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10.由三角函数的图像求解析式


由 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的图像求解析式
知识点归纳: 1. 利用“五点法”作 y ? A sin(? x ? ? ) 图像,设 X ? ? x ? ? ,令 X ? 0, 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象 特 图像上升 图像上的 图像下降 时与 x 轴 “峰点” 时与 x 轴 征 的交点 的交点

?
2

,? ,

3? , 2? 2

图像上的 “谷点”

图像上升 时与 x 轴 的交点

x
?x ? ?
A sin(? x ? ? )

x1
0 0

x2 ? 2 A

x3

?
0

x4 3? 2 ?A

x5
2?

0

注: x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 分别为所给图像上的五个关键点(第一个点至第五个点) , 要注意 x 和 ?x ? ? 之间的对应系

2.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 表达式的确定:A(B)由最值确定;? 由周期确定;? 由图 象上的特殊点(上面的关键点)确定 ①由图像观察最高点、最低点, ymax ? A ? B 、 y min ? ? A ? B ,解这个关于 A 和 B 的二 元一次方程组即得 A 和 B ②由图像观察周期,再利用 ? ?

2? ,求得 ? T

【由图像观察周期时,常见形式有: x1 与 x5 之间是一个周期 T ;x1 与 x3 、x2 与 x4 之间是半 个周期

③ ? 的确定,一般要用图像的关键点来求,但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点, 如 ?x1 ? ? ? 0 ,?x 2 ? ? ?

T T ; x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 中相邻两个之间是四分之一的周期 .】 2 4

?
2

,?x3 ? ? ? ? , ?x 4 ? ? ?

?

3? ,从而根据以上等式,解出 2

考点 确定函数解析式问题 例 1.⑴若函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像(部分)如下图所示,则 ? 和 ? 的取值是( A、? ? 1, ? ?



?
3

B、? ? 1, ? ? ?

?
3

C、? ?

1 ? ,? ? 2 6

D、? ? 1, ? ? ?

?
6

⑵已知函数 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0 )的图像在 y 轴右侧的第一个最高 点(函数取最大值的点)为 M 2, 2 2 ,与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N ? 6,0? ,则这个 函数的解析式是 . ⑶若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ?

?

?

? )的最小正周期是 ? ,且 2

f (0) ? 3 ,则(
1 ? ,? ? 2 6 ? C. ? ? 2,? ? 6
A. ? ?



1 ? ,? ? 2 3 ? D. ? ? 2,? ? 3
B. ? ?

例 2.⑴某港口水的深度 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:时)的函数,记作 y ? f (t ) , 下 面是某日水深的数据: t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

经常期观察, y ? f (t ) 的曲线可以近似的看成函数 y ? A sin ?t ? b 的图象,根据以上的数 据,可得函数 y ? f (t ) 的近似表达式为 .

⑵一个大风车的半径为 8m ,每 12 min 旋转一周,最低点离地面 2m ,风车翼片的一个端点 P 离地面的距离 h ? m ? 与时间 t ? min ? 之间的函数关系式是 h ? Asin ??t ? ? ? ? B , t ? 0 时端 点 P 在点 P 处,则 h ? m ? 与 t ? min ? 之间的函数关系式是 0 .

8m

P h 2m 地面

练习: 1. 函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图像的两个相邻零点为 (?

?
6

,0) 和

( , 0) ,且该函数的最大值为 2,最小值为-2,则该函数的解析式为( ) 2 x ? 3x ? ? ) A、 y ? 2 sin( B、 y ? 2 sin( ? ) 2 4 2 4 3x ? x ? ? ) C、 y ? 2 sin( D、 y ? 2 sin( ? ) 2 6 2 6 ?? ? 2. f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? 的图象(部分)如图所 f ?x ? 的解 ? 2? ?
析式是 A. f ?x ? ? 2 sin? ?x ? ?

?

??

?

??x ? R ? 6?
y 2

? B. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ? ??x ? R ? ? ? 6? ?
? C. f ?x ? ? 2 sin? ?x ? ??x ? R ? ? ? 3? ?
? D. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ? ??x ? R ? ? ? 3? ?

O

1 3

5 6
x

-2 3. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

2 ? 2? , ?2) . 交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2
则 f ( x ) 的解析式 4. 函数 y ? sin(? x ? ?) ( x ? R, ? ? 0 , .

)的图象与 x 轴的

y

0 ? ? ? 2? )的部分图象如图,则 ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? 2 4 3 6 ? ? ? 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 4 4 4
5.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? ) 的一段图象如下图所示. 则 f ( x ) 的解析式 .

1

O

1

3
y

x

2

2 ? 3 8 ? 3

4 ? ? 3

O
?2

x

6. 函数 y ? A sin(? x ? ?) ? ? 0, ? ? ? , x ? R 2 的部分图象如图所示,则函数表达式为

?

?
4

y

A. y ? ?4 sin(

?
8

x? x?

?
4

) )

B. y ? 4 sin(

?
8

x?

?
4

)
?2 O

C. y ? ?4 sin(

?
8

?
4

D. y ? 4 sin(

?
8

x?

?
4

6

x

)
?4
y 1 O 1

? )( 7. 已 知 函 数 y ? 2 s i n (x ? ? ? ?
2? ?0, ? 的图像如图所示:那么 ? =(
A.1 B.2 C.

)0 ) 区 间 在 )



x

1 2

D.

1 3

8. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ?? ?

.

9. 动点 A( x, y) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 秒旋转一周.已知 12

定时 t=0 时, A 的坐标是 ( , 点

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单 2 2

位: 秒) 的函数关系式是 y ? sin ??t ? ? ? , ? ? 0, 0 ? ? ? 是 .

?
2

,则 y 关于 t 的函数解析式



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