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【人教a版】高中数学:第一章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性

第一章 1.4 1.4.2 三角函数 三角函数的图象与性质 正弦函数、余弦函数的性质 正、余弦函数的周期性与奇偶性 第 1 课时 A级 基础巩固 一、选择题 1.下列函数中,周期为π的函数是( A.y=2sin x π? ?1 C.y=sin? x+ ? 3? ?2 解析: 根据公式 T= =π. 答案:D 2.若函数 f(x)=sin A. π 2 B. 2π 3 x+φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=( 3 C. 3π 2 D. 5π 3 ) ) B.y=cos x ?π ? D.y=cos? -2x? ?3 ? 2π 2π ?π ? 可知函数 y=cos? -2x?的最小正周期是 T= |ω| |-2| ?3 ? 解析:因为 f(x)是偶函数, 所以 0+φ π = +kπ(k∈Z), 3 2 3 所以 φ= π+3kπ(k∈Z), 2 3 又 φ∈[0,2π],所以 φ= π. 2 答案:C 3.(2018· 福建卷)下列函数为奇函数的是( A.y= x C.y=cos x B.y=|sin x| D.y=ex-e-x ) 解析:对于 D,f(x)=ex-e-x 的定义域为 R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故 y=ex-e-x 为奇函数. 而 y= x的定义域为{x|x≥0}, 不具有对称性, 故 y= x为非奇非偶函数. y =|sin x|和 y=cos x 为偶函数. 答案:D ?3π ? -x?是( 4.函数 y=sin? ? 2 ? A.周期为π的奇函数 C.周期为 2π的奇函数 ) B.周期为π的偶函数 D.周期为 2π的偶函数 ?3π ? -x?=-cos x,所以该函数为周期为 2 解析:由诱导公式得,y=sin? ? 2 ? π的偶函数. 答案:D 5.设 f(x)是定义域为 R,最小正周期为 π ? ?cos x,- ≤x≤0, ? 15π? 2 ? 则 f?- ?的值等于( 4 ? ? ? ?sin x,0<x≤π, A.1 C.0 B. 2 2 2 2 3π 的函数,若 f(x)= 2 ) D.- 3π? 3π 2 ? 15π? ?3π ?3π? 解析:f?- ?=f? ×(-3)+ ?=f? ?=sin = . 4 2 4 4 4 2 ? ? ? ? ? ? 答案:B 二、填空题 6.函数 f(x)= 2cos 2x+1 的图象关于________对称(填“原点”或“y 轴”). 解析:函数的定义域为 R,f(-x)= 2cos 2(-x)+1= 2cos(-2x)+1= 2cos 2x+1=f(x). 故 f(x)为偶函数,所以图象关于 y 轴对称. 答案:y 轴 7.已知 f(x)是 R 上的奇函数,f(x+3)=f(x),则 f(2 016)= ________. 解析:因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 又因为 f(x+3)=f(x),所以 T=3, 所以 f(2 016)=f(672×3)=f(0)=0. 答案:0 8.若函数 f(x)是以 ________. 解析:因为 f(x)的周期为 π ,且为偶函数, 2 π ?π? ? 17π? ?= 为周期的偶函数,且 f? ?=1,则 f?- 6 ? 2 ?3? ? π? π π? ? 17π? ? ? ?π? ?=f?-3π+ ?=f?-6× + ?=f? ?, 所以 f?- 6 ? 6? 2 6? ? ? ? ?6? ?π? ?π π? ? π? ?π? 又因为 f? ?=f? - ?=f?- ?=f? ?=1, 3? ?6? ?2 ? 3? ?3? ? 17π? ?=1. 所以 f?- 6 ? ? 答案:1 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x); ?3x 3π? (2)f(x)=sin? + ?. 2? ?4 解:(1)因为 1+sin2x>sin2x,所以 1+sin2x>|sin x|≥-sin x, 所以 sin x+ 1+sin2x>0, 所以函数 f(x)的定义域为 R. f(-x)=lg[sin(-x)+ 1+sin2(-x)]= 1 ? ? ?= lg(-sin x+ 1+sin2x)=lg? ?sin x+ 1+sin2x? -lg(sin x+ 1+sin2x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. 3x ?3x 3π? (2)f(x)=sin? + ?=-cos ,x∈R. 2? 4 ?4 3x ? 3x? ?3x 3π? 又 f(-x)=-cos?- ?=-cos =f(x), 所以函数 f(x)=sin? + ?是 4 2? 4 ? ? ?4 偶函数. π? ? 10.已知 f(x)是以π为周期的偶函数,且 x∈?0, ?时,f(x)=1-sin x, 2? ? ?5 ? 求当 x∈? π,3π?时 f(x)的解析式. 2 ? ? π? ?5 ? ? 解:x∈? π,3π?时,3π-x∈?0, ?, 2? ?2 ? ? π? ? 因为 x∈?0, ?时,f(x)=1-sin x, 2? ? 所以 f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x. 又 f(x)是以π为周期的偶函数, 所以 f(3π-x)=f(-x)=f(x), ?5 ? 所以 f(x)的解析式为 f(x)=1-sin x,x∈? π,3π?. ?2 ? B级 能力提升 π x,则 f(1)+f(2)+?+f(2 016)的值为( 3 B.0 D.1 cos 2π 1 π 1 = , f(2)= =- , f(3)=cos π=-1, f(4) 3 2 3 2 ) 1.已知 f(x)=cos A.-1 C.- 1 2 解析: 因为 f(1)=cos =cos 4π 1 5π 1 =- ,f(5)=cos = ,f(6)=cos 2π=1. 3 2 3 2 所以 f(1)+f


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