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? ln[1 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 x1 x2 ] ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4(a ? 1) 2 ? ln( 2a ? 1) 2 ? ? ln(2a ? 1) 2 ? ?2. 2a ? 1 2a ? 1
28

令 2a ? 1 ? x ,由 0 ? a ? 1 且 a ?

1 1 1 知,当 0 ? a ? 时, ? 1 ? x ? 0 ;当 ? a ? 1 时, 2 2 2 2 0 ? x ? 1 . 并记 g ( x ) ? ln x 2 ? ? 2 , x
(i)当 ? 1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2 ln( ? x) ?

2 2 2 2x ? 2 ? 2 , g ' ( x) ? ? 2 ? ? 0, x x x x2 1 因此, g ( x) 在区间 (?1, 0) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (?1) ? ?4 ? 0 ,故当 0 ? a ? 时, 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 2 2 2 2x ? 2 ? 2 , g ' ( x) ? ? 2 ? ? 0, x x x x2 1 因 此 , g ( x) 在 区 间 (0, 1) 上 单 调 递 减 , 从 而 g ( x) ? g (1) ? 0 , 故 当 ? a ? 1 时 , 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 1 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是 ( , 1) . 2
(ii) 当 0 ? x ? 1 时, g ( x ) ? 2 ln x ?

55.【2014 年辽宁卷(理 24) 】 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 ) ? 1 的解集为 M,g ( x) ? 4 的 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 ,g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 , 记 f (x

解集为 N. (1)求 M; (2)当 x ? M (Ⅰ) f ( x) ? ?

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

?3x ? 3, x ?[1, ??) ?1 ? x , x ? (??,1)
4 4 ,故 1 ? x ? ; 3 3

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 得 x ?

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 ; 所以 f ( x) ? 1 的解集为 M ? {x | 0 ? x ? } .

4 3

2 (Ⅱ)由 g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ? 4 得 16( x ? ) ? 4, 解得 ?
2

1 4

1 3 ? x ? ,因此 4 4

N ? {x | ?

1 3 ? x ? } ,故 M 4 4

3 N ? {x | 0 ? x ? } . 4
29

当 x?M

N 时, f ( x) ? 1 ? x ,于是 x2 f ( x) ? x ?[ f ( x)]2 ? xf ( x)[ x ? f ( x)]

? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ?
56.【2014 年全国大纲卷(22) 】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 1 1 ? ( x ? )2 ? . 4 2 4

ax (a ? 1) . x?a

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 a1 ? 1, an?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

2 3 ? an ? . n +2 n?2

解: (1) f ( x) 的定义域为 (?1, ??) , f ' ( x) ?

x[ x ? (a 2 ? 2a )] ( x ? 1)( x ? a ) 2

(i)当 1 ? a ? 2 ,若 x ? (?1, a 2 ? 2a ) ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1, a 2 ? 2a ) 上是增函数 若 x ? (a 2 ? 2a, 0) ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (a ? 2a,0) 上是减函数
2

若 x ? (0, ??) ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数

(ii)当 a ? 2 , f ' ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 成立当且仅当 x ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数

(iii)当 a ? 2 时,若 x ? (?1, 0) ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1, 0) 上是增函数 若 x ? (0, a 2 ? 2a ) ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, a ? 2a) 上是减函数
2

若 x ? (a 2 ? 2a, ??) ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (a ? 2a, ??) 上是增函数
2

(2)由(1)知,当 a ? 2 时, f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数 当 x ? (0, ??) 时,则 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?

又由(1)知,当 a ? 3 时, f ( x) 在 ? 0,3? 上是减函数. 当 x ? (0,3) 时,则 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?

