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【步步高】2015届高三数学人教B版【Word版文档】 选修4-1 几何证明选讲


选修 4-1

几何证明选讲

1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组__________在一条直线上截得的线段______,那么在任一条(与这组平行线相交的) 直线上截得的线段也________. (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成________. 2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应________的两个三角形________; ②两边对应成________且夹角________的两个三角形________; ③三边对应成________的两个三角形________. (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于____________. ②相似三角形周长的比等于____________. ③相似三角形面积的比等于________________________. 3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于________________________________, 斜边上的高的平方 等于________________________________. 4.圆中有关的定理 (1)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的________. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于________________的度数. (3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线. ②切线的性质定理 圆的切线________于经过切点的半径. (4)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线,切线长________. (5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________. (6)相交弦定理 圆的两条相交弦,每条弦被交点分成的两条线段长的积________. (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________. (8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线,切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的 ________________. (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角________,则此四边形内接于圆; (ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. ②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角________; (ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角.

1.如图,F 为?ABCD 的边 AD 延长线上的一点,DF=AD,BF 分别交 DC,AC 于点 G,E, EF=16,GF=12,则 BE 的长为________.

第 1 题图

第 2 题图

a 2.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别 2 为线段 AB、AD 的中点,则 EF=________. 3. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与⊙O 相切,切点为 A,∠MAB=30° , 则∠D=________.

4.如图所示,EA 是圆 O 的切线,割线 EB 交圆 O 于点 C,C 在直径 AB 上的射影为 D,CD =2,BD=4,则 EA=________.

第 4 题图

第 5 题图

5.(2012· 湖南)如图所示,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO =3,则⊙O 的半径等于________.

题型一 相似三角形的判定及性质 例1 如图,已知在△ABC 中,点 D 是 BC 边上的中点,且 AD=AC,DE⊥BC,DE 与 AB

相交于点 E,EC 与 AD 相交于点 F. (1)求证:△ABC∽△FCD; (2)若 S△FCD=5,BC=10,求 DE 的长.

思维升华

(1) 三角形相似的证明方法很多,解题时应根据条件,结合图形选择恰当的方

法.一般的思考程序:先找两对内角对应相等;若只有一个角对应相等,再判定这个角的两 邻边是否对应成比例;若无角对应相等,就要证明三边对应成比例. (2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式,若题目中无平行线,需利用相似三角形的 性质证明.

如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB=CD, DE∥CA, 且交 BA 的延长线于 E, 求证: ED· CD =EA· BD.

题型二 直角三角形的射影定理 例2 如图,Rt△ABC 中,∠BAC=

90° ,AD⊥BC 于 D,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,EF⊥BC 于 F. 求证:EF∶DF=BC∶AC.

思维升华

已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时,应首先考虑射影定

理,注意射影与直角边的对应法则,根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式,并分 清比例中项.

如图所示,在△ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 是∠ABC 的平分线,交 AD 于 F, DF AE 求证: = . AF EC

题型三 圆的切线的判定与性质

例3

如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上, DE⊥EB,

且 AD=2 3,AE=6. (1)判断直线 AC 与△BDE 的外接圆的位置关系; (2)求 EC 的长.

思维升华 证明直线是圆的切线的方法:若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共 点),则连结圆心和这个公共点,设法证明直线垂直于这条半径;如果已知条件中直线与圆 的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,设法证明这条垂 线段的长等于圆半径. (2013· 广东改编)

如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线 交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,求 BC 的长.

题型四 与圆有关的比例线段

例4

(2012· 辽宁)如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于

C,D 两点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明:

(1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.

思维升华

(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三

角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注 意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.

如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点 的切线交 CA 的延长线于 P. (1)求证:PM2=PA· PC; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长.

与圆有关的几何证明问题

典例:(10 分) (2012· 课标全国)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接 圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明:

(1)CD=BC;

(2)△BCD∽△GBD. 思维启迪 (1)连结 AF,利用平行关系构造平行四边形可得结论; (2)先证△BCD 和△GBD 为等腰三角形,再证明两三角形顶角相等即可. 规范解答 证明

(1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, 所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连结 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF.[5 分] 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.[6 分] (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD, 所以∠BGD=∠BDG.[8 分] 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD.[10 分]

处理与圆有关的比例线段的常见思路: (1)利用圆的有关定理; (2)利用相似三角形; (3)利用平行线分线段成比例定理及推论; (4)利用面积关系等.

温馨提醒

(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论,要熟

悉各种图形的特征,利用好平行、垂直、相似、全等的关系,适当添加辅助线和辅助图形, 这些知识都有利于问题的解决.

(2)证明等积式时,通常转化为证明比例式,再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可 利用平行线分线段成比例定理来证明. (3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,解题时应根据需要添加辅助线构造 所需要的角. (4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得到角相等,进而为三角形的相似创 造了条件.

方法与技巧 1.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似, 若不相似,则进行线段替换或等比替换. 2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的角,找相似三角形,从而得出 线段的比.由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用. 失误与防范 1.在应用平行截割定理时,一定要注意对应线段成比例. 2.在解决相似三角形时,一定要注意对应角和对应边,否则容易出错.

