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解析几何高考题汇编


解析几何 (9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为A (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0
2 y2 (10)已知椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线

a

b

2

与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程 为(D ) (A) x ?
2

8

y2 ?1 2
2

(B) x ?

2

12

y2 ?1 6

(C) x ?

2

16

y2 ?1 4

(D) x ?

2

20

y2 ?1 5

2a x y 4、设 F1,F2 是椭圆 E: 2 + 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点 ,P 为直线 x ? 上的一点, 3 b a
是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为 C △F2 PF 1 (A)

2

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)

4 5

x2 y2 10、已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 x y A、45+36=1
2 2

(D) x2 y2 C、27+18=1 x2 y2 D、18+ 9 =1

x y B、36+27=1

2

2

x2 y 2 (4)双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 A 4 12
(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1

9. 设双曲线 离心率为( A.

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的 a2 b2
D ).
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

(8)已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切, 2 a b

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 A

x2 y 2 (A) ? ?1 5 4

x2 y 2 (B) ? ?1 4 5

x2 y 2 x2 y 2 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 3 6 6 3

(12)已知双曲线 E 的中心为原点, P(3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为 B

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

(7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,

AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 B
(A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3

6.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 B a 2 b2
B.y= ? 2 x C. y ? ?

A.y=±2x

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

7.直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 C A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

(11)抛物线 C1:y=

x2 1 ? y 2 ? 1的右焦点的连线交 x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 2p
D

C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=

3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

(13)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____ y=x ________. x2 y2 5 4、已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2 ,则 C 的渐近线方程为(C 1 A、y=± x 4 1 (B)y=± x 3 1 (C)y=± x 2 (D)y=±x )

x2 3.双曲线 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( c 4
A.



2 5

B.

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5

7. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 (
B

3 ,在双曲线 C 的方程是 2

) A .

x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 D. ? 2 2 5 5 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦
B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

长为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 14 .椭圆 ? :

x? y ?3? 0

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c ,若直线 a 2 b2

y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心
率等于______ 3 ? 1 ____

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在

x 轴上,离心

率为

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16 ,那么 C 的方程为 2


x2 y 2 ? ?1 16 8

2 13.已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点。若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC

为直角,则 a 的取值范围为_ [1,??)

__ _____。

(22) (本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

(22)解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 6 1 1 1 8 4 b ? 4 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点

? y ? kx ? m ? A,B, 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? k x? m 解 方 程 组 ? x2 y 2 得 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 2 m2 ? 8k 2 ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

,

? 要 使 O A

O ,B需 使 x1 x2 ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 y1 ? y2 0 , 即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所以 k 2 ?

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 , 所以 8 ? 3m ? 8

m2 ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条 3 3 3

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? 切线,所以圆的半径为 r ? ,r ? ,所求的 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8

m

2

圆为 x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m?? ,而当切 3 3 3

线的斜率不存在时切线为 x??

x2 y 2 2 6 ? ?1 的 两 个 交 点 为 与椭圆 8 4 3

(

2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) 满 足 OA ? OB, 综 上 , 存 在 圆 心 在 原 点 的 圆 3 3 3 3
8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 3

x2 ? y 2 ?

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (?
2 2

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

①当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k

所以

4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) , 所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 (

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

(21) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a2 b2



2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 2

为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) ,一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于项点 的任一点,直线 PF 2 与椭圆的交点分别为 A、 1 和 PF B 和 C、D. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线 PF 2 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,证明: k1 ? k 2 ? 1 ; 1 、 PF (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,求 ? 的值; 若不存在,请说明理由.

(21)本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质,考查直线和椭圆的位置关 系,考查坐标第、定值和存在性问题,考查数形结合思想和探求问题的能力。 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c , 由题意知

c 2 ? , 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) a 2

所以 a ? 2 2, c ? 2 又 a ? b ? c ,因此 b ? 2.
2 2 2

故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y2 由题意设等轴双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(m ? 0) , m m
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点, 所以 m ? 2 因此双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) 则 k1 ?

y0 y0 , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2
2 2

因为点 P 在双曲线 x ? y ? 4 上,
2 2 所以 x0 ? y0 ? 4.

因此 k1 k2 ? 即 k1k2 ? 1.

y0 y y ? 0 ? 2 0 ?1 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(Ⅲ)由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ,将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0
由违达定理得 x1 ? x2 ? 所以 | AB |? 1 ? k1
2

8k12 8k12 ? 8 , x x ? 1 2 2k12 ? 1 2k12 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1 ? k12 (

8k12 8k12 ? 8 ) ? 4 ? 2k12 ? 1 2k12 ? 1

k12 ? 1 ?4 2 2 2k1 ? 1
同理可得 | CD |? 4 2
2 k2 ?1 . 2 2k2 ? 1



2 ?1 1 1 1 2k12 ? 1 2k2 ? ? ( 2 ? 2 ) | AB | | CD | 4 2 k1 ? 1 k2 ? 1

又 k1k2 ? 1

2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? ( 2 ? 2 )? 所以 1 | AB | | CD | 4 2 k ? 1 8 k1 ? 1 k1 ? 1 8 ?1 2 k1
2 1 2 1

故 | AB | ? | CD |?

3 2 | AB | ? | CD | 8

因此,存在 ? ?

3 2 , 8

使 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | 恒成立。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学
(22) (本小题满分 14 分)

已知直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x ? y1 ? .Q ? x1 ? y ? 两不同点,且△OPQ 3 2

的面积 S=

6 ,其中 Q 为坐标原点。 2
2 2 2 2

(Ⅰ)证明 X1 +X2 和 Y1 +Y2 均为定值 (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 OM ? PQ 的最大值; (Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG 若存在,判断△DEG 的形状; 若不存在,请说明理由。 22. (I)解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上, 又因为 S ?OPQ ?

因此

x12 y12 ? ?1 3 2



6 , 2 6 ,| y1 |? 1. 2

所以 | x1 | ? | y1 |?
2 2

6 . ② 2
2 2

由①、②得 | x1 |?

此时 x1 ? x2 ? 3, y1 ? y2 ? 2, (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 2) ? 0 , 3 2
2 2

2 2 2 2 其中 ? ? 36k m ?12(2 ? 3k )(m ? 2) ? 0, 即 3k ? 2 ? m

????(*)

6km 3(m2 ? 2) , x1 x2 ? , 又 x1 ? x2 ? ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 所以 | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? , 2 ? 3k 2
2 2 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 d ? 所以 S ?OPQ ?

|m| 1? k 2 ,

1 | PQ | ?d 2

?