2x ( x ? 0) . x?2

3x (0 ? x ? 3) . x?3

2 3 . ? an ? n +2 n?2 2 (i)当 n ? 1 时,由已知 ? a1 ? 1 ,故结论成立; 3
下面用数学归纳法证明

30

(ii)设当 n ? k 时结论成立,即

2 3 . ? ak ? k +2 k ?2

当 n ? k ? 1 时,成立当且仅当 x ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数;

2 2? 2 k +2 ? 2 , ak ?1 ? ln(ak ? 1) ? ln( ? 1) ? 2 k +2 +2 k ? 3 k +2 3 3? 3 k +2 ? 3 , ak ?1 ? ln(ak ? 1) ? ln( ? 1) ? 3 k +2 +3 k ? 3 k +2 2 3 即当 n ? k ? 1 时有 ,结论成立. ? ak ?1 ? k +3 k ?3
根据(i) 、 (ii)知对任何 n ? N * 结论都成立。 57.【2014 年山东卷(理 20) 】( 本小题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 2 x x

是自然对数的底数)

(I)当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围。

解:( 1)f ' ( x) ? ?

e x ? x 2 ? 2 xex 2 1 ? k (? 2 ? ) 4 x x x

( x ? 2)(e x ? kx) ( x ? 0) x3 当k ? 0时,kx ? 0,? e x ? kx ? 0 令f ' ( x) ? 0, 则x ? 2 ?当x ? (0,2)时,f ( x)单调递减; 当x ? (2,??)时,f ( x)单调递增。 (2)令g ? x ? ? e x ? kx 则g ' ( x ) ? e x ? k ? e x ? k , x ? ln k ? g ' (0) ? 1 ? k ? 0, g (0) ? 1 ? 0 g ' (2) ? e 2 ? k ? 0, g ?2 ? ? e 2 ? 2k ? 0 ? k ? g ?ln k ? ? e ln k ? k ln k ? 0 ? ln k ? 1? k ? e 综上 : e的取值范围为( e, e2 )。 2
31

e2 2

58.【2014 年四川卷(理 21) 】已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 ,其中 a, b ? R ,
x 2

e ? 2.71828

为自然对数的底数。

(1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围 解: (1)因为 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 所以 g ( x) ? f ?( x) ? e ? 2ax ? b
x 2 x

又 g ?( x) ? e ? 2a 因为 x ? [0,1] , 1 ? e x ? e
x

所以:

①若 a ?

1 x ,则 2a ? 1 , g ?( x) ? e ? 2a ? 0 , 2
所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单增, g min ( x) ? g (0) ? 1 ? b

②若

1 e ? a ? ,则 1 ? 2a ? e , 2 2

于是当 0 ? x ? ln(2a ) 时 g ?( x) ? e ? 2a ? 0 , 当 ln(2 a) ? x ? 1 时 g ?( x) ? e ? 2a ? 0 ,
x x

所以函数 g ( x) 在区间 [0, ln(2a)] 上单减,在区间 [ln(2a ),1] 上单增,

g min ( x) ? g[ln(2a)] ? 2a ? 2a ln(2a) ? b

③若 a ?

e x ,则 2a ? e , g ?( x) ? e ? 2a ? 0 2

所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单减, g min ( x) ? g (1) ? e ? 2a ? b

1 ? a? , ?1 ? b, 2 ? 1 e ? ?a? , 综上:g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g min ( x) ? ?2a ? 2a ln(2a ) ? b, 2 2 ? e ? ? e ? 2 a ? b, a ? 2 , ?
32

(2)由 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ? 1 ? 0 ? b ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,则函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间 由 (1) 知当 a ?

1 e 或 a ? 时, 函数 g ( x) 即 f ?( x) 在区间 [0,1] 上单调, 不可能满足 “函 2 2

数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间”这一要求。

1 e ? a ? ,则 g min ( x) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ? 3a ? 2a ln(2a) ? e ? 1 2 2 3 令 h( x) ? x ? x ln x ? e ? 1 ( 1 ? x ? e ) 2 1 1 则 h?( x) ? ? ln x 。由 h?( x) ? ? ln x ? 0 ? x ? e 2 2
若 所以 h( x) 在区间 (1, e ) 上单增,在区间 ( e , e) 上单减

hmax ( x) ? h( e ) ?

