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3.1《数系的扩充与复数的概念》课件_图文

数系的扩充 复数的概念 3.1 数系的扩充与复数的概念 引言:在人和社会的发展过 程中,常常需要立足今天,回顾 昨天,展望明天。符合客观发展 规律的要发扬和完善,不符合的 要否定和抛弃。那么,在实数集 向复数集发展的过程中,我们应 该如何发扬和完善,否定和抛弃 呢? 数系的扩充 复数的概念 复习回顾 自然数 数 系 的 扩 充 用图形表示包含关系: 整数 有理数 Q R 实数 ? Z N 数系的扩充 复数的概念 知识引入 我们已知知道: 对于一元二次方程 x ? 1 ? 0 没有实数根. 2 思考? x ? ?1 2 我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢? 数系的扩充 复数的概念 1. 知识与技能 理解并掌握虚数单位 i ;理解复数 的基本概念及复数相等的充要条件; 了解复数的几 何意义, 明确复数与复平面内的点及平面向量的一 一对应关系; 2. 过程与方法 在问题情境中了解数系的扩充过 程及引入复数的必要性通过类比实数的几何意义 和平面向量的几何意义,得出复数的几何意义; 3.情感、 态度、 价值观 通过数系的扩充过程体会 实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的 作用, 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界 的联系。通过复数的几何意义,使学生能够转换角 度看问题,使数和形得到有机结合。 数系的扩充 复数的概念 知识引入 我们已知知道: 对于一元二次方程 x ? 1 ? 0 没有实数根. 2 思考? x ? ?1 2 我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢? 引入一个新数: i 满足 i ? ?1 2 数系的扩充 复数的概念 现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位, 并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 . 数系的扩充 复数的概念 复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 实部 虚部 其中 i 称为虚数单位。 R? C ? 讨 论? 复数集C和实数集R之间有什么关系? ?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ? 数系的扩充 复数的概念 思 考? 复数集 复数集,虚数集,实数 集,纯虚数集之间的关 系? 虚数集 纯虚数集 实数集 数系的扩充 复数的概念 1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。 2 ? 7 0.618 i 2 i 1? 3 ? ? 2 0 i 7 5i +8, 3 ? 9 2i 2、判断下列命题是否正确: (1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数 (2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数 (3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数 数系的扩充 复数的概念 例1 实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数. 即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数. 是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0 ? ?m ? 1 ? 0 2 练习:当m为何实数时,复数 Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 2 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 数系的扩充 复数的概念 我们知道若 a ? bi ? 0 则 0 0 a ? _____ b ? _____ 如何定义两个复数的相等? 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等. 若a, b, c, d ? R, 注意:一般对两个复数只能说相等或不相等; 不能比较大小。 ?a ? c a ? bi ? c ? di ? ?b ? d ? 数系的扩充 复数的概念 例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y . ? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R 转化 解题思考: 复数相等 的问题 求方程组的解 的问题 一种重要的数学思想:转化思想 1、若x,y为实数,且 求x,y ? x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i 2 2 ? 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值. i 数系的扩充 复数的概念 B n?Z * i i 4n ? ? 1 4n?2 -1 i ? i 4 n ?3 i ? ?i 4 n ?1 数系的扩充 复数的概念 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 (数 ) 一一对应 数轴上的点 (形 ) 规定了 直线 正方向, 原点,单位长度 数轴 1 o x (几何模型) 你能否找到用来表示复数的几何模型呢? 数系的扩充 复数的概念 有序实数对(a,b) 复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b) a b 一一对应 y 直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面) x o x轴------实轴 y轴------虚轴 概念辨析 例题 数系的扩充 复数的概念 能否把绝对值概念推广到复数范围呢? 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 实数 a 在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对应的点 A 到原 点


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