6 | m | 3k 2 ? 2 ? m2 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 | m | ? 1? k 2 ? ? 2 ? 3k 2 2 2 ? 3k 2 1? k 2
6 , 整理得 3k 2 ? 2 ? 2m2 , 且符合(*)式, 2
2 2

又 S ?OPQ ?

此时 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2
2 y12 ? y2 ?

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 2 2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3

2 2 2 综上所述, x1 ? x2 ? 3; y12 ? y2 ? 2, 结论成立。

(II)解法一: (1)当直线 l 的斜率存在时, 由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 因此 | OM | ? | PQ |? ? 2 ? 6. 2 2
x1 ? x2 3k ? , 2 2m

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

y1 ? y2 x1 ? x2 3k 2 ?3k 2 ? 2m2 ? ? k( )?m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m

所以 | OM | ? | PQ | ?
2 2

1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m

1 1 )(2 ? 2 ) 2 m m 1 1 3? 2 ? 2? 2 m m ) 2 ? 25 . ?( 2 4 ? (3 ?
5 1 1 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m 5 综合(1) (2)得|OM|?|PQ|的最大值为 . 2
所以 | OM | ? | PQ |? 解法二: 因为 4 | OM |2 ? | PQ |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
2 2 ? 2[( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )]

? 10.
所以 2 | OM | ? | PQ |? 即 | OM | ? | PQ |?

4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 2 5

5 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。 2 5 因此 |OM|?|PQ|的最大值为 . 2
(III)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 . 2 6 , 2

证明:假设存在 D(u, v), E ( x1 , y1 ), G( x2 , y2 )满足S?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? 由(I)得
2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 解得u 2 ? x12 ? x2 ? ; v 2 ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u, x1 , x2只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2

因此 D,E,G 只能在 ( ?

6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 矛盾, 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理 科 数 学
(22) (本小题满分 13 分) 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 a 2 b2

3 ,过 F1 2

且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一 个公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 求出这个定值.

1 1 为定值,并 ? kk1 kk2

22、解:(Ⅰ)由于 c ? a ? b ,将 x ? ?c 代入椭圆方程
2 2 2

b2 x2 y 2 y ? ? ? ? 1 ,得 , a a 2 b2

由题意知

2b2 c 3 ? 1 ,即 a ? 2b2 . 又 e ? ? ,所以 a ? 2 , b ? 1 . a a 2
x2 ? y2 ? 1 4

所以 椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)解法一:设 P( x0 , y 0 ) ( y 0 ? 0) .又 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) , 所以直线 PF 1 , PF 2 的方程分别为:

lPF1 : y0 x ? ( x 0 ? 3) y ? 3 y0 ? 0, l PF2 : y0 x ? ( x 0 ? 3) y ? 3 y0 ? 0.
由题意知

my0 ? 3 y0 y02 ? ( x 0 ? 3)2

?

my0 ? 3 y0 y02 ? ( x 0 ? 3)2
? ( m? 3

,由于点 P 在椭圆上,

所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 所以 4

m? 3 ( 3 x 0 ?2)2 2

3 x 0 ?2)2 2

因为 ? 3 ? m ? 3 , ? 2 ? x0 ? 2 ,可得

m? 3 3?m . ? 3 3 x 0 ?2 2 ? x0 2 2

所以 m ?

3 3 3 x0 .因此 ? ? m ? . 4 2 2

解法二:设 P( x0 , y 0 ) ,当 0 ? x0 ? 2 时,当 x0 ? 3 时,直线 PF2 的斜率不存在,易知

1 1 1 P ( 3, ) 或 P ( 3, ? ) .若 P ( 3, ) ,则直线 PF1 的方程为 x ? 4 3 y ? 3 ? 0 . 2 2 2
由题意得

m? 3 7
1 2

? 3 ? m ,因为 ? 3 ? m ? 3 ,所以 m ?

3 3 . 4

若 P ( 3, ? ) ,同理可得 m ?

3 3 . 4

当 x0 ? 3 时,设直线 PF1 , PF2 的方程分别为

y ? k1 ( x ? 3) , y ? k2 ( x ? 3) ,
1 (m ? 3) k 12 , ? (m ? 3) 2 1 ? 1 k 22
2

由题意知

mk1 ? 3k1 1 ? k12

?

mk2 ? 3k2 1 ? k2 2
k1 ? y0 x0 ? 3

1?

,所以

因为

x0 2 ? y0 2 ? 1 并且 4

, k2 ?

y0 x0 ? 3

,所以

(m ? 3)2 4( x0 ? 3)2 ? 4 ? x0 2 3x0 2 ? 8 3x0 ? 16 (3x0 ? 4)2 ? ? ? 2 (m ? 3)2 4( x0 ? 3)2 ? 4 ? x0 2 3x0 2 ? 8 3x0 ? 16 (3x0 ? 4)





m? 3 ? m? 3

3 x0 ? 4 .因为 3x0 ? 4

? 3 ? m ? 3 , 0 ? x0 ? 2 且 x0 ? 3
m? 3 x0 ,故 4

所以

x0 3+m 4 + 3 = .整理得 3-m 4 ? 3 x0
0?m?

0?m?
?

3 3 3 . 且 m? 2 4

3 .当 -2 ? x0 ? 0 时,同理可得 2 3 3 综上所述, m 的取值范围是 ( ? , ) . 2 2
综合①②可得

3 ?m ? 0. 2

(Ⅲ)设 P( x0 , y 0 ) ( y0 ? 0) ,则直线 l 的方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

联立

? x2 2 ? +y =1 整理得 ?4 ? y ? y ? k(x ? x ) 0 0 ?

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8(ky0 ? k 2 x0 ) x ? 4( y02 ? 2kx0 y0 ? k 2 x02 ?1) ? 0
由题意

? ? 0, 即

2 ( 4? x02 ) k2 ? 2 x ? 1? 0 y ?又 0 0 y 0 k

x0 2 ? y0 2 ? 1 4

所以

1 6y02 k 2? 8x k 0 y 0 ?

2 0

x ? 0故

k?
3
0

x0 , 4 y0
2 x 0 , y 0
所以

由(Ⅱ)知

1 1 x0 ? 3 x 0? ? ? ? k1 k 2 y 0 y

?

4 y 2x 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? (? 0 ) 0 ? ?8 , 因此 kk1 kk2 k k1 k2 x0 y0

1 1 为定值, 这个定值为 ?8 . ? kk1 kk2

2009 年普通高等招生全国统一考试 数学(理工农医类)

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦 点的距离分别是 7 和 1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

OP =λ ,求点 OM

?a ? c ? 1 x2 y 2 C ? ?1 , 所以椭圆 的标准方程为 , 解得a ? 4, c ? 3 ? 16 7 a ? c ? 7 ?
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ? 2 。整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? 。 16( x 2 ? y 2 )
(i) ? ?