A 组 专项基础训练 1.已知△ABC 中,BF⊥AC 于点 F,CE⊥AB 于点 E,BF 和 CE 相交于点 P,求证: (1)△BPE∽△CPF; (2)△EFP∽△BCP.

2.

如图,△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 交 BC 于点 D,若 E 是 AC 的中点,ED 的延长线 交 AB 的延长线于 F,求证: AB DF = . AC AF

3. 如图所示,已知在△ABC 中,∠ABC=90° ,O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径 的圆与 AB 交于点 E,与 AC 切于点 D,连结 DB,DE,OC.若 AD=2,AE=1,求 CD 的长.

4.(2013· 江苏)如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC. 求证:AC=2AD.

5. 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,若 S△ODC∶S△BDC=1∶3,求 S△ODC∶S△ABC.

6. 如图,锐角三角形 ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点.

(1)求证:四点 A,I,H,E 共圆; (2)若∠C=50° ,求∠IEH 的度数.

B 组 专项能力提升

1. 如图所示,已知:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,M 是 BC 的中点,CN⊥AM,垂足是 N, 求

证:AB· BM=AM· BN.

2. 如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于点 E. 求证:AE· BF=2DE· AF.

3.(2013· 辽宁) 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连结 AE,BE. 证明:(1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC.

4.(2013· 课标全国Ⅰ)如图,直线 AB 为圆 O 的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角 平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

答案
要点梳理 1.(1)平行线 相等 相等 (2)比例 2.(1)①相等 相似 ②比例 相等 相似 ③比例 相似

(2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 3.该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 两条直角边在斜边上的射影的乘积 4.(1)一半 (4)相等 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直

(5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于

(9)①(ⅰ)互补 夯基释疑

a 5 1.8 2. 3.120° 4. 5. 6 2 2 题型分类· 深度剖析 例1 (1)证明 ∵DE⊥BC,D 是 BC 边上的中点,

∴EB=EC,∴∠B=∠ECD, 又 AD=AC,∴∠ADC=∠ACD, ∴△ABC∽△FCD. (2)解

过点 A 作 AM⊥BC,垂足为点 M, ∵△ABC∽△FCD,BC=2CD, ∴ S△ABC BC 2 =( ) =4, S△FCD CD

又∵S△FCD=5,∴S△ABC=20, 1 1 又 S△ABC= ×BC×AM= ×10×AM=20, 2 2 DE BD 解得 AM=4,又 DE∥AM,∴ = , AM BM 1 5 5 15 ∵DM= DC= ,BM=BD+DM=5+ = , 2 2 2 2 DE 5 8 ∴ = ,解得 DE= . 4 15 3 2 跟踪训练 1 证明 在梯形 ABCD 中,

∵AB=DC,∴∠ABC=∠DCB. 又 BC=BC,∴△ABC≌△DCB.∴∠BAC=∠BDC, ∵AC∥ED,AD∥BC, ∴∠E=∠BAC=∠BDC,∠EAD=∠ABC=∠DCB, ∴△EAD∽△DCB. ∴ EA ED = ,即 ED· CD=EA· BD. DC DB 证明 ∵∠BAC=90° ,且 AD⊥BC,

例2

AC BC ∴由射影定理得 AC2=CD· BC,∴ = .① CD AC AE AC ∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD,∴ = . DF CD 又 BE 平分∠ABC,且 EA⊥AB,EF⊥BC, EF AC ∴AE=EF,∴ = .② DF CD 由①、②得 EF BC = ,即 EF∶DF=BC∶AC. DF AC

跟踪训练 2 证明 由三角形的内角平分线定理得, DF BD 在△ABD 中, = ,① AF AB AE AB 在△ABC 中, = ,② EC BC 在 Rt△ABC 中,由射影定理知, BD AB AB2=BD· BC,即 = .③ AB BC DF AB 由①③得: = ,④ AF BC DF AE 由②④得: = . AF EC 例3 解 (1)取 BD 的中点 O,连结 OE.

∵BE 平分∠ABC, ∴∠CBE=∠OBE. 又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE. ∵∠C=90° ,∴OE⊥AC, ∴直线 AC 是△BDE 的外接圆的切线,

即直线 AC 与△BDE 的外接圆相切. (2)设△BDE 的外接圆的半径为 r. 在△AOE 中,OA2=OE2+AE2, 即(r+2 3)2=r2+62,解得 r=2 3, ∴OA=2OE,∴∠A=30° ,∠AOE=60° . ∴∠CBE=∠OBE=30° , 1 1 1 ∴EC= BE= × 3r= × 3×2 3=3. 2 2 2 跟踪训练 3 解 C 为 BD 中点,且 AC⊥BC, 故△ABD 为等腰三角形.AB=AD=6, AE AC 所以 AE=4,DE=2.又 = , AC AD 所以 AC2=AE· AD=4×6=24,AC=2 6, 在△ABC 中,BC= AB2-AC2= 36-24=2 3. 例4 证明 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以

