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贵州省思南中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

思南中学 2018—2019 学年度第一学期半期考试 高二年级数学试题
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项. 1.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.“至少有 1 个白球”和“都是红球” B.“至少有 1 个白球”和“至多有 1 个红球” C.“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球” D.“至多有 1 个白球”和“都是红球” 2、 若a是从区间 ?0,10?中任取一个实数,则方 程x 2 ? ax ? 1 ? 0无实解得概率是 ( A 0.1 ) B 0.2 C 0.3 D 0.4 ) )

3、执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为(

A.2016

B.2

1 C. 2

D.-1

4.根据如下样本数据

x y
?

3 4.0

4

5

6

7

8

2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 ). D.a<0,b>0

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( A.a>0,b<0 B.a>0,b>0

C.a<0,b<0

5.设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=

-1-

1,2,? ,10),则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为( A.1,4+a B.1+a,4+a
2 2

) D.1+a,4

C.1,4

6、直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

7. 甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试,三人依次进行,每次一人,其 中甲、乙两人相邻的概率为( A. ) C. )

1 3

B.

1 4

1 2

D.

2 3

8、下列说法正确的是 (

π π A.函数 y=2sin(2x- )的图象的一条对称轴是直线 x= 6 12 B.若命题 p: “存在 x∈R,x -x-1>0” ,则命题 p 的否定为: “对任意 x∈R, x -x-1≤0” 1 C.若 x≠0,则 x+ ≥2
2 2

x

D.“a=1”是“直线 x-ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件

9、“不等式 x -x+m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( 1 A.m> B.0<m<1 4 C.m>0 D .m>1

2

)

10. 将参加夏令营的 600 名学生按 001,002,?,600 进行编号.采用系统抽样的方法抽取一 个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分别住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人 数依次为 ( ) B.25,16,9 D.24,17,9 },集合 B={(x,y)|y },先后掷两颗骰子,掷第一 的概率为( )

A.26,16,8 C.25,17,8 11、集合 A={(x,y)|y

颗骰子的点数为 a,掷第二颗骰子的点数为 b,则(a,b)

A.

B.

C.

D.

-2-

? 5? 12、已知命题p : 若已知函数f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? )(? ? R)满足f (? ) ? f ( ), 6 6 ? 2? x 则x ? 是函数f ( x)图像的一条对称轴,命 题q : 函数f ( x) ? log 1 | |是 6 2 ? x 2
奇函数,则下列为真命 题的是? A .p? q
?

?

B

?

p ?q

C p ? ?q

D p?q

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 答案须填在横线上 13、甲、乙两人约定于 6 时到 7 时之间在某地会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时即可离去,求两人会面的概率 14、给出下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题; ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题; ③“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题; ④“若 x≤-3,则 x -x-6>0”的否命题; 其中真命题的个数为________. 15、以 A={2,4,6,7,8,11,12,13}中任意两个元素分别为分子与分母构成分数,则这分数是可 约分数的概率是 16、设 p:|4x-3|≤1;q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若 p是 q的必要不充分条件, 求 实数 a 的取值范围 .
2 2 2 2

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分) 、已知 m∈R,对 p:x1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个根,不等 式|m-5|≤|x1 4 2 -x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立;q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“p 3 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围.
2

18(12 分) .设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对 任意的正整数 n,都有 Sn=2an+n-3 成立. (1)求证:数列{an-1}为等比数列; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

-3-

19(12 分) .由某种设备的使用年限 xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得如下结 果.

?x
i ?1

5

2 i

? 90, ? xi yi ? 112, ? xi ? 20, ? yi ? 25.
i ?1 i ?1 i ?1

5

5

5

^ (2)①判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; ②当使用年限为 8 年时,试估计支出的维修费是多少.

^

^

(1)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程y=bx+a;

20(12 分).如图,在底面是正三角形的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=2,D 是 BC 的中点.

(1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)求点 A1 到 平面 AB1D 的距离.

21(12 分).某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 人,将其数学成绩(均为整数)分成 六组 [90,100),[100,110),? ,[140,150] 后得到如下部分频率分布直方图 ,观察图形的信息 , 回答下列问题:

-4-

(1)求分数在[120,130)内的频率; (2) 若 在 同 一 组 数 据 中 , 将 该 组 区 间 的 中 点 值 ( 如 : 区 间 [100,110) 的 中 点 值 为

100 ? 110 105 )作为这组数据的平均分,据此估计本次考试的平均分; 2
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本 看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

1 22(12 分) 、在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b ,c,且 cosA= . 3 (1)求 cos
2

B+C
2

+cos2A 的值;

(2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值.

-5-

思南中学 2018—2019 学年度第一学期半期考试 高二数学期中答案

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选择一 个符合题目要求的选项. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 C 11 D 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 答案须填在横线上.

7 16 5 15、 14
13、 三、解答题: (6 大题,共计 70 分)

14、_____2__.

? 1? 16、?0, ?. ? 2?

