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§3.3.3指数函数的图象和性质(第二课时)


§3.3.3 指数函数的图象 和性质(第二课时) 和性质(第二课时)

学习目标

指数函数的图象和性质

1,知识与技能 ,知识与技能 (1)进行学习指数函数的图像和性质,并用来解答. 进行学习指数函数的图像和性质 (1)进行学习指数函数的图像和性质,并用来解答. 能够画出指数函数的图像,总结出指数函数的性质, (2) 能够画出指数函数的图像 ,总结出指数函数的性质, 并通过图像 和性质比较指数的大小和解简单的指数不等式. 和性质比较指数的大小和解简单的指数不等式. 2, 2, 过程与方法 (1)让掌握 指数函数的图像和性质, 让掌握指数函数的图像和性质 (1)让掌握 指数函数的图像和性质 ,进一步体会指数函数的性质与底 数的关系. 数的关系. (2)通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维 (2) 通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维 方式, 是由表及里的上升循环过程, 方式, 是由表及里的上升循环过程 ,学习指数函数的性质是为了更好的研 究具体函数. 究具体函数. 3,情感. 3,情感.态度与价值观 通过学习指数函数的图像 了解到指数函数具有的性质 通过学习 指数函数的图像,了解到指数函数具有的性质 在学习的过程 指数函数的图像 了解到指数函数具有的性质.在学习的过程 中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程 数形结 如具体到一般的过程, 中体会研究具体函数及其性质的过程和方法 如具体到一般的过程, 合的方法等,增强学习指数函数的积极性和自信心. 合的方法等 增强学习指数函数的积极性和自信心. 增强学习指数函数的积极性和自信心

知识复习
x

分数指数幂
a >1 0 < a <1

复习: 这两种情况下的图像和性质: 复习:指数函数 y = a 在底数 a > 1 及 0 < a < 1 这两种情况下的图像和性质:

图 象

(1)定义域:R )定义域: 性 质

(2)值域: +∞ ) )值域: (0, (3)过点 (0,1) )

当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 时 ; 时 (4) R上是增函数 ) 在 上是增函数

当x>0时, 0<y<1;当x<0时, y>1 时 ; 时 (4)在R上是减函数 ) 上是减函数

练习例题

分数指数幂

练习 1:比较下列数的大小关系 :比较下列数的大小关系: 0.7 2x 5 x 0.3 > 2) y0.5 2 x 0.7 0.45 :( 1) 上是增函数, 解(1) 4 9> 32 即为 2;(2) 0.7 = 与在 R 上是增函数 ( ) 因为 ) 与 9 ( ,因为
5 5 x 所以 互动过程 2].所以满足 4 > 32 的 x 的集合为 {x | x > } . 2x > 5 , x > [互动过程 所以满足 2 2 x 4 根据指数函数的性质,我们就可以解方程 根据指数函数的性质,我们就可以解方程 2 = 64 . 4 2 x (2)由于 < 2 且 a 5 > a ,所以函数 ? a 为减函数 所以 0 < a < 1 . ) 所以函数 y = 为减函数,所以 你能解指数不等式吗?怎样解 怎样解? 你能解指数不等式吗 怎样解 5

的集合; 例 2(1)求不等式 4 > 32 成立的 x 的集合; ( )
x

(2)已知 a > a )

4 5

2

,求数 a 的取值范围. 求数 的取值范围

知识练习

分数指数幂
x
2 2

1 :(1) 的集合; 练习 2:( )求不等式 27 > 成立的 x 的集合; :( 3
5 (2)已知 a > a )
x

,求数 a 的取值范围 求数 的取值范围.

1 3x 1 x 上是增函数, 解:(1) 27 > 即为 3 > 3 ,因为 y = 3 在 R 上是增函数 ( ) 因为 3 1 1 1 x 所以 3x > 1 , x > .所以满足 27 > 的 x 的集合为 {x | x > } . 所以满足 3 3 3 2 2 x 5 为增函数,所以 (2)由于 5 > ) 且 a > a 2 ,所以函数 y = a 为增函数 所以 a > 1 . 所以函数 2

互动过程

分数指数幂
x
x

1 x 请你在同一坐标系中画出函数 的图像, 例 3.请你在同一坐标系中画出函数 y = 2 和 y = ( ) 的图像 请你在同一坐标系中画出 2
说出其自变量,函数值及其图象间的关系 说出其自变量 函数值及其图象间的关系. 函数值及其图象间的关系

1 x 解:在同一坐标系中画出函数 y = 2 和 y = ( ) 的 2 x 图像如图所示,从图中可以看出 从图中可以看出,当函数 图像如图所示 从图中可以看出 当函数 y = 2 和函数 1 x y = ( ) 的自变量的取值互为相反时 其函数值是相 的自变量的取值互为相反时,其函数值是相 2
等的,因而两个函数的图像关于 轴对称. 等的 因而两个函数的图像关于 y 轴对称

结论 1: : 一般地,当函数 一般地 当函数 y = a 和函数 y = ( ) ,即函数 y = a 即函数
x

1 a

x

x

的自变量的

取值互为相反数时,其函数值是相等的 这两个函数的图像是关于 轴对称的. 取值互为相反数时 其函数值是相等的,这两个函数的图像是关于 y 轴对称的 其函数值是相等的

