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2018高中数学人教A版必修2课件:第一章1.3-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 精品_图文

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与 体积 [学习目标] 1.了解柱体、锥体、台体的表面积公式 和体积公式的推导过程, 会用公式求简单几何体的表面积 和体积(重点). 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表 面积之间的关系,并能利用它求几何体的表面积(易混、 易误点). 3.利用柱体、锥体、台体的表面积公式和体 积公式解决实际问题(难点). [知识提炼· 梳理] 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体,因此它们的表面积等于各个面的面积之和,也就是 展开图的面积. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆 柱 底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πrl+2πr2 底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=πrl+πr2 圆 锥 圆 台 底面积:S 底=π(r′2+r2) 侧面积:S 侧=π(r′l+rl) 表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl) 3.柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体:柱体的底面面积为 S,高为 h,则 V=Sh. 1 (2)锥体:锥体的底面面积为 S,高为 h,则 V= Sh. 3 (3)台体:台体的上,下底面面积分别为 S′,S,高为 1 h,则体积 V= (S+ SS′+S′)h. 3 [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.( ) (2) 棱 台 的 侧 面 展 开 图 是 由 若 干 个 等 腰 梯 形 组 成 的.( ) ) (3)圆台的高就是相应母线的长( 答案:(1)√ (2)× (3)× 2.(2014· 陕西卷)将边长为 1 的正方形以其一边所在 直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( A.4π B.3π C.2π ) D.π 解析: 底面圆半径为 1, 高为 1, 侧面积 S=2πrh=2π ×1×1=2π. 答案:C 3.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面 积之比为( A.1∶2 ) B.1∶ 3 C.1∶ 5 D. 3∶2 解析:设圆锥的高为 h,由 h=2r,则 l= r2+h2= 5r. 所以 S 底=πr2,S 侧=πrl= 5πr2 故 S 底∶S 侧=πr2∶ 5πr2=1∶ 5. 答案:C 4.正方体的表面积为 96,则棱长 a=________. 解析:由 S 表=6a2=96,得 a=4. 答案:4 5. 已知棱台的上、 下底面面积分别为 4、 16, 高为 3, 则该棱台的体积为________. 解析:因为 S 上底=4,S 下底=16,h=3. 1 所以台体= (4+16+ 4×16)×3=28. 3 答案:28 类型 1 柱体、锥体、台体的表面积(自主研析) [ 典例 1] (1) 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为 30° ,如图所示,则正四棱锥的侧 面积和表面积分别为________. (2)(2015· 陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 解析:(1)正棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, OE 所以 PE= =4 (cm). sin 30° 1 1 因此 S 棱锥侧= Ch′= ×4×4×4=32(cm2), 2 2 S 表面积=S 侧+S 底=32+16=48(cm2). (2)由三视图知,该几何体为半圆柱,其底面半圆的 半径 r=1,高 h=2. π 所以 S 底=2× ×12=π,S 侧=2×2+2×1×π=4+ 2 2π. 因此几何体的表面积 S 表=S 底+S 侧=4+3π. 答案:(1)32 cm2 48 cm2 (2)D 归纳升华 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时 需要将这个曲面展为平面图形计算, 而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和. 2.多面体的表面积一般是分解转化为各个面的面积 之和. 3.结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点, 解决此类问题的关键是正确地观察三视图, 把它们还原为 直观图, 特别要注意从三视图中得到几何体的相关量, 再 结合表面积公式求解. [变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°,求圆 台的表面积. 解:如图所示,设圆台的上底面周长为 c cm,由于 扇环的圆心角是 180°,则 c=π·SA=2π×10,解得 SA= 20(cm). 同理可得 SB=40(cm), 所以 AB=SB-SA=20(cm). 所以 S 表=S 侧+S 上+S 下= π×(10+20)×20+π×102+π×202= 1 100π(cm2). 类型 2 柱体、锥体、台体的体积(互动探究) [典例 2] (1)如图所示,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 a,过顶点 B,D, A1 截下一个三棱锥,求剩余部分的体积. (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16 2 π,则圆锥的体积是( ) 64π A. 3 128π B. 3 C.64π D.128 2π 1 1 1 2 (1)解:V 三棱锥 A1-ABD= S△ABD·A1A= × a ·a= 3 3 2 1 3 a. 6 故剩余部分的体积 V=V 正方体-V 三棱锥 A1?ABD= 3 a 5 3 3 a- = a. 6 6 (2)解析:作圆锥的轴截面(如图所示). 由题设,在△POB 中,∠APB=90°,PA=PB. 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 h=r,PB= 2r. 由 S 侧=π·r·PB=16 2π,得 2πr=


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