17(10 分) 、解:由题设知 x1+x2=a,x1x2=-2, ∴|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= a +8.
2 2

a∈[1,2]时, a2+8的最小值为 3,要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立,只需
|m-5|≤3,即 2≤m≤8. 4 2 由已知,得 f(x)=3x +2mx+m+ =0 的判别式 3 4 2 2 Δ =4m -12(m+ )=4m -12m-16>0, 3 得 m<-1 或 m>4. ,综上,要使“p 且 q”为真命题,只需 p 真 q 真,



?2 ≤ m ≤ 8 ? ? m < ?1或m > 4

解得实数 m 的取值范围是(4,8]

18. (12 分)解 (1)证明:当 n=1 时,S1=2a1+1-3,得 a1=2, 由 Sn=2an+n-3,得 Sn+1=2an+1+n+1-3, 两式相减得 an+1=2an+1-2an+1, 即 an+1=2an-1,
-6-

an+1-1 2an-2 = =2,而 a1-1=1, an-1 an-1
∴数列{an-1}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)得 an-1=1·2
n-1

=2

n-1

,即 an=2

n-1

+1,

nan=n(2n-1+1)=n·2n-1+n,
∴Tn=(1×2 +1)+(2×2 +2)+(3×2 +3)+?+(n·2 +?+n·2
n-1
0 1 2 0 1 2

n-1

+n)=(1×2 +2×2 +3×2
n-1

0

1

2

)+(1+2+3+?+n)=(1×2 +2×2 +3×2 +?+n·2
0 1 2

)+

n?n+1?
2

.

令 Vn=1×2 +2×2 +3×2 +?+n·2
1 2 3

n-1



则 2Vn=1×2 +2×2 +3×2 +?+n·2 , 两式相减得 -Vn=1+2 +2 +?+2
n n
1 2

n

n-1

1×?1-2 ? n n n n -n·2 = -n·2 =2 -1-n·2 , 1-2
n

n

∴Vn=n ·2 -2 +1=(n-1)2 +1, ∴Tn=(n-1)2 +
n

n?n+1?
2

+1.

19(12 分)解(1)∵

? xi ? 20, ? yi ? 25, 则 x ?
i ?1 i ?1 5

5

5

?

1 5 ? xi ? 4, 5 i ?1
i i

y?
^

?

? 1 5 yi ? 5, 所以: b? ? 5 i ?1

?x y
i ?1 5

?5x y ?5x
? 2

? ?

^

?x
i ?1

?

2 i

112? 5 ? 4 ? 5 ? 1,2 90 ? 5 ? 4 2

a= y -b x =5-1.2×4=0.2.
^ ∴线性回归方程为y=1.2x+0.2. ^ (2)①由(1)知b=1.2>0,∴变量 x 与 y 之间是正相关. ^ ②由(1)知,当 x=8 时,y=9.8,即使用年限为 8 年时,支出的维修费约是 9.8 万元.

-7-

20. (12 分)解 (1)证明:连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD.

∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴四边形 ABB1A1 是平行四边形, ∴O 是 A1B 的中点. 又 D 是 BC 的中点, ∴OD∥A1C, ∵OD? 平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (2)由(1)知 O 是 A1B 的中点, ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离等于点 B 到平面 AB1D 的距离. ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∴平面 BCC1B1⊥平面 ABC. ∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC,∴AD⊥平面 BCC1B1,∴AD⊥B1D. 设点 B 到平面 AB1D 的距离为 d, ∵VB1-ABD=VB-AB1D, ∴S△ABD·BB1=S△AB1D·d, ∴d=

S△ABD·BB1 AD·BD·BB1 BD·BB1 = = S△AB1D AD·B1D B1D

-8-



2 5 , 5

2 5 ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离为 . 5

21(12 分)解析:(1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=0.3. (2) 估 计 平 均 分 为 x=95 × 0.1+10 5 × 0.15+115 × 0.15+ 125 × 0.3+135 × 0.25+145 × 0.05=121. (3)由题意知,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9, [120,130)分数段的人数为 60×0.3=18.

∵用分层抽样的方法在分数段为 [110,130)的学生中抽 取 一个容量为 6 的样本,∴需在
[110,120)分数段内抽取 2 人 ,在[120,130)分数段内抽取 4 人,

∴从这 6 人中抽取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率

?a1 , b1 ?, ?a1 , b2 ?, ?a2 , a3 ?, ?a2 , a4 ?, ?a2 , b1 ?, ?a2 , b2 ?, ?a3 , a4 ?, ?a3 , b1 ?, ?a3 , b2 ?, ?a4 , b1 ?, ?a4 , b2 ?, ?b1 , b2 ?, 共15个,其中,至多有一人 在?120,130?之间的基本事件有 9个,

?a1 , a2 ?, ?a1 , a3 ?, ?a1 , a4 ?, b1 , b2 , 在?110,130?之间的试卷中任取两份 的基本事件为:

将?120,130?之间的4个人编号为a1 , a 2 , a3 , a 4 , ?110,120?之间的2个人编号为

?120,130?之间的概率是 9 ? 3 故至多有一人在 15 5
22(12 分) 、解 (1)cos
2

B+C
2

+cos2A=

1+cos?B+C? 1 cosA 2 2 +2cos A-1= - +2cos A 2 2 2

1 1 1 4 ?1?2 -1= - × +2×? ? -1=- . 2 2 3 9 ?3? 2 2 4 2 2 2 2 2 (2) 由余弦定理,可得 ( 3) = b + c - 2bc·cosA = b + c - bc≥2bc - bc = bc ,∴ 3 3 3

bc≤ ,
3 9 当且仅当 b=c= 时,bc 有最大值 , 2 4 1 又 cosA= ,A∈(0,π ), 3

9 4

-9-

∴sinA= 1-cos A=

2

?1?2 2 2, 1-? ? = 3 ?3?

1 1 9 2 2 3 2 ∴(S△ABC)max= bcsinA= × × = . 2 2 4 3 4

- 10 -



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