3 时。化简得 9 y 2 ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0?? ?

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 4

?4 ? x ? 4 的部分。 3 当 ? ? ? 1 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的 4
部分; 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;

2010 年普通高等学校招生全国统一考试
(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 a 2 b2

i 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。
(1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 (20.)解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。 3

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
2 2 2 2 2 2 2 化简的 a ? b x ? 2a cx ? a c ? b ? 0

?

?

?

?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?

4 4ab 2 c a 2 ? b2 2 2 2 , 故 a ? 2b 所以 E 的离心率 e ? ? 得 a? 2 ? 2 3 a ?b a a 2
(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x0 ?

c x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 , 2 3 2 a ?b 3



y0 ? 1 x2 y 2 ? 1。 ? ?1 得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3 故椭圆 E 的方程为 ? 18 9 x0

2013 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学

(20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆 心 P 的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 20. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的 椭圆(左顶点除外),其方程为

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则

| QP | R ? ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). | QM | r1 | 3k | 由 l 与圆 M 相切得 =1 , 1? k 2 2 解得 k= ? . 4 x2 y2 2 2 当 k= 时,将 y ? x ? 2 代入 ? =1 , 4 3 4 4
并整理得 7x +8x-8=0, 解得 x1,2=
2

?4 ? 6 2 . 7
2

所以|AB|= 1 ? k | x2 ? x1 |? 当k ? ?

18 . 7

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7

x2 y2 (安徽 13)18. (本小题满分 12 分) 设椭圆 E : 2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a 1 ? a2
(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 设 F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点,P 为椭 圆 E 上的第一象限内的点, 直线 F2 P

p 在某定直线上。 交 y 轴与点 Q ,并且 F1P ? FQ 1 ,证明:当 a 变化时,点
18.解: (Ⅰ)

5 8x 2 8x 2 ? a ? 1 ? a ,2c ? 1, a ? 1 ? a ? c ? a ? ,椭圆方程为: ? ? 1. 8 5 3
2 2 2 2 2 2

(Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y),Q(0, m),则F2 P ? (x ? c, y),QF2 ? (c,?m) . 由 1 ? a 2 ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .

?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y), F1Q ? (c, m). 由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? ?c( x ? c) ? my ? 0

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 a 1 ? a ? ? ? ( x ? c)(x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ?a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? ? ?
2x 2 2y2 ? 2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y
所以动点 P 过定直线 x ? y ? 1 ? 0 . (北京 13)19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

x2 ? y 2 ? 1的右顶点 B 的坐标为(2,0).因为四边形 OABC 为菱形, 19.解: (I)椭圆 W: 4
所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A(1, m ) ,代入椭圆方程得

1 ? m 2 ? 1 ,即 4

m??

1 1 3 . 所以菱形 OABC 的面积是 | OB | ? | AC |? ? 2 ? 2 | m |? 3 . 2 2 2

(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) . 由?

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? y ? kx ? m

消去 y 并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 .

x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ?k? 1 2 ?m? , 1 . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4 km m 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所 以直线 OB 的斜率为 ? . 4k 1 ) ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 因为 k ? ( ? 4k
设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
(21) (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是抛物 线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 3 .

4 C (Ⅰ)求抛物线 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ? 若存在,求出点 M 的坐
标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,

4

l 与圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 1 ? k ? 2 时, | AB |2 ? | DE |2 的最小值. 2
(21)解:

(Ⅰ)依题线段 OF 为圆 Q 的弦,由垂径定理知圆心 Q 的纵坐标 yQ ? 又 Q 到抛物线准线 y ? ? 所以 x2 ? 2 y 为所求. ( Ⅱ ) 假 设 存 在 点 M ( x0 ,
2 y ? x ? y' ? x 2

p , 4

p p p p 的距离为 yQ ? ? ? ? 3 ,所以 p ? 1 . 2 2 4 2 4

2 x0 ) , 又 F (0 , 1 ) , 设 Q( xQ , 1 ) . x2 ? 2 y 变 形 为 2 4 2

因 为 直 线 MQ 为 抛 物 线 的 切 线 , 故 kMQ

2 x0 ?1 ? 2 4 ? y ' |x ? x0 ? x0 , 解 得 x0 ? xQ

xQ ?

x0 x ? 1 ,即 Q( 0 ? 1 , 1 ) . 2 4 x0 2 4x0 4

2 x0 x0 ?1 , ) ,由垂径定理知 FM ? QN , 2 4 x2 ? 1 x2 所以 FM ? QN ? (x0 , 0 ) ? (? 1 , 0 ) ? 0 ? x0 ? 2 所以存在 M ( 2 , 4x0 4 2 1) .

又取 FM 中点 N (

( Ⅲ ) 依 题 M ( 2 , 1) , 圆 心 Q(5 2 , 1 ) , 圆 Q 的 半 径

8

4

? ? r ? | OQ | ? ? 5 2 ? ? ( 1 ) 2 ? 27 , 8 4 32 ? ?

2

|5 2k| 1 圆心 Q 到直线 y ? kx ? 的距离为 d ? 8 ? 5 2k 2 , 2 4 1? k 8 1? k
所以, | DE |2 ? 4(r 2 ? d 2 ) ? 4 ? 27 ?

? 25k 2 ? ? 27 ? 2k 2 . 2 ? 2 ? 32 32(1 ? k ) ? 8(1 ? k )

2 ? ?x ? 2y 2 1 又联立 ? 1 ? x ? 2kx ? 2 ? 0 , y ? kx ? ? ? 4 ? ? x1 ? x2 ? 2k 设 A( x1 , y1) , B( x2 , y2 ) ,则有, ? . x1x2 ? ? 1 ? ? 2

所以, | AB |2 ? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2] ? (1 ? k 2)(4k 2 ? 2) . 于是,
2 | AB |2 ? | DE |2 ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ? 2k ? 27 ? 4k 4 ? 6k 2 ? 9 ? 25 ? 1 2 ( 1 ? k ? 2 ) 4 8 1? k 2 8(1 ? k 2 )

( 1 ? x ? 4) , 8 1? x 4 f '(x) ? 8x ? 6 ? 25 ? 1 2 ? 6 ? 25 ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ 1 , 4] 上单增, 4 8 (1 ? x) 8 4
所以当 x ? 1 , f ( x) 取得最小值 f min ( x) ? f ( 1 ) ? 13 ,

记 f ( x) ? 4x 2 ? 6x ? 9 ? 25 ? 1

4

4

2

所以当 k ? 1 时, | AB |2 ? | DE |2 取得最小值 13 .