3 e ? e ln e ? e ? 1 ? e ? e ? 1 ? 0 即 g min ( x) ? 0 恒成立 2

于是,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间

? g (0) ? 2 ? e ? a ? 0 ?a ? e ? 2 ?? ?? ? g (1) ? ?a ? 1 ? 0 ?a ? 1


1 e ?a? 2 2

所以 e ? 2 ? a ? 1

综上, a 的取值范围为 (e ? 2,1)

59.【2014 年天津卷(理 20) 】 (本小题满分 14 分)
x 设 f ( x) ? x ? ae (a ? R) , x ? R .已知函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 .

⑴求 a 的取值范围;

x2 随着 a 的减小而增大; x1 ⑶证明 x1 ? x2 随着 a 的减小而增大.
⑵证明 解:(1)由 f(x)=x-ae ,可得 f′(x)=1-ae . 下面分两种情况讨论: (i)a≤0 时,f′(x)>0 在 R 上恒成立,可得 f(x)在 R 上单调递增,不合题意. (ii)a>0 时,由 f′(x)=0,得 x=-ln a. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x x

x

(-∞,-ln a)

-ln a

(-ln a,+∞)

f′(x) + 0 - f(x) -ln a-1 这时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-ln a);单调递减区间是(-ln a,+∞).于是,
33

“函数 y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立:①f(-ln a)>0;②存在 s1∈(-∞, -ln a),满足 f(s1)<0;③存在 s2∈(-ln a,+∞),满足 f(s2)<0. -1 由 f(-ln a)>0, 即-ln a-1>0, 解得 0<a<e .而此时, 取 s1=0, 满足 s1∈(-∞, -ln a), 2 2 ?2 2? ? 2 2? 且 f(s1)=-a<0;取 s2= +ln ,满足 s2∈(-ln a,+∞),且 f(s2)=? -e ?+?ln -e ?

a

a

?a

a? ? a

a?

<0. -1 故 a 的取值范围是(0,e ).

x x 1-x x (2)证明:由 f(x)=x-ae =0,有 a= x.设 g(x)= x,由 g′(x)= x ,知 g(x)在(-∞, e e e
1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.并且,当 x∈(-∞,0]时,g(x)≤0; 当 x∈(0, -1 +∞)时,g(x)>0.由已知,x1,x2 满足 a=g(x1),a=g(x2).由 a∈(0,e )及 g(x)的单调 性,可得 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).

对于任意的 a1,a2∈(0,e ),设 a1>a2,g(ξ 1)=g(ξ 2)=a1,其中 0<ξ 1<1<ξ 2;g(η 1)=g(η 2)=a2,其中 0<η 1<1<η 2.

-1

因为 g(x)在(0,1)上单调递增,所以由 a1>a2,即 g(ξ 1)>g(η 1),可得ξ 1>η 1.类似可 ξ 2 η 2 η 2 x2 得ξ 2<η 2. 又由ξ 1,η 1>0,得 < < ,所以 随着 a 的减小而增大. ξ 1 ξ 1 η 1 x1

(3)证明:由 x1=aex1,x2=aex2,可得 ln x1=ln a+x1,ln x2=ln a+x2.故 x2-x1=ln x2 -ln x1=ln .

x2 x1

设 = t , 则 t>1 , 且 ? (t+1)ln t .① t-1

x2 x1

? ?x2=tx1, ?x2-x1=ln ?

t,

解 得 x1 =

ln t tln t , x2 = , 所 以 x1 + x2 = t-1 t-1

1 -2ln x+x- x (x+1)ln x 令 h(x)= ,x∈(1,+∞),则 h′(x)= . 2 x-1 (x-1) 2 1 ?x-1? . 令 u(x)=-2ln x+x- ,得 u′(x)=? ?

x

? x ?

