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点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法
已知点 P ( x 0 , y 0 ) 直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ( A ? 0, B ? 0 ) 求点 P 到直线 l 的距离。 (因为 特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线) 一、 定义法 证:根据定义,点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长,如图 1, 设点 P 到直线 l 的垂线为 l ' ,垂足为 Q,由 l ' ? l 可知 l ' 的斜率为
?l
'

B A

y

P
Q

l
l'

的方程: y ? y 0 ?
2

B A

( x ? x 0 ) 与 l 联立方程组

解得交点 Q (
2

B x0 ? A B y0 ? A C A ?B
2 2

,

A y0 ? A B x0 ? B C
2

x
)

A ?B
2

2

图1
2 2

| PQ | ? (
2 2

B x0 ? A B y0 ? A C A ?B
2 2

? x0 ) ? (
2 2

A y0 ? A B x0 ? B C
2

A ?B
2 2

? y0 )

2

?( ?

? A x0 ? A B y0 ? A C A ?B
2 2 2 2 2 2

) ?(
2 2

? B y0 ? A B x0 ? B C A ?B
2

)

2

A ( A x0 ? B y0 ? C ) (A ? B )
2

2

?

B ( A x0 ? B y0 ? C ) (A ? B )
2 2 2

?

( A x0 ? B y0 ? C ) A ?B
2 2

2

? P Q |?

| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2

二、 函数法 证:点 P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点 P 到直线 l 的距离。在 l 上取任意点 Q ( x , y ) 用两点的距离公式有,为了利用条件 A x ? B y ? C ? 0 上式变形一下,配凑系数处理 得:
( A ? B )[( x ? x 0 ) ? ( y ? y 0 ) ]
2 2 2 2

? A ( x ? x0 ) ? B ( y ? y0 ) ? A ( y ? y0 ) ? B ( x ? x0 )
2 2 2 2 2 2 2

2

? [ A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 )] ? [ A ( y ? y 0 ) ? B ( x ? x 0 )]
2 2 2

2

? [ A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 )] ? ( A x 0 ? B y 0 ? C ) (? A x ? B y ? C ? 0 ) ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ?
2 2

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

当且仅当 A ( y ? y 0 ) ? B ( x ? x 0) 时取等号所以最小值就是 d ?

| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

三、不等式法 证:点 P 到直线 l 上任意一点 Q ( x , y ) 的距离的最小值就是点 P 到直线 l 的距离。由柯西不 等式: ( A ? B )[( x ? x 0 ) ? ( y ? y 0 ) ] ? [ A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 )] ? ( A x 0 ? B y 0 ? C )
2 2 2 2 2 2

? A x ? B y ? C ? 0,?

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ?
2 2

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

当且仅当 A ( y ? y 0 ) ? B ( x ? x 0) 时取等号所以最小值就是 d ? 四、转化法 证:设直线 l 的倾斜角为 ? 过点 P 作 PM∥ y 轴交 l 于 M
( x1 , y 1 )

| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

y
C

P
M

l

l y
Q

P
M





x1 ? x 0





y1 ? ?

A

0

? x

Q

b

x
图2
图3

x

?| P M | ? | y 0 ?

A x0 ? C B

|? |

A x0 ? B y0 ? C B

|

易得∠MPQ= ? (图 2)或∠MPQ= 1 8 0 0 ? ? (图 3) 在 两 种 情
1 1 ? tan ?
2


?


|B|





tan ? M P Q ? tan ? ?
2 2

A B

2 2





co s ? M P Q ?

A ?B
2

2

| P Q |? | P M | co s ? M P Q ? |

A x0 ? B y0 ? C B

|

|B| A ?B
2 2

?

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

五、三角形法 证:P 作 PM∥ y 轴交 l 于 M,过点 P 作 PN∥ x 轴交 l 于 N(图 4) 由解法三知 | P M | ? |
A x0 ? B y0 ? C B | ;同理得 | P N | ? | A x0 ? B y0 ? C A |

y

P
Q
M

N

在 Rt△MPN 中,PQ 是斜边上的高
?| P Q | ? | PM | ? | PN | | PM | ? | PN |
2 2

x
l

?

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

图4

六、参数方程法 证:过点 P ( x 0 , y 0 ) 作直线 l ' : ?
? x ? x 0 ? t co s ? ? y ? y 0 ? t sin ?

交直线 l 于点 Q。(如图 1)
l' 代 入

由 直 线 参 数 方 程 的 几 何 意 义 知 | t |? | P Q | , 将
A x 0 ? A t co s ? ? B y 0 ? B t sin ? ? C ? 0
A x0 ? B y0 ? C ? A co s ? ? B sin ?

l



整理后得 | t |? |

| ...........(1)

当 l ' ? l 时,我们讨论 ? 与 l 的倾斜角 ? 的关系: 当 ? 为锐角时 ( tan ? ? ?
co s ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? co s ? ? tan ? 1 ? tan ?
2

A B

? 0, 不 妨 令 A > 0 , B < 0 )有 ? ? 9 0 ? ? (图 2)
0

? ?

B A ?B
2 2

? ? ?B

A A ?B
2 2

1 1 ? tan ?
2

? ?
A B

|B| A ?B
2 2

?

A ?B
2

2

当 ? 为钝角时 ( tan ? ? ?

? 0, 不 妨 令 A > 0 , B > 0 )有 ? ? ? ? 90 (图 3)
0

得到的结果和上述形式相同,将此结果代入①得
| t |? | | A x0 ? B y0 ? C | A
2 2

A ? B

?
2

B
2

2

? |
2

| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

y

P

Q

A ? B

? n
x
l

七、向量法 ? ) 证 : 如 图 五 , 设 直 线 l : A x? B y C? 0 ( A? 0 , B? 0的 一 个 法 向 量
???? ? B n ? (1, ) ,Q 直线上任意一点,则 P Q ? ( x1 ? x 0 , y 1 ? y 0 ) 。从而点 P 到直 A

图五

线的距离为:

B ? ???? | x1 ? x 0 ? ( y1 ? y 0 ) | | A ( x1 ? x 0 ) ? B ( y 1 ? y 0 ) | | n ? PQ | A ? d ? ? ? 2 2 2 |n| B A ?B 1? 2 A ? P 点 在 直 线 l 上 ,? A x1 ? B y 1 ? C ? 0, 从 而 d ? | A x1 ? B y 1 ? A x 0 ? B y 0 | A ?B
2 2

?

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

附: 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为
B A
y

(A≠0) ,根据点斜式

R d Q o S

P(x0,y0)

写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的 坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d
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学案

x l

方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都 相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R ( x 1 , y 0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x 0 , y 2 ) , 由?
? A 1 x 1 ? By ? Ax
0 0 2

?C ?0 ?C ?0

? By

得 x1 ?

? By

0

?C

A

, y2 ?

? Ax

0

?C

.

B

所以,|PR|=| x 0 ? x 1 |=

Ax

0

? By A ?C

0

?C

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax

0

? By B

0

|RS|= PR

2

? PS

2

?

A

2

? B

2

AB
d ·|RS|=|PR|·|PS|
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×| Ax 0 ? By 0 ? C |由三角形面积公式可知:

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所以 d ?

Ax

0

? By
2

0

?C
2

A ? B

可证明,当 A=0 时仍适用

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