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【测控设计】高二数学人教B版必修5课件2.2.1 等差数列_图文

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列 课程目标 1.理解等差数列的概念,并能用等 差数列的定义判断或证明一个数 列是否为等差数列. 2.掌握等差数列的通项公式和等 差中项的概念. 3.理解等差数列的性质,并能正确 应用在具体问题中. 4.了解等差数列与一次函数的关 系. 学习脉络 1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公 差通常用字母 d 表示. 思考 1 如何用定义来判断或证明数列 {an}为等差数列 ? 提示:定义法判断或证明数列 {an}是等差数列的步骤 : (1)作差 an+1-an,将差变形; (2)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列 {an}是等差数列;当 an+1-an 不是常数,而是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列. 2.等差数列的通项公式 如果一个等差数列 {an}的首项为 a1,公差为 d,则通项公式为 an=a1+(n-1)d. 特别提醒 1.等差数列通项公式的其他形式. (1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b 是常数). 2.等差数列的判断方法. (1)定义法 :an-an-1=d(n≥2)或 an+1-an=d?数列{an}是等差数列; (2)等差中项法 :2an=an-1+an+1(n≥2)?数列{an}为等差数列; (3)通项公式法 :an=an+b?数列 {an}是以 a1=a+b 为首项,以 a 为公差的 等差数列. 思考 2 要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立 的条件 ? 提示:因为等差数列的通项公式中涉及首项 a1 与公差 d,所以要确定一 个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件. 3.等差中项 如果三个数 x,A,y 组成等差数列,那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项.x,A,y 是等差数列的充要条件是 2A=x+y. 思考 3 已知 x,A,y 成等差数列,如何证明 A= 提示:∵x,A,y 成等差数列,∴A-x=y-A, 即 2A=x+y,∴A= + . 2 + ? 2 4.等差数列的性质 若数列 {an}是公差为 d 的等差数列, (1)d=0 时,数列为常数列;d>0 时,数列为递增数列;d<0 时,数列为递减 数列. (2)d= -1 -1 = - (m,n,k∈N+). - (3)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am+an=ap+aq. (4)若 + =k,则 am+an=2ak(m,n,k∈N+). 2 (5)若数列 {an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相 等,且等于首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…. (6)数列{λan+b}(λ, b 是常数)是公差为 λd 的等差数列. (7)下标成等差数列,且公差为 m 的项 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差 为 md 的等差数列. (8)若数列 {bn}也为等差数列,则 {an± bn},{kan+b}(k,b 为非零常数)也成 等差数列. (9)若{an}是等差数列,则 a1,a3,a5,…仍成等差数列. (10)若{an}是等差数列,则 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数 列. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 等差数列的判定或证明 判断一个数列为等差数列的常用方法 方法 定义法 通项公式法 等差中项法 内容 an+1-an=d(d 为常数,n≥1)?{an}是等差数列 an=pn+q (p,q 为常数)?{an}是等差数列 2an+1=an+an+2?{an}是等差数列 【典型例题 1】 已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,数列 {bn} 中,bn=3an+4,试判断{bn }是否为等差数列 ? 思路分析:可以利用 a1 和 d 写出 bn 的通项公式,也可以直接利用定义判 断 bn+1-bn 是否为常数. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:法一 :由题意可知 an=a1+(n-1)d(a1,d 为常数), 则 bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4 =3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4. 由于 bn 是关于 n 的一次函数(或常函数,d=0 时), 故{bn}是等差数列. 法二 :根据题意,知 bn+1=3an+1+4, ∴bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4) =3(an+1-an) =3d(常数). 由等差数列的定义知,数列{bn }是等差数列. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评 对于条件较为复杂的题目判定等差数列时 ,可以去繁化简, 弄清自变量 n 的函数表达式,进而求解,项数比较少时,也可考虑利用等差中 项求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 等差数列的通项公式及应用 确定等差数列的通项公式关键是明确首项和公差 ,若条件已知,可直接 写出;若条件中未明确,则需通过转化先求出首项和公差,体现出解决等差数 列问题的“基本量法”. 【典型例题 2】 已知递减等差数列 {an}的前三项和为 18,前三项的乘 积为 66,求数列{an}的通项公式,并判断-34 是数列 {an}的项吗 ? 思路分析:由数列前三项和为 18,前三项积为 66,列出关于 a1 和 d 的方 程组,通过解方程组求得 a1 和 d,由递减等差数列的条件确定方程组的解即 可求出 an;由 an=-34 求 n,然后由 n∈N+可判断. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:由题意,设该数列的首项为 a1,公差为 d, 则 即 1 + 2 + 3 = 18, 1 2 3 = 66, 31 + 3d = 18,


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