当 x∈(1,+∞)时,u′(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的 x ∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,由此可得 h′(x)>0,故 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因此,由①可得 x1+x2 随着 t 的增大而增大.

34

而由(2),t 随着 a 的减小而增大,所以 x1+x2 随着 a 的减小而增大.

60.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 21) 】 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 , x

曲线 y ? f ( x) 在点( 1 , f (1) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . ( Ⅰ ) 求 a , b ; (Ⅱ)证明:

f ( x) ? 1 .

【解析】 :(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ?( x) ? ae ln x ?
x

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e

a ? 1, b ? 2

?????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? e ln x ?
x

2 2e x ?1 ?x ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? e x

设函数 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,所以当 x ? ? 0, ? 时, g ?( x) ? 0 ,

? ?

1? e?

当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, 从而 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 的最小值为 g ( ) ? ? . 设函数 h( x ) ? xe
?x

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 e

1 e

?

2 ?x ,则 h?( x) ? e ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? 0 , e

当 x ? ?1, ?? ? 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ?

1 h( x) g ( x) 在 ? 0, ?? ? 的最小值为 h(1) ? ? . e
综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ?????12 分

61.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 21) 】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值;

35

(Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

(Ⅰ)错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-2≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 f (x)在(—∞,+∞)单调递增 (Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-4b(错误!未 找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(8b-4)x 错误!未找到引用源。(x)=2[错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未 找到引用源。]=2(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)(错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。) (1) 当 b ? 2 时,g’(x) ? 0,等号仅当 x=0 时成立,所以 g(x)在(- ? ,+ ? )单调递增, 而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0; (2) 当 b>2 时,若 x 满足,2< e ? e
x ?x

<2b-2 即 0<x<ln(b-1+ b2 ? 2b )时 g’(x)<0,

而 g(0)=0,因此当 0<X ? ln(b-1+ b2 ? 2b )时,g(x)<0 综上,b 的最大值为 2 (3) 由(2)知,g(ln 2 )=

3 -2 2 b+2(2b-1)ln2 2

当 b=2 时,g(ln 2 )=

3 8 2 ?3 -4 2 +6ln2>0,ln2> >0.6928 2 12

当 b=

3 2 +1 时,ln(b-1+ b2 ? 2b )=ln 2 4
3 -2 2 +(3 2 +2)ln2<0 2

g(ln 2 )=

in2<

18 ? 2 <0.693 28

62.【2014 年江苏卷(理 19) 】已知函数 用源。 ,其中 e 是自然对数的底数。

f ( x) ? 错误!未找到引用源。+错误!未找到引

(1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 m f ( x) 错误!未找到引用源。+m 错误!未找到引用源。1 在(0,+错误!未找到引用源。 )上恒成立,求实数 m 的取值范围; (3) 已知正数 a 满足:存在 x0 错误!未找到引用源。 [1, +错误! 未找到引用源。 ) , 使得
3

f (x 0 )

错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。x0 +3x0)成立,试比较 错误!未找 到引用源。与错误!未找到引用源。的大小,并证明你的结论。

f ( ? x ) =错误! (1) ∵x 错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 = f ( x) , 未找到引用源。
36

∴ f ( x) 是 R 上的偶函数

(2)∵

f ( x) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。2 f ( x) 错误!未找到引用源。 ,

错误!未找到引用源。=2

错误!未找到引用源。1 ,∴ ∴m(

f ( x) 错误!未找到引用源。 )错误!未找到引用源。1,∴m 错误!未找到引用

源。=错误!未找到引用源。 , 令 g ( x) =错误!未找到引用源。 , g ?( x ) =错误!未找到引用源。 ,∴x 错误!未找 到引用源。时 g ?( x ) 错误!未找到引用源。

g ( x) 单调减,x 错误!未找到引用源。时 g ?( x )


错误!未找到引用源。

g ( x) 单调增,

g ( x) min= g (ln 2) =错误!未找到引用源。 ,若关于 x 的不等式 m f ( x) 错误!未找到
成立, 则只要

引用源。+m 错误!未找到引用源。1 在(0,+错误!未找到引用源。 )上恒

g ( x) min 恒成立 , m 错误! ∴m 错误! 未找到引用源。 。 ∴m 错误!未找到引用源。(错 未找到引用源。
误!未找到引用源。]。

(3)由题正数 a 满足:存在 x0 错误!未找到引用源。 [1, +错误! 未找到引用源。 ) , 使得
3

f (x 0 ) 错误!

