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2019年最新-初等函数的幂级数展开92388-精选文档_图文

第四节 初等函数的幂级数展开
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
1

两类问题:
在收敛域内

?
幂级数?anxn
n?0

求和 展开

和函数 S(x)

2

一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数 f (x)在x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数,则在
该邻域内有 :
f(x)?f(x0)?f?(x0)x (?x0)?f ??2(x!0)(x?x0)2
???f(nn)(!x0)(x?x0)n ?Rn(x) 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中

Rn(x)? f((nn??1)1()?!)(x?x0)n?1
称为拉格朗日余项 .

( ? 在 x 与 x0 之间)
3

若函数 f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f(x0)? f?(x0)x (?x0)?f ??2(x!0)(x?x0)2
???f(nn)(!x0)(x?x0)n??
为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ?
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
4

定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 ?(x0) 内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: nl? i? m Rn(x)?0.
定理2: 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
5

二、函数展开成幂级数

直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法

间接展开法 — 利用已知其级数展开式

1. 直接展开法

的函数展开

由泰勒级数理论可知, 函数f (x)展开成 x的幂级数的

骤如下 :

①求函数及其各阶导数在 x0 = 0 处的值 ;
②写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
③判别在收敛区间(-R, R) 内nl? im ?Rn(x) 是否为 0.

6

例1. 将函数 f (x) ?ex 展开成 x 的幂级数.

解: ?f(n)(x)?ex, f(n)(0)?1(n?0,1,? )故,得级数

1 ?x?

1 x2 2!

?

1 x3 3!

??? 1 xn ?? n!

其收敛半径为

R? lim 1

1 ???

n?? n ! ( n ? 1) !

对任何有限数 x , 其余项满足

Rn(x)

?

e? xn?1 (n?1)!

?e x

x n?1 (n ? 1)!

(? 在0与x 之间)

n? ?
0

故 ex? 1?x?1x2?1x3? ? ?1xn? ? , x?(?? ,?? )

2 ! 3 !

n !

7

例2. 将 f(x)?sixn展开成 x 的幂级数.

six? nx?1x 3?1x 5? ? ? (? 1 )n ? 1 1 x 2 n ? 1? ?

3 ! 5 !

(2 n ? 1 )!

类似可推出:

x?(?? ,??)

cx o ? 1 ? s1 x 2 ? 1 x 4 ? ? ? (? 1 )n ? 11x 2 n ? ?

2 ! 4 !

(2 n )!

x?(?? ,??)
8

例3. 将函数 f(x)?(1?x)m展开成 x 的幂级数, 其中m

为任意常数 .

(1?x)m?1?mx?m(m?1)x2 ??
2!

称为二项展开式 .

?m (m?1)? (m?n?1)xn?? n!
(?1?x?1)

说明:

(1) 在 x=±1 处的收敛性与 m 有关 .

(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.

9

对应 m?1 2,?1 2,?1的二项展开式分别为 1?x?1?1x ? 1 x 2 ? 1?3 x3 ? 1?3?5 x4??
2 2 ? 4 2?4?6 2?4?6?8 (?1?x?1)

1 1?

x

?1

?

1 2

x

?

1?3 2?4

x2

? 1?3?5 x3 ?1?3?5?7x4?? 2?4?6 2?4?6?8

(?1?x?1)

1 ? 1 ?x? x2 ? x3 ?? ?(?1)nxn??

1? x

(?1?x?1)

1? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? ? ( ? 1 ? x ? 1 ) 1 ? x
10

2. 间接展开法

利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,

将所给函数展开成 幂级数.

例4.

将函数

1

1 ?

x

2

展开成 x 的幂级数.

解: 因为 1 ? 1 ? x? x 2? ? ? x n? ? (?1?x?1) 1? x

把 x 换成 ? x2, 得

1 1? x2

?

1 ? x 2? x 4? ? ? (? 1 )nx 2 n? ? (?1?x?1)

?? ? 1 ? 1 ? ?x ?? 2 ?x ?? ? ? n ?x ?? ?

1?? ?x?

??x? ?1

11

例5. 将函数 f(x)?ln 1?(x)展开成 x 的幂级数.

解:

f ?(x) ? 1 1?x

?
??(?1)nxn
n?0

(?1?x?1)

从 0 到 x 积分, 得

? ? ? ?

x

ln1(?x)? (?1)n xndx?

? (?1)n xn?1 ,

? ?1 1? ?x x? ?1 1

n?0

0

n?0 n?1

上式右端的幂级数在 x =1 收敛 , 而 ln 1?(x)在 x?1有

定义且连续, 所以展开式对 x =1 也是成立的, 于是收敛 区间为 ?1?x?1.

利用此题可得

l2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? (? 1 )n1? ?

234

n ? 1

12

例6: 将f(x)?2x2? 1x?1 展成 x的幂级数

解:

f(x)??1( 1 ? 2 ) 31?x 1?2x

? 而1

?
? (?1)nxn

?1?x?1

1?x n?0

? ? 1

?
? 2nxn

x?1

1?2x n?0

2

? ? ? ? f x ? ?1(

?
(?1)n x n

?
? 2n?1xn )

3 n?0

n?0

? ? ? (?1)n?1?2n?1xn

n?0

3

?1 ? x? 1

2

2

13

例7. 将

1

展成 x-1 的幂级数.

x2 ? 4x ?3

解:

x2?1 4x?3?(x?1)1x (?3)

?1?1 2(1?x) 2(3?x)

?

1
4?1? x

? 2

1

?

?

1
8?1? x

? 4

1

?

( x?1?2)

?

1 4

?
?
n?0

(?1)n

(x?1)n 2n

?

1 8

?
?
n?0

(?1)n

(x ?1)n 4n

? ?n? ?0(? 1)n?2n 1 ?2?22 1 n?3?(x?1)n (?1?x?3)

14

内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
15

2. 常用函数的幂级数展开式

? e x ?1 ?x? 1 x 2 ??? 1 xn ??, x? (?,? ?? )

2!

n!

e??x??1???x???2?x??? ??n?x?? ??x? ??

2!

n!

?ln(1?x)?x? 1 x 2 2

?

1 3

x

3

? 1 x4 4

??

?

(?1)n n ?1

xn?1??

ln ?1 ? ??x??? ?

x?(?1,?1]

? sinx ?x?

x3 3!

?

x 5 ? x 7 ? ? ?(?1)n x2n?1 ??

5 ! 7!

(2n?1)!

x? (?,? ?? )

16

?coxs?1 ? x 2 ? x 4 ? x 6 ? ? ?(?1)n x2n ??

2 ! 4 ! 6!

(2n)!

x? (?,? ?? ) ? (1?x)m?1?mx ?m(m?1) x2 ??
2! ?m (m?1)? (m?n?1)xn??x?(?1,1)
n! 当 m = –1 时

1 1? x

? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? ( ? 1 ) n x n ? ? ,x?(?1,1)

?? ? 1

?

1 ?

?x

?

? 1 ? ?x ?? 2 ?x ?? ? ? n ?x ????x?

?1

17



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