同一坐标系中画出函数 的图像. 练习 3:请你在同一坐标系中画出函数 y = 3 和 y = ( ) 的图像 :请你在同一坐标系中画出
x
x

1 3

互动过程
x

分数指数幂
x x

指数函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1) 中,底数 a 对函数图像有什么影响? 底数 对函数图像有什么影响? 请同学们在同一指教坐标系中画出函数 y = 2 和函数 y = 3 的 图象,比较两个函数增长的快慢 图象 比较两个函数增长的快慢. 比较两个函数增长的快慢
x

y = 2x y = 3x

… … …

-2 0.25 0.11

-1 0.5 0.33

0 1 1

1 2 3

2 4 9

3 8 27

… … …

10 1024 59049

… … …

结论 2:一般地 当 a > b > 1 时, :一般地,当 (1)当 x < 0 时,总有 a < b < 1 ; ) 总有
x x
x x (2)当 x = 0 时,总有 a = b = 1 ; ) 总有 x x (3)当 x > 0 时,总有 a > b > 1 ; ) 总有 (4)指数函数的底数越大 当 x > 0 时, )指数函数的底数越大,当 其函数值增长得就越快. 其函数值增长得就越快

典例精析

分数指数幂
x

的指数函数的图象,想像底数为 请同学们分别画出底数为 0.2,0.3,0.5 的指数函数的图象 想像底数为 2,3,5 时指数函数的图象,研究指数函数 时指数函数的图象 研究指数函数 y = a (0 < a < 1) 中 , a 对函数图象变化 的影响. 的影响 观察图形,请你总结出函数图象随着 变化的规律是什么? 观察图形 请你总结出函数图象随着 a 变化的规律是什么?当字变量取同 一数值时,比较对应函数值的大小 你能发现什么规律? 比较对应函数值的大小,你能发现什么规律 一数值时 比较对应函数值的大小 你能发现什么规律?
结论 3:一般地 当 0 < a < b < 1 时, :一般地,当 (1)当 x < 0 时,总有 a > b > 1 ; ) 总有
x x x x (2)当 x = 0 时,总有 a = b = 1 ; ) 总有

(3)当 x > 0 时,总有 0 < a < b < 1 ; ) 总有 (4)指数函数的底数越大 当 x < 0 时, )指数函数的底数越大,当 其函数值减少得就越缓慢. 其函数值减少得就越缓慢
x x

典例精析
0.6 1.6

分数指数幂
2 3 3 5

例 4.比较下列各题中的两个数的大小: .比较下列各题中的两个数的大小:

1 ;(2) (1) 1.8 , 0.8 ;( ) ( ) , 2 . ) 3
再对两个数进行比较大小. 解:方法一:直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行比较大小 方法一:直接用科学计算器计算各数的值 再对两个数进行比较大小 ( 1)因为 1 .8 )
0 .6

= 1 .4 2 2 8 6 4 , 0 .8 1 .6 = 0 .6 9 9 7 5 2 ,所以 1 .8 0 .6 > 0 .8 1 .6 ; 所以

3 3 1 2 1 2 3 5 3 5 = 2 .0 8 0 8 4 , 2 = 0 .6 5 9 7 5 4 ,所以 ( ) > 2 ( 2)因为 ( ) ) 所以 3 3 方法二:利用指数函数的性质对两个数值进行比较大小. 方法二:利用指数函数的性质对两个数值进行比较大小

(1).由指数函数的性质知1.8 ) 由指数函数的性质知

0.6

> 1.80 = 1, 0.81.6 < 0.80 = 1 ,所以 1.80.6 > 0.81.6 所以

3 3 1 2 1 2 (2).由指数函数的性质知 ( ) 3 > 1, 0 < 2 5 < 1 ,所以 ( ) 3 > 2 5 . ) 由指数函数的性质知 所以 3 3

比较下列各题中的两个数的大小: 练习 4.比较下列各题中的两个数的大小: 比较下列各题中的两个数的大小

1 ;(2) (1) 1.8 , 0.8 ;( ) ( ) , 2 . ) 3
3.5 0.6

5 6

2 3

典例精析

分数指数幂
x

x x 的大小,并说明理由 并说明理由. 例 5.已知 1 < x < 0 ,比较 3 , 0.5 的大小 并说明理由 . 比较

解:因为 1 < x < 0 ,所以 0 < x < 1 .而 3 > 1 ,因此有 3 所以 而 因此有 又 0 < 0.5 < 1 ,所以有 0 < 0.5 所以有
x

>1,

< 1 ,所以 3 x > 0.5 x . 所以

1 x x 的大小,并说明理由 并说明理由. 练习 5:已知 < x < 3 ,比较 3 , 0.5 的大小 并说明理由 : 比较 2
我们已经把整数指数幂扩充到有理指数幂,前面学习过的幂函 我们已经把整数指数幂扩充到有理指数幂 前面学习过的幂函 也可以扩充到有理数. 数 y = x 中的指数 n 也可以扩充到有理数
n
1 2

的性质. 下面讨论有理数指数幂 y = x 的性质 的对应值;用描点的方法,画出函数 列出 x, y 的对应值;用描点的方法 画出函数 y = x 的图像
1 2

典例精析
x

分数指数幂
0.5 0.71 1 1 2 1.41 3 1.73 4 2 … …

y=x

1 2

0 0

性质:( ) 性质:(1)函数定义在区间 [0, +∞) 上, :( 值域是 [0, +∞) ; (2)图像过点(0,0),(1,1); )图像过点( ) ( ); (3)函数是增函数 )函数是增函数.

的大小关系. 练习 6.若 a > 0 ,比较 a + 1 与 (a + 1) 的大小关系 若 比较
2

1 2

课堂小结
1 2

分数指数幂

【课堂小结】: 利用指数函数的单调性比较两个数的大小关系 课堂小结】:1.利用指数函数的单调性比较两个数的大小关系 】: 利用指数函数的单调性比较两个数的大小关系. 2.掌握不同底的指数函数的大小比较关系 .掌握不同底的指数函数的大小比较关系. 3.幂函数 y = x 的性质 . 的性质.

课本习题:3-3 【作业布置】:课本习题:3-3 A 组 1-7 作业布置】:课本习题


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