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高中数学北师大版必修5 第三章1.1、1.2 不等关系 不等关系与不等式 作业2 Word版含解析

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[学生用书单独成册])

[A.基础达标]

1.设 M=x2,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是( )

A.M>N

B.M=N

C.M<N

D.与 x 有关

解析:选 A.M-N=x2+x+1=(x+12)2+34>0.

所以 M>N.

2.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )

A.-2<α-β<0

B.-2<α-β<-1

C.-1<α-β<0

D.-1<α-β<1

解析:选 A.由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1,

所以-2<α-β<2.但 α<β,故-2<α-β<0.

3.如果 loga3>logb3,且 a+b=1,那么( )

A.0<a<b<1

B.0<b<a<1

C.1<a<b

D.1<b<a

解析:选 A.因为 a+b=1,a,b>0,所以 0<a<1,0<b<1.

因为

loga3>logb3,所以llgg

3 lg a>lg

3 b.

所以 lg a<lg b.所以 0<a<b<1.

4.设 α∈??0,π2 ??,β ∈??0,π2 ??,则 2α-β3 的范围是( )

A.??0,56π

? ?

B.??-π6

,56π

? ?

C.(0,π )

D.??-π6

,π

? ?

βπ 解析:选 D.0<2α<π,0≤3≤6,

所以-π6 ≤-β3≤0,由同向不等式相加得到-π6 <2α-β3 <π. 5.已知 a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是( ) A.若 a>b,c>b,则 a>c B.若 a>-b,则 c-a<c+b C.若 a>b,c<d,则ac>bd D.若 a2>b2,则-a<-b
解析:选 B.选项 A,若 a=4,b=2,c=5,显然不成立,选项 C 不满足倒数不等式的

条件,如 a>b>0,c<0<d 时,不成立;选项 D 只有 a>b>0 时才可以.否则如 a=-1,

b=0 时不成立,故选 B. 6.比较大小:a2+b2+c2________2(a+b+c)-4. 解析:a2+b2+c2-[2(a+b+c)-4]

=a2+b2+c2-2a-2b-2c+4

=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1>0,

故 a2+b2+c2>2(a+b+c)-4. 答案:> 7.某同学拿 50 元钱买纪念邮票,票面 8 角的每套 5 张,票面 2 元的每套 4 张,每种邮 票至少买两套,则用不等式表示上述不等关系为________.
解析:设买票面 8 角的 x 套,买票面 2 元的 y 套,

由题意列不等式组,得

??x≥2,x∈N+, ?y≥2,y∈N+,

??x≥2,x∈N+, ? 即 y≥2,y∈N+,

?? ?? 0.8×5x+2×4y≤50. 2x+4y≤25.

??x≥2,x∈N+, 答案:?y≥2,y∈N+,
??2x+4y≤25

8.已知三个不等式:①ab>0,②-ac<-db,③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一

个作为结论,则可以组成________个正确的命题.

解析:若①、②成立,则 ab??-ac??<ab??-db??,

即-bc<-ad.所以 bc>ad.即③成立; 若①、③成立,则abbc>aabd,所以ac>db. 所以-ac<-db,即②成立; 若②、③成立,则由②得ac>db,

bc-ad 即 ab >0.

由③得 bc-ad>0,则 ab>0,即①成立.
答案:3 9.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,试比较 a5 与 b5 的大小.

解:设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公差为 d,因为 a1=b1>0, a3=a1q2,b3=b1+2d, 又 a3=b3,所以 a1q2=a1+2d, 所以 2d=a1(q2-1). 因为 a1≠a3,所以 q2≠1. 而 b5-a5=(a1+4d)-a1q4=a1+2a1(q2-1)-a1q4=-a1q4+2a1q2-a1=-a1(q2-1)2<

0,所以 b5<a5.
10.某中学为加强现代信息技术教学,拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房, 每个计算机房只配置 1 台教师用机,若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台 8 000 元, 学生用机每台 3 500 元;高级机房教师用机每台 11 500 元,学生用机每台 7 000 元.已知两 机房购买计算机的总钱数相同,且每个机房购买计算机的总钱数不少于 20 万元也不超过 21 万元.则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机?

