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1.1.1集合的含义与表示


1.1.1集合的含义与表示 1.1.1集合的含义与表示

问题提出 “集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语解释为: 集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语解释为 集合 许多的人或物聚在一起. 许多的人或物聚在一起

在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言, 在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言, 我们怎样理解数学中的“集合” 我们怎样理解数学中的“集合”?

知识探究( 知识探究(一)

3 (1) ? 11,4,0,? , 2 ,2 4
以上各数哪些为自然数,哪些是有理数? 以上各数哪些为自然数,哪些是有理数? 自然数: 自然数:

4,0,2

3 有理数: 有理数: ? 11,4,0,? ,2 4

初中平面几何中,圆是如何描述的? (2)初中平面几何中,圆是如何描述的? 圆是: 圆是:到一个定点的距离等于定长的点的集合

像上面的例子中,自然数,有理数, 像上面的例子中,自然数,有理数,到 一个定点的距离等于定长的点都是我们所要 研究的对象, 研究的对象,我们把这些研究的对象称为元 把一些元素组成的总体叫做集合, 素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称 集

例: (1)1~10以内的所有质数; 10以内的所有质数; 以内的所有质数 (2)绝对值小于3的整数; 绝对值小于3的整数; 的实数根; (3)方程x2-2x-3=0的实数根; 方程x 2x-3=0的实数根 (4)我们班的所有学生. 我们班的所有学生. 思考1 上述每个问题都由若干个对象组成, 思考1:上述每个问题都由若干个对象组成,每组对象 的全体分别形成一个集合 集合中的每个对象都称为元素 集合, 元素. 的全体分别形成一个集合,集合中的每个对象都称为元素. 上述4个集合中的元素分别是什么? 上述4个集合中的元素分别是什么?

一般地,把研究的对象称为元素, 一般地,把研究的对象称为元素,通 常用小写拉丁字母a 表示; 常用小写拉丁字母a,b,c,…表示;把一 些元素组成的总体叫做集合,简称集, 些元素组成的总体叫做集合,简称集,一般 用大括号” }”表示集合 用大括号”{ } 表示集合,也常用大写拉丁 字母A 表示. 字母A,B,C,…表示. 例: {2,3,5,7}

{我们班的学生}
注: 大括号指:“全体”,“集在一起” 大括号指: 全体” 集在一起”

知识探究( 知识探究(二) 任意一组对象是否都能组成一个集合? 任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元 素有什么特征? 素有什么特征? 思考1 我们班所有的“帅哥”能否构成一个集合? 思考1:我们班所有的“帅哥”能否构成一个集合?由 此说明什么? 此说明什么? 集合中的元素必须是确定的 思考2 在一个给定的集合中能否有相同的元素? 思考2:在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此 说明什么? 说明什么? 集合中的元素是不重复出现的 思考3 我们班的全体同学组成一个集合, 思考3:我们班的全体同学组成一个集合,调整座位后 这个集合有没有变化?由此说明什么? 这个集合有没有变化?由此说明什么? 集合中的元素是没有顺序的

集合三大特性:
(1)确定性:集合中的元素必须是确定 )确定性: 的. (2)互异性:集合中的元素必须是互不 )互异性: 相同的。 相同的。 (3)无序性:集合中的元素是无先后顺序 )无序性: 的.集合中的任何两个元素都可以交换位 置. 只要构成两个集合的元素是一样 的,我们就称这两个集合是相等 的

判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市 身材较高的人 著名的数学家

√ × ×

高一(16)班眼睛很近视的同学 × 班眼睛很近视的同学 高一

非常” 比较 这些不确定 比较” 不确定的词 注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 像 非常 都不能构成集合

知识探究( 知识探究(三) 思考1 设集合A表示“ 思考1:设集合A表示“1~20以内的所有质数”,那 20以内的所有质数” 以内的所有质数 这四个元素哪些在集合A 哪些不在集合A 么3,4,5,6这四个元素哪些在集合A中?哪些不在集合A 中? 思考2 对于一个给定的集合A 那么某元素a与集合A 思考2:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系? 有哪几种可能关系? 1.如果元素a是集合A中的元素,我们就说 属于集合 属于集合A, 1.如果元素a是集合A中的元素,我们就说a属于集合 , 如果元素 记作 a ∈ A 2.如果元素a不是集合A中的元素,我们就说 不属于集合 2.如果元素a不是集合A中的元素,我们就说a不属于集合 如果元素 A,记作 a ? A ,