未找到引用源。 (错误!未找到引用源。x0 +3x0)成立。 3 即错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。x0 +3x0)错误! 未找到引用源。令 h ( x ) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 (错误!未找到引 用源。x +3x) , 即 h ( x ) min 错误!未找到引用源。0。 h?
3

? x ? ? 错误!未找到引用源。-错误!未找到引 ? x ? 错误!未找到引用源。0 ,

用源。=错误!未找到引用源。 +3a 错误!未找到引用源。 , 当 x 错误!未找到引用源。 [1,+错误!未找到引用源。 )时, h?

h ( x ) min = h (1) =e+错误!未找到引用源。 -2a 错误!未找到引用源。0 ,∴a 错误!未找到
引用源。 + 错误!未找到引用源。 。 要比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小,两边同时取以 e 为底的对 数。只要比较 a-1 与(e-1)lna 的大小。 令

y

= a-1-( e-1)lna ,

y? =

1-错误!未找到引用源。

37

∵a 错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。e-1,∴a 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。 )时 找到引用源。 y 单调减,a 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )时

y ? 错误!未

y ? 错误!未找到引用源。y

单调增,又∵错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。 ,当 a=1 时,y=0, ∴当 a=错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。时,y 错误!未找到引用源。0, 当 a=e 时,y=0。∴a=e-1 时,y 错误!未找到引用源。0。 ∴当错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。时,y 错误!未找到引用源。 0,此时 a-1 错误!未找到引用源。 (e-1)lna ,即错误!未找到引用源。 。 当 a=e 时 y 错误!未找到引用源。0,此时 a-1 错误!未找到引用源。 (e-1)lna , 即错误!未找到引用源。 。 当 a 错误!未找到引用源。e 时 y 错误!未找到引用源。0,此时 a-1 错误!未找到 引用源。 (e-1)lna ,即错误!未找到引用源。 。

63.【2014 年北京卷(理 18) 】 (本小题 13 分) 已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2
f ( x) ? 0 ;

?

(1)求证: (2)若 a ?

? sin x ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. 2 x

解: (I)由 f ( x) ? x cos x ? sin x 得

f '( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x 。
因为在区间 (0,

?
2

) 上 f '( x ) ? ? x sin x

? ?? 0 ,所以 f ( x) 在区间 ?0, ? 上单调递减。 ? 2?

从而 f ( x ) ? f (0) ? 0 。

(Ⅱ) 当x

0 时, “

sin x x

a” 等价于 “ sin x ? ax

ni s 0” “

x x

b” 等价于 “ sin x ? bx

0” 。

令 g ( x) ? sin x ? cx ,则 g '( x ) ? cos x ? c , 当 c ? 0 时, g ( x)

0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2

?

当 c ? 1 时, 因为对任意 x ? (0,

?
2

) ,g '( x ) ? cos x ? c
38

? ?? 0, 所以 g ( x) 在区间 ? 0, ? ? 2?

上单调递减。从而 g ( x) 当0

g (0) ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2

?

c

1 时,存在唯一的 x0 ? (0, ) 使得 g '( x0 ) ? cos x0 ? c ? 0 。 2

?

g ( x) 与 g '( x ) 在区间 (0, ) 上的情况如下: 2

?

x
g '( x )
g ( x)

(0, x0 )
→ ↗

x0
0

( x0 , ) 2
→ ↘

?

