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2018高中数学人教a版选修2-2学案:第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数 含解析


1.3.2 函数的极值与导数 预习课本 P26~29,思考并完成下列问题 (1)函数极值点、极值的定义是什么? (2)函数取得极值的必要条件是什么? (3)求可导函数极值的步骤有哪些? [新知初探] 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)<f(x0), 就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), x0 是极大值点. (2)函数的极小值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)>f(x0), 就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0), x0 是极小值点.极大值与极小值统称为极值. [点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值 比较它是最大值或最小值, 但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最 小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. (5)单调函数一定没有极值. 2.求函数 y=f(x)极值的方法 一般地,求函数 y=f(x)的极值的方法是: 解方程 f′(x)=0. 当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 那么 f(x0)是极小值. [点睛] 一般来说,“f′(x0)=0”是“函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值” 的必要不充分条件.若可导函数 y=f(x)在点 x0 处可导,且在点 x0 处取得极值, 那么 f′(x0)=0; 反之, 若 f′(x0)=0, 则点 x0 不一定是函数 y=f(x)的极值点. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)=x3+ax2-x+1 必有 2 个极值.( ) ) (2)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合.( 1 (3)函数 f(x)= 有极值.( x 答案:(1)√ (2)√ (3)× ) 2.下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x,其中在 x=0 处取得极小值的是( A.①② C.③④ 答案:B 3.已知函数 y=|x2-1|,则( A.y 无极小值,且无极大值 B.y 有极小值-1,但无极大值 C.y 有极小值 0,极大值 1 D.y 有极小值 0,极大值-1 答案:C ? 4. 函数 f(x)=x+2cos x 在?0, ? A.0 C. π 3 π? 上的极大值点为( 2? ? B. D. π 6 π 2 ) ) ) B.②③ D.①③ 答案:B 运用导数解决函数的极 值问题 题点一:知图判断函数的极值 1.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y= f(x)( ) A.在(-∞,0)上为减函数 C.在(4,+∞)上为减函数 解析:选 C B.在 x=0 处取极小值 D.在 x=2 处取极大值 由导函数的图象可知:x∈(-∞,0)∪(2,4)时,f′(x)>0,x ∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)<0,因此 f(x)在(-∞,0),(2,4)


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