解:设该校拟建的初级机房有 x 台计算机、高级机房有 y 台计算机,则

??0.8+0.35(x-1)=1.15+0.7(y-1), 20≤0.8+0.35(x-1)≤21,
?20≤1.15+0.7(y-1)≤21, ??x,y∈N+,

x=2y,

??? 解得

5567≤x≤5857, 271134≤y≤29154,

??x,y∈N+.

??x=56, ??x=58,

因为 x、y 为整数,所以?

或?

??y=28 ??y=29.

即该校拟建的初级机房、高级机房各应有 56、28 或 58、29 台计算机.

[B.能力提升] 1.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( )

A.1a<1b B.1a>1b C.a2>2b

D.a>b2

解析:选 D.A 错,例如 a=2,b=-12时,1a=12,1b=-2,此时,1a>1b;B 错,例如 a

=2,b=12时,1a=12,1b=2,此时,1a<1b;C 错,例如 a=54,b=1156时,a2=2156,2b=3106,此

时 a2<2b;由 a>1,b2<1 得 a>b2 正确.

2.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( )

A.a<b<c

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

解析:选 C.因为1e<x<1,所以-1<ln x<0.

令 t=ln x,则-1<t<0.

所以 a-b=t-2t=-t>0,所以 a>b.

c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),

又因为-1<t<0,所以 0<t+1<1,-2<t-1<-1,

所以 c-a>0,所以 c>a.所以 c>a>b.
3.给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中,能推出 logb1b<loga1b <logab 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号).
解析:logb1b=-1. 若 1<a<b,则1b<1a<1<b, 则 loga1b<loga1a=-1,故条件①不可以; 若 0<a<b<1,则 b<1<1b<1a, 则 logab>loga1b>loga1a=-1=logb1b,

故条件②可以; 若 0<a<1<b,则 0<1b<1, 则 loga1b>0,logab<0,故条件③不可以. 答案:② 4.已知|a|<1,则1+1 a与 1-a 的大小关系为________.
解析:由|a|<1,得-1<a<1.

所以 1+a>0,1-a>0. 1
即11+-aa=1-1 a2,

因为 0<1-a2≤1, 所以1-1a2≥1,所以1+1 a≥1-a.

答案:1+1 a≥1-a 5.甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食,且两次粮食的价格不同,两位 采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购粮 1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000 元钱,谁的 购粮方式更合算?

解:设两次粮食的价格分别为 a 元/kg 与 b 元/kg,且 a≠b.

则甲采购员两次购粮的平均单价为

1 000(a+b) a+b 2×1 000 = 2 元/kg,

乙采购员两次购粮的平均单价为 1 02a0×0+1 0100b000=a2+abb元/kg.

因为a+2 b-a2+abb=(a2+(ba)+2b-)4ab=2((aa-+bb))2,

又 a+b>0,a≠b,(a-b)2>0,

所以2((aa-+bb))2>0,即a+2 b>a2+abb.

所以乙采购员的购粮方式更合算.

6.已知 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.求 f(3)的取值范围.

??f(1)=a-c,

解:由?



??f(2)=4a-c.

?a=13[f(2)-f(1)], ??c=-43f(1)+13f(2).

所以 f(3)=9a-c=83f(2)-53f(1).

因为-1≤f(2)≤5,所以-83≤83f(2)≤430. 因为-4≤f(1)≤-1,
所以??-53??×(-1)≤-53f(1)≤??-53??×(-4).
所以53≤-53f(1)≤230, 所以-83+53≤83f(2)-53f(1)≤430+230, 即-1≤f(3)≤20.
即 f(3)的取值范围是[-1,20].



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