2

2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,-1), B 点在直线 y = -3 上, M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (20)解: ( Ⅰ ) 设 M(x,y), 由 已 知 得 B(x,-3),A(0,-1). 所 以 MA = ( -x,-1-y ) ,

MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知( MA + MB )? AB =0,
1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2
即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4

2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

20、 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C :x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F , 准线为 l,A 为 C 上一点, 已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点。
(1) 若∠BFD=90°, △ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2) 若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值。 20、 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

S?ABD ? 4 2 ?

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 p x0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p

2 2 x0 x0 p 2 点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ? )? p? ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 ) ,直线 m : y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

3p p x2 x 3 3 , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

(福建 13)18. (本小题满分 13 分)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的 坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为 (0,10) .分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记 为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 , 连 结 OBi , 过 Ai 做 x 轴 的 垂 线 与 OBi 交 于 点

Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) .
* (1)求证:点 P i (i ? N ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程;

(2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积 比为 4 :1 ,求直线的方程.
18.解: (Ⅰ)依题意,过 Ai (i ? N
*

,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i
i x 10

Bi (10, i ) ,? 直线 OBi 的方程为 y ?

? x?i 1 2 ? 2 设 Pi 坐标为 ( x, y ) ,由 ? i 得: y ? x ,即 x ? 10 y , 10 y ? x ? 10 ?

? Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程为 x 2 ? 10 y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? kx ? 10 由?

? y ? kx ? 10 2 得 x ? 10kx ? 100 ? 0 2 x ? 10 y ?
2

此时 ? ? 100k +400 ? 0 ,直线与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N 设: M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? x1 ? x2 ? 10k ? x1 ? x2 ? ?100

S?OCM ? 4 S?OCN ? x1 ? 4 x2


x1 ? x2 ? 0 ,? x1 ? ?4 x2
? y ? kx ? 10 3 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y

分别带入 ?

直线的方程为 y ? ?

3 x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x +2 y ? 20 ? 0 2

(广东 13)20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 为

3 2 . 设 P 为直线 l 上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB , 其中 A, B 为切 2
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;[来源:学。科。网] (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

点.

20 . ( Ⅰ ) 依题意 , 设抛物线 C 的方程为

x2 ? 4cy , 由

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 解得 2

c ? 1.
所以抛物线 C 的方程为 x
2

? 4y .
2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x 设

? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ( 其 中 y1 ?

x12 x2 , y2 ? 2 ), 则 切 线 P A , PB 的斜率分别为 4 4

1 1 x1 , x2 , 2 2 x1 x x2 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 因为切线 PA, PB 均过点 P 所以

? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0
?0.

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解.

所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0

(Ⅲ) 由抛物线定义可知 所以

AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 ,

AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1
? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

联立方程 ?

,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0
2

?

2

?y? y

2 0

?0

由一元二次方程根与系数的关系可得 所以

y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02

AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1 ? y02 ? x02 ? 2 y0 ?1

又点 P 所以

? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
2 2 2 2

1? 9 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ? 1 9 所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2
5. 已知 0 ? ? ?

?
4

, 则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 与 ? ? 1 C : ? ? 1的 2 cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?
C.焦距相等 D. 离心率相等

(D ) A.实轴长相等

B.虚轴长相等

(湖北 13)21.如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴 上,短轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个 交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D 。记 ? ? 分别为 S1 和 S2 。 (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由。

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积 n

m ?1 ? ?1 ? 21.解: (I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? n m ?1 ? ?1 n
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

x2 y2 x2 y2 (II)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a m a n
? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 2 am ? 2 ?1 a ? m 2k 2 ? 2 m ?a
同理可得, y B ? 又

an a 2 ? n 2k 2

?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2 2 ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,解得 k 2 ? a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 4n 2? 3 a 2 ? ? 2n 2k 2 a 2 ? n 2k 2

即:

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存
在这样的直线 l 。 14.设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两 个焦点,P 是 C 上一点,若 a 2 b2

PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为__ 3 _。
(湖南 13)21. (本小题满分 13 分) 过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且
2

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D。以 AB,CD 为直径的圆 M,
圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l 。 (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM FN ? 2P ;
2

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为
21.解: (Ⅰ)

7 5 ,求抛物线 E 的方程。 5

p F (0, ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线 l1方程: y ? k1 x ? , 与抛物线 E方程联立,化简整理得 : ? x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 2 x ?x p 2 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 1 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2 x ?x p 2 2 同理, ? x34 ? 1 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p) . 2 2

? FM ? FN ? k1k2 p2 ? k1 k2 p2 ? p2k1k2 (k1k2 ?1)

2

2

? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ? 1)
所以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕) (Ⅱ)

1 p p 1 p 2 2 设圆 M、N的半径分别为 r1 , r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, 2 2 2 2 2

? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,
设圆M、N的半径分别为 r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为 ( x ? x12 )2 ? ( y ? y12 )2 ? r1 ,
2

2

2

( x ? x34 )2 ? ( y ? y34 )2 ? r2 ,直线l的方程为: 2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 .
? 2 p(k2 ? k1) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )(x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1)(r2 ? r1) ? 0
? 2 p(k2 ? k1) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? 2 p2 (k1 ? k2 ) ? p2 (k1 ? k2 )(k1 ? k2 ? 1) ? p2 (k2 ? k1 )(k1 ? k2 ? 2) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

? x ? 2 y ? p ? p(k1 ? k2 ?1) ? p(k1 ? k2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 点M ( x12 , y12 )到直线 l的距离 d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? 5 5
2

2

2

2

2

1 1 2( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 7p 7 4 4 ? ? 5 5 8 5 5

? p ? 8 ? 抛物线的方程为 x2 ? 16y 。
2 9.抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与

边界) 。 若 点 P( x, y) 是 区 域 D 内 的 任 意 一 点 , 则 x ? 2 y 的 取 值 范 围 是

1? ? ?? 2, 2 ? ? ?



12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点 a 2 b2

为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为

3 3



17. 本小题满分 14 分。如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 , 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 y A O l

x

(江苏 13)17.解: (1)由 ? ∴圆 C 的方程为: ( x ? 3)
2

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 y ? x ? 1 ?

? ( y ? 2) 2 ? 1

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a)
2

? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 M 为 ( x,y ) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理 得 :

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D
∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点
2

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?
2

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? ? 5?