因为 g ( x) 在区间 ?0, x0 ? 上是增函数,所以 g ( x0 ) 任意 x ? (0,

“ g ( x) g (0) ? 0 。进一步,

0对

? ? 2 ) 恒成立”当且仅当 g ( ) ? 1 ? c ? 0 ,即 0 c ? , 2 2 2 ? ? 2 综上所述,当且仅当 c ? 时, g ( x) 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立;当且仅当 c ? 1 时, 2 ?
0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2 sin x ? 2 b 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则 a 最大值为 ,b 的最小值为 1. 所以,若 a x 2 ?

?

g ( x)

?

64.【2014 年广东卷(理 21) 】 (本小题满分 14 分) 设函数 ,其中 k ? ?2 , ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 (1)求函数 f ( x) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x) 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。

f ( x) ?

1

【解析】 (1)可知 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0 ,

?[( x2 ? 2x ? k ) ? 3] ?[( x2 ? 2x ? k ) ?1] ? 0 , ? x 2 ? 2 x ? k ? ?3 或 x 2 ? 2 x ? k ? 1 , ?( x ? 1)2 ? ?2 ? k (?2 ? k ? 0) 或 ( x ? 1)2 ? 2 ? k (2 ? k ? 0) ,

? | x ? 1|? ?2 ? k 或 | x ?1|? 2 ? k ,
??1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 所以函数 f ( x) 的定义域 D 为

(??, ?1 ? 2 ? k )
(2) f '( x) ? ?

(?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k )
2( x ? 2 x ? k )(2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2)
2 3

(?1 ? 2 ? k , ? ?) ;

2 ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
3

??

( x 2 ? 2 x ? k ? 1)(2 x ? 2) ( x 2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3



39

由 f '( x) ? 0 得 ( x2 ? 2x ? k ? 1)(2 x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? 1 ? k )( x ? 1 ? k )( x ? 1) ? 0 ,

? x ? ?1 ? ?k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ,结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k ,
所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 2 ? k ) , (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , 同理递减区间为 (?1 ? ?2 ? k , ? 1) , (?1 ? 2 ? k , ? ?) ;

(3)由 f ( x) ? f (1) 得 ( x2 ? 2x ? k )2 ? 2( x2 ? 2x ? k ) ? 3 ? (3 ? k )2 ? 2(3 ? k ) ? 3 ,

?[( x2 ? 2x ? k )2 ? (3 ? k )2 ] ? 2[( x2 ? 2x ? k ) ? (3 ? k )] ? 0 , ?( x2 ? 2x ? 2k ? 5) ? ( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 ,

?( x ?1 ? ?2k ? 4)( x ?1 ? ?2k ? 4) ? ( x ? 3)( x ?1) ? 0 ,
? x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?3 或 x ? 1 , k ? ?6 ,?1? (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , ?3 ? (?1 ? ?2 ? k , ?1) , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k ,
结合函数 f ( x) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为

(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4)

(?1 ? ?2 ? k , ? 3)

(1, ?1 ? ?2 ? k )

65.【2014 年湖北卷(理 22) 】 (1)求函数 f ? x ? ?
3 e e e

? 为圆周率, e ? 2.71828 ? 为自然对数的底数.

ln x 的单调区间; x
?
3

(2)求 e ,3 , e , ? ,3 , ? 这 6 个数中的最大数与最小数; (3)将 e ,3 , e , ? ,3 , ? 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
3 e e e 3

?

【解析】 (1)函数的定义域为 (0, ??) ,因为 f ( x) ? 当 f ? (x) ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ( x) 单调递增; 当 f ? (x) ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ( x) 单调递减;

ln x 1 ? ln x ,所以 f ? (x) ? 。 x x2

故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e, ??) 。

40

(2)因为 e ? 3 ? ? ,所以 e ln 3 ? ? ln 3 ,即 ln 3e ? ln ? e ,lne? ? ln 3? 。 于是根据函数 y ? ln x, y ? e x , y ? ? x 在定义域上单调递增,可得

3e ? ? e ? ? 3 , e3 ? e? ? 3? 。
故这 6 个数的最大数在 ? 与 3 之中,最小数在 3 与 e 之中
3 e 3

?