知识探究( 知识探究(四) 思考1 所有的自然数,正整数,整数,有理数, 思考1:所有的自然数,正整数,整数,有理数,实 数能否分别构成集合? 数能否分别构成集合? 自然数集(非负整数集):记作 自然数集(非负整数集):记作 N ): 正整数集: 正整数集:记作 N*或 N+ 整数集: 整数集:记作 Z 有理数集: 有理数集:记作 Q 实数集: 实数集:记作 R

练一练: 练一练:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)

用符号“ 用符号“∈”或“ ?” 填空: 填空: ∈ 3.14_______Q ? π_______Q ∈ 0_______N ? 0_______N+ ∈ ((-0.5)0_______Z ∈ 2_______R

集合的分类: 集合的分类:
有限集: (1)有限集:含有限个元素的集合 无限集: (2)无限集:含无限个元素的集合 空集: (3)空集:不含任何元素的集合

φ

集合的表示方法: 集合的表示方法:
1、列举法: 列举法:
无序 互异 }

将集合中的元素一一列举出来,并用大括号{ 将集合中的元素一一列举出来,并用大括号{ 括起来的方法叫做列举法

用列举法表示下列集合: 例:用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合 小于10的所有自然数组成的集合; (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程 的所有实数根组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由 10以内的所有质数组成的集合 以内的所有质数组成的集合。 (3)由1~10以内的所有质数组成的集合。
思考题(P4) 思考题(P4) (1)你能用自然语言描述集合 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8} (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8} 吗? (2)你能用列举法表示不等式 7<3吗 你能用列举法表示不等式x (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?

描述法: 2、描述法:
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件) 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件) 表示出来,写成{x p(x)}的形式 {x︱ 表示出来,写成{x︱p(x)}的形式
特征性质

例,试分别用列举法和描述法表示下列 集合: 集合: (1)方程 2=0的所有实数根组成的集 方程x (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的 由大于10小于20 (2)由大于10小于20的所有整数组成的 集合。 集合。 结合此例,试比较用自然语言 试比较用自然语言、 思考题 : 结合此例 试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。 适用的对象。

3、图示法(venn图) 图示法(venn图 我们常常画一条封闭的曲线, 我们常常画一条封闭的曲线,用它的 内部表示一个集合。 内部表示一个集合。 例如: 例如:图1-1表示任意一个集合A 表示任意一个集合A 图1-2表示集合 {1,2,3,4,5}
1,2, 3,4, 5

A 图 1- 1

图 1- 2

练习: 练习:

1:已知A= {a ? 3,2a ? 1, a 2 ? 4},且 ? 3 ∈ A 已知A= 求实数a的值。 求实数a的值。

下列各组中集合M与集合P 2,下列各组中集合M与集合P表示同一集合的 有?
(1) M = {(1,?3)} ) (2) M = φ )

P = {1,?3} P = {0}

(3) M = y y = x + 1, x ∈ R )

M = y y = x 2 + 1, x ∈ R (4) )
2

{ P = {z z = t

{ } P = {( x , y ) y = x + 1, x ∈ R}
+ 1, t ∈ R

}

}

课堂小结 1.集合的含义; 集合的含义; 2.集合元素的特性:确定性,互 集合元素的特性:确定性, 异性,无序性; 异性,无序性; 3.元素与集合的关系; 元素与集合的关系; 4.数集及有关符号; 数集及有关符号; 表示方法; 5. 集合的表示方法; 集合的表示方法 6. 集合的分类.。 集合的分类 。 分类

3.已知集合 . A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} ∈ ∈ 只有一个元素,求a的值和这个元 只有一个元素, 的值和这个元 素..

} 4,设集合 A = {5,| a +1|,2a +1 ,已知 3∈ A 求实 ,
的值. 数 a 的值. 1 或- 4 已知集合A={1 A={1, 3},B={1,2}, 5, 已知集合A={1,2,3},B={1,2},设集合 C= { x | x = a ?b, a∈ A, b∈B} ,试用列举法表示集合C. 试用列举法表示集合C. C={-1,0,1,2} C={-



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