9.过点 ( 2,0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 ? AOB 的 面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 B A.

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

14. 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 3 3

?ABF 为等边三角形,则 P ?

6

3 x2 y 2 (江西 13) 20. (本小题满分 13 分) 如图, 椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离 2 a b
心率 e =

1 ,直线 l 的方程为 x =4 . 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P ) , 设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,

记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3 . ? 若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由.

20.(本大题满分 13 分) 解: (1)由 P (1, ) 在椭圆上得, 依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c
2 2

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b




②代入①解得 c2 ? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3 。

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 。[来源:学.科.网] 4 3

(2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ③

代入椭圆方程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 并整理,得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标 为 (4,3k ) 。

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1。 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?
注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有

y1 y ? 2 ?k。 x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 y1 ?

x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1



8k 2 ?2 2 3 4 k ? 3 ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? ? 2k ? 1 , 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 。故存 在常数 ? ? 2 符合题意。 2
方法二:设 B( x0 , y0 )( x0 ? 1) ,则直线 FB 的方程为: y ?

y0 ( x ? 1) ,[来源:学科网] x0 ? 1

令 x ? 4 ,求得 M (4,

3 y0 ), x0 ? 1 2 y0 ? x0 ? 1 , 2( x0 ? 1)

从而直线 PM 的斜率为 k3 ?

y0 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1) 5 x ? 8 3 y0 ? 0 , ), 联立 ? ,得 A( 0 2 2 2 x ? 5 2 x ? 5 x y 0 0 ? ? ?1 ? 3 ?4
则直线 PA 的斜率为: k1 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 ,直线 PB 的斜率为: k2 ? , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1)

所以 k1 ? k2 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 1 ? ? ? 2k3 , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1) x0 ? 1

故存在常数 ? ? 2 符合题 意。 15.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两 a 2 b2
4 ,则 C 的离心率 e= 5

点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?

5 7

.
2 2

(辽宁 13)20. (本小题满分 12 分)如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0? , 点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时,

1 A, B 重 合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 - 。 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程。

? A, B重合于O时,中点为O?.

11. 双曲线

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于 4 16 m

9

.

(陕西 13)20. (本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴 是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点 .
20.解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心

C

( x, y ), MN 线段的中点为 E,由几何图像知 ME ?

MN , CA 2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 2

? (x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 2 ? x 2 ? y 2 ? 8x
(Ⅱ) 点 B(-1,0),

设P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),由题知y1 ? y2 ? 0,y1 y2 ? 0, y1 ? 8x1 , y2 ? 8x2 .
? y1 ? y2 y ?y ? ? 2 1 ? 2 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ? 8 ? y1 y 2 ? 0 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 8 y 2 ? 8
y 2 ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8x ? y1 ) x2 ? x1 y 2 ? y1
2

2

2

直线 PQ 方程为: y ? y1 ?

? y( y2 ? y1 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 8x ? y1 ? y( y2 ? y1 ) ? 8 ? 8x ? y ? 0, x ? 1
所以,直线 PQ 过定点(1,0) 9.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

?
4

,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的

两个焦点之间的距离为____

4 6 ____[ 3

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1, (上海 13) 22. (3 分+5 分+8 分) 如图, 已知曲线 C1 : 2
P 是平面上一点, 若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都有公共点, 则称 P 为 “C1—C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写 出一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点” ;

(3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点” . 2

22. : (1)C1 的左焦点为 F (?

3,0) ,过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ?

2 ) ,与 2

C2 交于 (? 3, ?( 3 ?1)) ,故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点” ,且直线可以为 x ? ? 3 ; (2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ? ?| y |?| x | ?1
直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx 1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,若方程组有解,则必须 k 2 ? ? 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2
故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点” 。 (3)显然过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 2

根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t , t ? 1)(t ? 0) ,则

l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0
直线 l 与圆 x ? y ?
2 2 2

1 |1 ? t ? kt | 2 内部有交点,故 ? 2 2 k 2 ?1 1 2 (k ? 1) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。① 2

化简得, (1 ? t ? tk ) ?

若直线 l 与曲线 C1 有交点 ,则

? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 2 ? 2 ? ( k ? ) x ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 1 ? 0 ? x2 2 2 ? y ?1 ? ? 2
1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt ) 2 ? 4( k 2 ? )[(1 ? t ? kt ) 2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 2(k 2 ? 1) 2
化简得, (1 ? t ? kt )2 ? 2(k 2 ?1) 。 。 。 。 。②

1 2 (k ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 2 2 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )] ? 1, (k ? 1) ? 1 ,即①式不成立; 2 1 2 当 k ? 时,①式也不成立 2 1 2 2 综上,直线 l 若与圆 x ? y ? 内有交点,则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 2 1 2 2 即圆 x ? y ? 内的点都不是“C1-C2 型点” . 2 2 y 2 6.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? ? 1 的渐近线的距离是( B ) 3
由①②得, 2(k ? 1) ? (1 ? t ? tk ) ?
2 2

(A)

1 2

( B)

3 2

(C) 1

(D) 3

(四川 13)20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分 a 2 b2

C 经过点 P ( , ) . 别为 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,且椭圆
(Ⅰ )求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ )设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

4 1 3 3

2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2
20.解: 2a ? PF1 ? PF2 ? ? 所以, a ?

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3?

2

2

2

2

2.

又由已知, c ? 1 ,

所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 2 ……………4 分 ? ? a 2 2
x2 ? y 2 ? 1. 2

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为
设点 Q 的坐标为(x,y).

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? ,? 0,? 1 ? 两点,此时 Q 点坐标为

? 3 5? 0, 2 ? ? ? ? 5 ? ? ?
(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1, kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .


2

2

2 2 2 又 AQ ? x ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k ) x . 2 2

2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得

2 1 1 ,即 ? ? 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22

2 1 1 ? x ? x ? ? 2x x ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 x x1 x2 x1 x2
2



将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 2


? 2k

2

? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0
2

2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k ?

?

?

2

3 . 2

8k 6 , x1 x2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1 18 2 代入①中并化简,得 x ? 10k 2 ? 3
由②可知 x1 ? x2 ? ?



因为 点 Q 在直线 y? kx ?2 上 , 所 以 k ?

y?2 ,代入③中并化简,得 x

10 ? y ? 2 ? ? 3 x 2 ? 18 .
2

由③及 k ?
2

? 3 3 6 ? ? 6? 2 ,0 ? 0, ,可知 0 ? x ? ,即 x ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 2 2 ? 2 ? ? 2 ?