由 e ? 3 ? ? 及(1)的结论,得 f (? ) ? f (3) ? f (e) ,即

ln ?

ln 3 ? 3 3 ? ? 由 ,得 ln ? ? ln 3 ,所以 3 ? ? ; ? 3 ln 3 lne e 3 e 3 ? 由 ,得 ln 3 ? ln e ,所以 3 ? e 。 3 e
综上,6 个数中的最大数 3 是,最小数是 3 。
?
e

ln ?

?

?

ln 3 lne ? 。 3 e

(3)由(2)知, 3 ? ? ? ? ? 3 . 3 ? e 又由(2)知
e e 3
e 3

?

ln ?

?

?

lne e ? ,得 ? ? e 。 e

故只需比较 e 与 ? 和 ? 的大小。
3 e 3

由(1)知,当 0 ? x ? e 时, f ( x ) ? f (e) ? 在上式中,令 x ? 即得 ln ? ? 2 ?

1 ln x 1 ? 。 即 e x e

e2

?

,又

e2

?

? e ,则 ln

e2

?

?

e

?

,从而 2 ? ln ? ?

e

?

e

?





由①得, e ln ? ? e(2 ?

e

?

) ? 2.7 ? (2 ?

2.72 ) ? 2.7 ? (2 ? 0.88) ? 3.024 ? 3 , 3.1

3 e e 3 即 e ln ? ? 3 ,亦即 ln ? ? ln e ,所以 e ? ? 。

又由①得, 3ln ? ? 6 ?
e 3

3e

?

? 6 ? e ? ? ,即 3ln ? ? ? ,所以 e? ? ? 3
?
3

综上可得, 3 ? e ? ? ? e ? ? ? 3 ,
e

?

即 6 个数从小到大的顺序为 3 , e , ? , e , ? ,3 。
e 3 e

?

3

?

66.【2014 年江西卷(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 已知函数 . (1) 当 时,求 的极值; (2) 若 在区间 上单调递增,求 b 的取值范围.

41

【解析】1)当 b =2 时, f ? x ? = ? x+2 ?

2

1? ? 1-2x 的定义域为 ? -?, ? 2? ?

f ' ? x ? ? 2 ? x ? 2? 1 ? 2x ? ? x ? 2?
令 f ' ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 0 当 x ? ?2和0<x<

2

?5x ? x ? 2 ? 1 1 ? ?2? ? 2 1 ? 2x 1 ? 2x

1 ? 1? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? ??, ?2 ? ,? 0, ? 上单调递减; 2 ? 2?

当 ?2<x<

1 1? ? ' 时, f ? x ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? ?2, ? 上单调递增; 2 2? ?
1 时, f ( x) 取得极大值 f (0) ? 4 。 2

所以, 当 x ? ?2 时, f ( x) 取得极小值 f (?2) ? 0 ; 当x ?

(2) f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增 ? f

? ?

1? 3?

'

? x ? ? 0, 且不恒等于 0 对 x? ? ? 0,
?

1? ? 恒成立?? 3?

f ' ? x ? ? ? 2 x ? b ? 1 ? 2 x ? ? x 2 ? bx ? b ?

1 1 ?5x 2 ? 2 x ? 3bx ? 2 ? ? ? 2 1? 2x 1? 2x

??5x 2 ? 3bx ? 2 x ? 0 ??????????????8 分

? 2 ? 5x ? ?b ? ? ? ??????????????10 分 ? 3 ?min

2 ? 5x ? 3

2 ? 5?

1 3 ? 1 ??????????????11 分 3 9

1 ? b ? ??????????????12 分 9

67.【2014 年上海卷(理 20) 】(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分.

2x ? a 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x . 2 ?a
42

?1 (1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x ) 的反函数 y ? f ( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x ) 的奇偶性,并说明理由.