△ACB∽△DAB. AC AB 从而 = ,即 AC· BD=AD· AB. AD BD (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而 = ,即 AE· BD=AD· AB. AB BD 结合(1)的结论知,AC=AE. 跟踪训练 4

(1)证明 连结 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形,则∠OBN=∠ONB, ∵∠PMN=∠OMB=90° -∠OBN, ∠PNM=90° -∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN. 根据切割线定理,有 PN2=PA· PC, ∴PM2=PA· PC. (2)解 OM=2,在 Rt△BOM 中,

BM= OB2+OM2=4. 延长 BO 交⊙O 于点 D,连结 DN. BO BM 由条件易知△BOM∽△BND,于是 = , BN BD 2 3 4 即 = ,∴BN=6. BN 4 3 ∴MN=BN-BM=6-4=2. 练出高分 A组 1.证明

(1)∵BF⊥AC 于点 F, CE⊥AB 于点 E, ∴∠BFC=∠CEB=90° . 又∵∠CPF=∠BPE, ∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE, EP FP ∴ = . BP CP 又∵∠EPF=∠BPC,∴△EFP∽△BCP. 2.证明 ∵E 是 Rt△ADC 斜边 AC 的中点, ∴AE=EC=DE. ∴∠EDC=∠ECD,又∠EDC=∠BDF, ∴∠EDC=∠C=∠BDF. 又 AD⊥BC 且∠BAC=90° ,∴∠BAD=∠C, ∴∠BAD=∠BDF,∴△DBF∽△ADF. DB DF ∴ = . AD AF 又 Rt△ABD∽Rt△CBA, AB DB AB DF 因此 = .∴ = . AC AD AC AF 3.解 由切割线定理得 AD2=AE· AB, 所以 AB=4,EB=AB-AE=3.

又∵∠OCD=∠ADE=90° -∠CDB,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACO, AD AC 2 CD+2 ∴ = ,即 = ,CD=3. AE AO 1 2.5 故 CD 的长等于 3.

4.证明 连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90° . 又因为∠A=∠A, 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. BC AC 所以 = . OD AD 又 BC=2OC=2OD,故 AC=2AD. 5.解 ∵S△ODC∶S△BDC=1∶3, 且△ODC 和△BDC 有公共边 CD, 设△ODC 和△BDC 在 CD 上的高分别为 h 和 H, 则 h∶H=1∶3,∴DO∶DB=1∶3,∴DO∶OB=1∶2. 又∵AB∥CD,∴△ODC∽△OBA. ∴S△ODC∶S△OBA=1∶4. 设 S△ODC=a,则 S△OBC=2a,S△OAB=4a, ∵S△ABC=S△OAB+S△OBC,∴S△ABC=6a. ∴S△ODC∶S△ABC=1∶6. 6.(1)证明 由圆 I 与边 AC 相切于点 E,得 IE⊥AE, 结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°. 所以,四点 A,I,H,E 共圆. (2)解 由(1)知四点 A,I,H,E 共圆, 则∠IEH=∠HAI. 1 1 又∠HIA=∠ABI+∠BAI= ∠ABC+ ∠BAC 2 2 1 1 1 = (∠ABC+∠BAC)= (180° -∠C)=90° - ∠C. 2 2 2 1 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA= ∠C, 2

1 所以∠IEH= ∠C.由∠C=50° 得∠IEH=25° . 2 B组 1.证明 ∵CM2=MN· AM, 又∵M 是 BC 的中点, BM MN ∴BM2=MN· AM,∴ = , AM BM 又∵∠BMN=∠AMB,∴△AMB∽△BMN, ∴ AB AM = ,∴AB· BM=AM· BN. BN BM

2.证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF,

1 ∴DN= BF. 2 ∵DN∥AF, ∴△AFE∽△DNE, AE DE ∴ = . AF DN 1 AE 2DE 又 DN= BF,∴ = , 2 AF BF 即 AE· BF=2DE· AF. 3.证明 (1)由直线 CD 与⊙O 相切,

得∠CEB=∠EAB. 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB, π 从而∠EAB+∠EBF= ; 2 π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF= , 2 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB, ∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 同理可证,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,

故 EF2=AF· BF,所以 EF2=AD· BC. 4.

(1)证明 连结 DE,则∠DCB=∠DEB, ∵DB⊥BE, ∴∠DBC+∠CBE=90° , ∠DEB+∠EDB=90° , ∴∠DBC+∠CBE=∠DEB+∠EDB, 又∠CBE=∠EBF=∠EDB, ∴∠DBC=∠DEB=∠DCB, ∴DB=DC. (2)解 由(1)知:∠CBE=∠EBF=∠BCE, ∴ CE = BE ,∴∠BDE=∠CDE, ∴DE 是 BC 的垂直平分线, 设交点为 H,则 BH= ∴OH= 3 , 2

3 1 3 1- = ,∴DH= , 4 2 2

3 2 3 ∴tan∠BDE= = ,∴∠BDE=30° , 3 3 2 ∴∠FBE=∠BDE=30° , ∴∠CBF+∠BCF=90° ,∴∠BFC=90° , ∴BC 是△BCF 的外接圆直径. ∴△BCF 的外接圆半径为 3 . 2



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