又 ? 0, 2 ?

? ? ?

? 6 6? 3 5? 2 2 满足 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,故 x ? ? ? ? ? 2 , 2 ? ?. 5 ? ? ? ?

由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 ,
2 又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 有 2

? y ? 2?

2

?1 3 5? ?9 9 ? ,2 ? ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? ?. ? 5 ? ?5 4 ? ?2
2

2 2 ? x3 ? 所以点 Q 的轨迹方程是 10 ?y? ?

? 6 6? 1 8其 中 , x?? ? , ? 2 , 2 ? ? , ? ?

?1 3 5? y ?? , 2 ? ? ………..13 分 ?2 5 ? ?
5.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别 a 2 b2

交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = C (A) 1 (B)
3 2

(C) 2

(D) 3

(天津 13) 18. (本小题满分 13 分)设椭圆

3 x2 y 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 过点 F 且与 x 轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

9.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 ,C2 在 4

第二、四象限的公共点。若四边形 AF 1BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是 D

y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

A.

2

B.

3

C.

3 2

D.

6 2

(浙江 13)21.如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的 a 2 b2

长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆

C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D
(1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

21.解: (Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1; 4

(Ⅱ) 因为直线 l1 ? l2 , 且都过点 P(0, ?1) , 所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直 线

l2 :

? y

1 ? k

x1 ?

?x

? k y, 0 ? 所 k?以 圆 心 ( 0 ,到 0 直 ) 线

l1 : ? y

k? 1 x ?

k? x1的距离为 ? y0 ? d ?
2 3 ? 4k 2 1? k2

1 1? k
2

, 所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所

截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?



? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所 以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3
2

4k 2 ? 3


?

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 时 等 号 成 立 , 此 时 直 线 ?k ?? 2 2

l1 : y ? ?

10 x ?1 2
2 2 2 2

7.已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆

C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为(A
A. 5 2 ? 4 B. 17 ?1 C. 6 ? 2 2 D. 17



(重庆 13)21.如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ?

2 , 2

? ? 过左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A 两点, AA ? 4 。
(1)求该椭圆的标准方程; (2 ) 取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? , 过 P, P? 作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程。

一、考查比重 (近五年山东考试题目的统计) 2007 年理科: 2 个填空题、 1 个解答题,约 20 分; 文科: 1 个填空题、 1 个解答题,约 20 分. 2008 年理科:2 个选择题、 1 个解答题,约 24 分; 文科:1 个选择题、1 填空题、1 个解答题,约 23 分. 2009 年理科:1 个选择题、 文科:1 个选择题、 1 个解答题,约 17 分; 1 个解答题,约 17 分.

2010 年理科: 1 个填空题 1 个解答题,约 16 分; 文科:1 个选择题、1 个填空、1 个解答题,约 23 分. 2011 年理科:1 个选择题、 1 个解答题,约 19 分; 文科:1 个选择题、1 个填空题 1 个解答题,约 23 分. 二、高考试题的特点 ? (1)突出基础知识与基本技能的考查. ? (2)体现的是出“活题”“新题”,注重考查学生能力的命题原则. ? (3)反映在知识“交汇处”命题的理念. ? (4)重视数学思想方法的考查. ? (5)既重思维,又重计算. 三、2012 命题趋势分析 (1)单一型的题目将被更多的综合型题目所取代.即使是选择或填空题, 每道题考查的知识 点也可能是两个、三个或更多个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、圆的切线)的研究与讨论仍然是重中之重.

(3)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现. (4)由于导数的介入,抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”. (5)与平面向量的关系将进一步密切,许多问题会“披着”向量的“外衣”. (6)《平面几何》的知识在解决《解析几何》问题的作用不可忽视. (7)三角函数的知识一直是解决《解析几何》问题的好“帮手”. (8)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”. (9)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向. (10)求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、 求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的题型. 四、二轮复习建议 1.根据学生的实际,有针对性地进行复习,提高复习的有效性; 2.重视通性通法,加强常规问题解法指导,提高考试中的解题能力; 3.注意强化思维的严谨性,力求规范解题,尽可能少丢分; 4、将算法思想融入到解析几何运算训练中,使学生算的准、算到底、算的对; 5、加强培养考试技巧,在时间比较紧的情况下多写得分点。 (12 安徽) (9) 过抛物线 y?=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点。 若 (A) ,则△AOB 的面积为

2 2

(B) 2

(C)

3 2 2

(D) 2 2

【解析】选 C [来源:学科网] 设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3
? ? cos ?? 得: 3 ? 2 ? 3 cos
1 2 3 ? [来 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

源:Z*xx*k.Com]
1 1 3 2 2 3 2 ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? ? 2 2 2 3 2

20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 如图,点 F1(-c,0) ,F2(c,0)分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点,经 a b
过 F1 做 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 垂线交直线 x ? 点 Q。 (Ⅰ)如果点 Q 的坐标是(4,4) ,求此时椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

a2 于 c

x2 y 2 b2 【解析】 (I)点 P(?c, y1 )( y1 ? 0) 代入 2 ? 2 ? 1 得: y1 ? a b a

b2 ?0 4?0 a PF1 ? QF2 ? ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c



a2 ?4 ② c

③ c2 ? a2 ? b (2 ,a ,b ? c0 )

x2 y 2 由①②③得:a ? 2, c ? 1, b ? 3 既椭圆 C 的方程为 ? ? 1 4 3

b2 ?0 a2 y ?0 a (II)设 Q( , y2 ) ;则 PF1 ? QF2 ? ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a c ?c ? c a 2 ?c c





kPQ

b2 c ? 2 a ? a a ?c c 2a ?

b2 x x y b 2 2 a2 ? ? ? 1 ? y ? b ? x ? y ? a 2 b2 a2 b2 b2 ? 2 x2 a
2 2 2

?

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y?

x ?? c

?

c ? k PQ a

得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

(12 北京)12.在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积为 19. (本小题共 14 分) 已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) (1) 若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2) 设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线。 (12 福建)3、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,则该双曲线 4 b2

的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. 5 B. 4 2 C.3 D.5

考点:双曲线的定义。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为双曲线的定义,焦点,渐近线,抛物线的定义。 解答:抛物线 y ? 12x 的焦点为 (3,0) 。
2

双曲线中, b ? 9 ? 4 ? 5 。
2

双曲线渐近线方程为 y ? ?

5 x。 2

3 5 2 所以焦点到渐近线的距离 d ? ? 5。 5 1 ? ( )2 2
1. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 a 2 b2

e?

