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1.6子集与推出关系新


§1.6

子集与推出关系

(1)“x>5” 是 “x>3”的充分条件,即 x>5 ? x>3

A={x|x>5},B={x|x>3} 显然,A?B

设A={a|a具有性质p},B={b|b具有性质q}

A?B与p?q等价
证明: (1)充分性:如果a1具有性质p,那么 a1∈A,而A?B ,所以a1 ∈B,那么a1具有 性质q,即p?q。 (2) 必要性:如果a1∈A,那么a1具有性 质p, 由p?q,可推出a1具有性质q,所以a1 ∈B, 因此A?B 。

小结: 着重理解“推出”与子集 关系
设具有性质p的对象组成集合A,

具有性质q的对象组成集合B,则:

(1)若A?B,则p是q的 充分条件 (2)若A ? B,则p是q的 充分不必要条件 ?

(3)若A?B,则p是q的

必要条件

(4)若A ? ? B,则p是q的 必要不充分条件 (5)若A=B,则p, q互为 充要条件

例1:用子集与推出关系说明? 是? 的什么条件?

? : x=1,
1) 解:

? :

x2= 1

设A={x| x=1}, B={x| x 2 =1},

因为A={1}, B={-1,1},

则A ? B,由此可知:? ? ?,即
?

? 是?的充分非必要条件.

2)? : x为有理数

?:x为实数 充分非必要条件

3)?:正整数n被5整除,

?:正整数n的个位数字是5

3) 解:A={n| n=5k, k ∈ N

*

},

B={n | n的个位数为5}, 而A= {n | n的个位数为5}∪ {n | n的个 位数 为0},显然可知:B?A,那么“正 整数n的个位数为5”是“正整数n被5整除” 的充分非必要条件,即“正整数n被5整 除”是“正整数n的个位数为5”的必要非 充分条件

? 基本练习:试用子集与推出关系来判断命题A是B 的什么条件?
(1)A:该平面图形是四边形

B:该平面图形为梯形 解:显然,B?A,则B为A的充分非必要条件, 即A为B的必要非充分条件 (2)A:x=3 B:(x-3)(x-4)=0 解:A?B,则A为B的充分非必要条件 (3) A: |x|<2, B: x >-3 解: A={x|-2<x<2}, B={x| x>-3} A?B,则A为B的充分非必要条件 (4) A:x≠-1 B: |x| ≠1 解: A={x| x ≠-1}, B={x | x ≠±1} B?A,则B为A的充分非必要条件, 即A为B的必要非充分条件

例2: 设α:1≤x ≤ 3, β:m+1 ≤ x≤2m+4,m ∈R 且α为 β充分条件,求m的范围
解:A:{x| 1 ≤x<3}, B:{x| m+1 ≤x ≤2m+4} 由于α?β,则A?B 那么有: m+1 ≤1且3 ≤2m+4 ?-0.5 ≤m ≤0

变式练习,巩固新知识: (1) 设α:2≤x ≤ 5, β:m-1 ≤ x≤4m+1,m ∈R 且β为 α充分条件,求m的范围

(2)已知P={x a-4 ? x ? a ? 4}, Q ? {x 1 ? x ? 3}, 若x ? P是x ? Q的必要条件,求实数a的取值范围.
解: ? x ? P是x ? Q的必要条件,则 x ? Q是x ? P的充分条件,即 Q?P ?1 ? a ? 5

(3) 命题p:m<-3, q:方程x 2 -x-m=0无实数根,那么

p为q的什么条件?

充分非必要


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