2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? y ,∴ 2 x ? 【解析】 : (1)∵ a ? 4 ,∴ f ( x) ? x ,∴ x ? log 2 , 2 ?4 y ?1 y ?1
∴y? f
?1

( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

(2)若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,∴

2 x ? a 2? x ? a ? , 2 x ? a 2? x ? a

整理得 a(2x ? 2? x ) ? 0 ,∴ a ? 0 ,此时为偶函数 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ,∴
2

2x ? a 2? x ? a ? ? , 2x ? a 2? x ? a

整理得 a ? 1 ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ,此时为奇函数 当 a ? (0,1) ? (1, ??) 时,此时 f ( x ) 既非奇函数也非偶函数

68.【2014 年浙江卷(理 22) 】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3| x ? a | (a ? R) . ⑴若 f ( x) 在 [ ?1 , 1] 上的最大值和最小值分别记为 M (a) 、 m( a ) ,求 M (a) ? m(a) ; ⑵设 b ? R ,若 [ f ( x) ? b] ? 4 对 x ? [?1 , 1] 恒成立,求 3a ? b 的取值范围.
2

解: (Ⅰ )∵ f(x)=x +3|x﹣a|=

3



∴ f′(x)=



① a≤﹣1 时,∵ ﹣1≤x≤1,∴ x≥a,f(x)在(﹣1,1)上是增函数, ∴ M(a)=f(1)=4﹣3a,m(a)=f(﹣1)=﹣4﹣3a, ∴ M(a)﹣m(a)=8; 3 ② ﹣1<a<1 时,x∈(a,1) ,f(x)=x +3x﹣3a,在(a,1)上是增函数;x∈(﹣1,a) ,f 3 (x)=x ﹣3x﹣3a,在(﹣1,a)上是减函数, 3 ∴ M(a)=max{f(1) ,f(﹣1)},m(a)=f(a)=a , ∵ f(1)﹣f(﹣1)=﹣6a+2, ∴ ﹣1<a≤ 时,M(a)﹣m(a)=﹣a ﹣3a+4;
3

43

<a<1 时,M(a)﹣m(a)=﹣a +3a+2;

3

③ a≥1 时,有 x≤a,f(x)在(﹣1,1)上是减函数, ∴ M(a)=f(﹣1)=2+3a,m(a)=f(1)=﹣2+3a, ∴ M(a)﹣m(a)=4; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+b,则 h(x)= ∵ [f(x)+b] ≤4 对 x∈[﹣1,1]恒成立, ∴ ﹣2≤h(x)≤2 对 x∈[﹣1,1]恒成立, 由(Ⅰ )知, ① a≤﹣1 时,h(x)在(﹣1,1)上是增函数,最大值 h(1)=4﹣3a+b,最小值 h(﹣1)= ﹣4﹣3a+b,则﹣4﹣3a+b≥﹣2 且 4﹣3a+b≤2 矛盾; ② ﹣1<a≤ 时,最小值 h(a)=a +b,最大值 h(1)=4﹣3a+b,∴ a +b≥﹣2 且 4﹣3a+b≤2, 令 t(a)=﹣2﹣a +3a,则 t′(a)=3﹣3a >0,t(a)在(0, )上是增函数,∴ t(a)>t (0)=﹣2,∴ ﹣2≤3a+b≤0; ③ <a<1 时,最小值 h(a)=a +b,最大值 h(﹣1)=3a+b+2,则 a +b≥﹣2 且 3a+b+2≤2, ∴ ﹣ <3a+b≤0;
3 3 3 2 3 3 2

,h′(x)=



④ a≥1 时,最大值 h(﹣1)=3a+b+2,最小值 h(1)=3a+b﹣2,则 3a+b﹣2≥﹣2 且 3a+b+2≤2, ∴ 3a+b=0. 综上,3a+b 的取值范围是﹣2≤3a+b≤0.

44



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