1 。过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相 交于点 Q 。试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。 考点:三角恒等变换。 难度:难。 分析: 解答: (Ⅰ)设 c ? a2 ? b2 则e ?

c 1 ? ? a ? 2c ? 3a 2 ? 4b 2 a 2

?ABF2 的周长为

AB ? AF2 ? BF2 ? 8 ? AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 8 ? 4a ? 8 ? a ? 2, b ? 3, c ? 1

椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)由对称性可知设 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 与 M ( x,0)

x2 y 2 3 ? ? 1 ? y ? 3 ? x 2 ? y? ? ? 4 3 4

3x 3x ?k ?? 0 4 y0 3 4 3 ? x2 4

直线 l : y ? y0 ? ?

3x0 3(1 ? x0 ) ( x ? x0 ) ? Q(4, ) 4 y0 y0

3 (1 ? x0 ) *)3 ) MP MQ ?0 ?( x ?0 x )( ? x 4 )? 0 y ? ?0 ? x (? 0 x ( x? 1 ) ? ( x ? 1 ) ( y0
(*)对 x0 ? (?2, 2) 恒成立 ? x ? 1 , 得 M (1,0)

5.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 (3, 0) ,则该双曲线的离心率等于( a2 5
B.



A.

3 14 14

3 2 4

C.

3 2

D.

4 3

5.考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 难度:易。 分析:根据双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(3,0) ,可得 a=2,进而可求双曲线的离 心率. 解答: ∵双曲线 故选 C. 点评:本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线的标准方程,正确运用几何量之间的 关系是关键. 7. 直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A ,B 两点, 则弦 AB 的长度等于 (
2 2



=1 的右焦点为 (3, 0) , ∴a +5=9 ∴a =4 ∴a=2

2

2

∵c=3





A. 2 5

B. 2 3 .

C. 3

D.1 难度:中。

7.考点:直线与圆相交的性质。

专题:计算题。

分析:由直线与圆相交的性质可知,

,要求 AB,只要先求圆心(0,

0)到直线 x+

﹣2=0 的距离 d,即可求解。 l ? 2 r 2 ? d 2

解答:图形如图所示,圆心为 (0,0) ,半径为 2,圆心到直线的距离, 所以 ∵圆心 (0, 0) 到直线 x+ 由直线与圆相交的性质可知, 即 ∴ 。 故选 B 的应 ﹣2=0 的距离
d ? |0? 3?0? 2 | 12 ? ( 3 ) 2 ?1

点评:本题主要考查了直线与圆相交的性质,解题的关键是公式 用.

21. (本小题满分 12 分) 如图, 等边三角形 OAB 的边长为 8 3 , 且其三个顶点均在抛物线 E :

x2 ? 2 py ( p ? 0 )上.
(I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1 相 交于点 Q .证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.

21. (本小题满分 12 分)考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程。 专题:综合题。 难度:难。

730953

分析: (I)依题意,|OB|=8 ,∠BOy=30°,从而可得 B(4 2 x =2py(p>0)上,可求抛物线 E 的方程;

,12) ,利用 B 在

(II) 由 (I) 知,



, 设P (x0, y0) , 可得 l:



与 y=﹣1 联立,求得

取 x0=2,x0=1,猜想满足条件的

点 M 存在,再进行证明即可. 解答: (I)依题意,|OB|=8 ,∠BOy=30°,设 B(x,y) ,则 x=|OB|sin30°=4 y=|OB|cos30°=12 ∵B(4 ,12)在 x =2py(p>0)上,∴
2 2





p=2,∴抛物线 E 的方程为 x =4y; (II)由(I)知, , 即 设 P(x0,y0) ,则 x0≠0.l: 由



,∴

2

取 x0=2,此时 P(2,1) ,Q(0,﹣1) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣1) +y =2,交 y 轴于点 M1
2

(0,1)或 M2(0,﹣1) ,取 x0=1,此时 P(1, ) ,Q(﹣ ,﹣1) , 以 PQ 为直径的圆为 (x﹣ ) +(y+ ) =2,交 y 轴于点 M3(0,1)或 M4(0,﹣ )故 若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1) ,证明如下 ∵
2 2



=2y0﹣2﹣2y0+2=0,故以 PQ 为直径的圆

恒过 y 轴上的定点 M(0,1) . 点评: 本题主要考查抛物线的定义域性质、 圆的性质、 直线与圆锥曲线的位置关系, 考查运算能力,考查化归思想,属于中档题. 5. 已知双曲线 C : 程为

x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方 a2 b2

x2 y2 x2 y 2 A =1 B =1 C 20 5 5 20
21.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 =1 80 20

D

x2 y2 =1 20 80

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M, M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值。 (Ⅰ)求曲线 C1 的方程 (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别于曲线 C1 相 交于点 A,B 和 C,D。证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之 积为定值。 3.椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 16 12

B.

x2 y 2 ? ?1 16 8

C.

x2 y 2 ? ?1 8 4

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

答案 C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位 置,然后借助于焦距和准线求解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
8.已知 F1 , F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则
2 2

cos ?F1PF2 ?
A.

1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

答案 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运 用。首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF 1 |? 2 x,| PF 2 |? x ,则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理

可得 cos ?F1PF2 ?

PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2
1 2

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........ 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1)2 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A , 且
2 2 2

在 A 处两曲线的切线为同一直线 l 。[来源:学*科*网] (1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以 及两个曲线的公共点处的切线的运用, 并在此基础上求解点到直线的距离。 解: (1)设 A( x0 ,( x0 ?1)2 ) ,对 y ? x ? ( x ? 1)2 求导得 y? ? 2( x ? 1) ,故直线 l 的斜率

k ? 2( x0 ? 1) ,当 x0 ? 1 时,不合题意,所心 x0 ? 1
1 圆心为 M (1, ) , MA 的斜率 k ? ? 2

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2

由 l ? MA 知 kk ? ? ?1 ,即 2( x0 ? 1) ?

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2 ? ?1 ,解得 x ? 0 ,故 A(0,1) 0

所以 r ?| MA |? (1 ? 0) ? ( ? 1) ?
2 2

1 2

5 2
2

(2) 设 (a ,( a 1 ? ))

2

为 C 上一点, 则在该点处的切线方程为 y ? (a ? 1) ? 2(a ? 1)( x ? a)
2

即 y ? 2(a ? 1) x ? a ? 1

若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为

5 ,即 2

1 | 2(a ? 1) ?1 ? ? a 2 ? 1| 5 2 2 2 ? ,化简可得 a (a ? 4a ? 6) ? 0 2 2 2 [2(a ? 1)] ? (?1)

求解可得 a0 ? 0, a1 ? 2 ? 10, a2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 (ai ,(ai ? 1)2 )(i ? 0,1, 2) 处的切线分别为 l , m, n ,其方程分别为

y ? 2 x ? 1 ① y ? 2(a1 ?1) x ? a12 ?1 ②
②-③得 x ?

y ? 2(a2 ?1) x ? a22 ?1 ③

a1 ? a2 ? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ?1 ,故 D(2, ?1) 2

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? (?1) ? 1| 22 ? (?1) 2

?

6 5 。 5

x2 y 2 8、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 。 a b
若 | AF 1 |,| F 1F 2 |,| F 1B | 成等比数列,则此椭圆的离心率为 B

A.

1 4

B.

5 5
2

C.
2

1 2

D. 5 ? 2

14 、过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x ? y ? 1的两条切线,若两条切线的夹角是

60 ,则点 P 的坐标是_____
20、 (本题满分 13 分)

?

2, 2 _____。

?

已知三点 O (0, 0) , A(?2,1) , B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M ( x, y ) 满足

| MA ? MB |? OM ? (OA ? OB) ? 2 。
(1)求曲线 C 的方程; (2) 点 Q(x 0,y 0) (2 ? ?x 0 ? 2 ) 是曲线 C 上的动点, 曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。 点P 的

坐标是 (0, ?1) , l 与 PA, PB 分别交于点 D, E ,求 ?QAB 与 ?PDE 的面积之比。

(8)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ?1)2 +(y ?1)2 =1相切, 则 m +n 的取值范围是 (A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] 8.D 【解析】∵直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ?1)2 +(y ?1)2 =1相切,∴圆心 (1,1) 到直线的距离为 d = (B) ( ? ?,1 ? 3] [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] [2+2 2,+?)

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1)2 +(n ? 1)2

=1 ,所以 mn ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2 ) ,设 2

t =m? n,
1 则 t 2 ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] [2+2 2,+?) . 4

? x =2 pt 2 , (12)己知抛物线的参数方程为 ? ( t 为参数) ,其中 p >0 ,焦点为 F , ? y =2 pt ,

准线为 l ,过抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 |EF |=|MF | ,点 M 的横 坐标是 3,则 p = .

12.2
? x =2 pt 2 , p 【解析】 ∵? 可得抛物线的标准方程为 y 2 =2 px (p>0) , ∴焦点 F ( ,0) , 2 ? y =2 pt ,

∵ 点 M 的 横 坐 标 是 3 , 则 M ( 3? ,
EF 2 =( p p 2 ? ) +(0 2 2 6 p )2

p 6 , ) 所 以 点 E( ?

p ,? 2

6 p , )

由抛物线得几何性质得 MF =
p =2 .

p 1 +3 ,∵ EF =MF ,∴ p 2 +6 p = p 2 +3 p +9 ,解得 2 4

(19) (本小题满分 14 分)设椭圆

x2 y 2 + =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, a 2 b2

B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点, O 为坐标原点. 1 (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ? ,求椭圆的离心率; 2 (Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 . 解析 (1)解:设点 P( x0 , y0 ) ,由题意得
2 2 x0 y0 ? ? 1??? ① a2 b2

由 A(?a,0), B(a,0) 得 k AP ?

y0 y0 , k BP ? x0 ? a x0 ? a

1 2 2 由 k AP ? k BP ? ? 可得 x0 代入①并整理得 ? a 2 ? 2 y0 2
2 (a 2 ? 2b 2 ) y0 ? 0 ,由于 y0 ? 0 ,

故 a 2 ? 2b 2 ,于是 e 2 ?

a2 ? b2 1 2 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? 2 2 2 a

? y 0 ? kx0 ? 2 2 (2)证明:依题意直线 OP 的方程 y ? kx ,设点 P( x0 , y0 ) ,有条件得 ? x0 y0 ? ?1 ? 2 b2 ?a
2 ? 消去 y0 并整理得 x0

a 2b 2 ?? ② k 2a2 ? b2

2 由 AP ? OA, A(?a,0) 及 y0 ? kx0 得 ( x0 ? a) 2 ? k 2 x0 ? a 2 整理得 2 (1 ? k 2 ) 2 x0 ? 2ax0 ? 0 而 x0 ? 0 ,于是 x0 ?

? 2a ,代入②整理得 1? k 2

b 2 2 ( 1 ? k 2) ? 4k 2 ( ) 2 ? 4 ,由 a ? b ? 0 ,故 ( 1 ? k 2) ? 4k 2 ? 4 a

即 k 2 ? 3 ,所以 k ? 3 .
4. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则( )

A。 l 与 C 相交 B。 l 与 C 相切 C。 l 与 C 相离 D. 以上三个选项均有可能 13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位 下降 1 米 后,水面宽 米。 19. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方 程。 19. (本小题满分 14 分)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4,( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内 切,另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程 (2)已知点 M ( 此时 P 的坐标. 19.解: (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F 1 (? 5, 0) 、 F 2 ( 5, 0) ,

3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 5 5

由题意得 R ?| CF 1 |?| CF 2 | ?2 或 R ?| CF 2 |?| CF 1 | ?2 ,

? || CF1 | ? | CF2 ||? 2 ? 2 5 ?| F1 F2 | ,
可知圆心 C 的轨迹是以 F 1, F 2 为焦点的双曲线,设方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 b2
2

y2 ? 1. 2a ? 2, a ? 1, c ? 5, b ? c ? a ? 4, b ? 2 ,所以轨迹 L 的方程为 x ? 4
(2)

3 5 2 1 4 5 2 ) ? ( ) ? 1 ,? M ? L , 5 4 5 || MP | ? | FP ||?| MF | ,仅当点 P 是直线 MF 与双曲线 L 的交点时,取"=", (
b x ? ?2 x 平行, a

由 kMF ? ?2 知直线 MF 与渐近线 y ? ?

所以直线 MF 与双曲线 L 只有一个交点 M,又 | MF |? 2 , 所以当点 P 与 M 重合时, || MP | ? | FP || 最大,等于 2,此时 P( (2)双曲线 2 x2 ? y 2 ? 8 的实轴长是 C (A)2 (B) 2 2 (C)4 (D) 4 2

3 5 4 5 , ). 5 5

20.(本小题满分 13 分)

P( x0 , y0 )( x0 ? ?a) 是双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M,N 分别是双 a 2 b2

1 曲线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 。 5

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率未 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标 原点,C 为双曲线上一点,满足 ,求 ? 的值。


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