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高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件【新人教版】_图文

1.4.3 正切函数的性质与图象

【知识提炼】

函数y=tanx的图象和性质
解析式 y=tanx

图象
? {x | x ? R且x ? k? ? , k ? Z} 2 ___________________________

定义域 值域

R __

解析式
周期 奇偶性

y=tanx
___ π 奇函数 _______
? ? (? ? k?, ? k?)(k ? Z) 2 2 在开区间___________________ 上都是

单调性

增函数

【即时小测】
1.判断

(1)正切函数的定义域和值域都是R.(
(2)正切函数在整个定义域上是增函数.(

)
)

(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.(

)
)

(4)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.(

【解析】(1)错误.正切函数的定义域为{x|x≠kπ+ ? ,k∈Z},值域
2

为R.

(2)错误.正切函数在(kπ- ? ,kπ+ ? ),k∈Z是增函数,在整个定
2 2

义域上不具有单调性.

(3)正确.正切函数在定义域内值域为R,无最大值、最小值.
(4)错误.正切函数的图象是中心对称图形,但不是轴对称图形 .

答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2.函数y=tan(x- ? )的定义域为______. 【解析】函数的自变量x应满足x- ? ≠kπ+ ? ,k∈Z. 即x≠kπ+ 7 ? ,k∈Z.
10 5 2 5

所以,函数的定义域为{x|x≠kπ+ 7 ? ,k∈Z}. 答案:{x|x≠kπ+ 7 ? ,k∈Z}
10 10

3.函数y=tan( ? x-3)的周期为_______. 【解析】由于f(x)=tan( ? x-3)=tan( ? x-3+π) =tan[ ? (x+4)-3]=f(x+4).
4 4 4 4

因此函数的周期为4. 答案:4

4.函数y=tan x,x∈[ ? , ]的值域为______.
? 【解析】因为y=tan x在[ ? ? , ]上是增函数, 4 3

? ? 4 3

且tan(- ? )=-1,tan ? = 3.
4 3

所以函数的值域为[-1, 3 ].

答案:[-1, 3 ]

5.比较大小:tan 167°_____tan 173°(填“>”或“<”). 【解析】因为90°<167°<173°<180°, 且y=tan x在( ? ,π)上是增函数.
2

所以tan 167°<tan 173°. 答案:<

【知识探究】
知识点1 正切函数的性质

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:正切函数在定义域上是单调函数吗?是周期函数吗? 问题2:正切函数是奇函数还是偶函数?

【总结提升】 1.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性. (2)正切函数无单调递减区间,有无数个单调递增区间,在( ? ,
? 3 ? ),( , ? ),…上都是增函数. 2 2 2 ? ? 2 2 ? 3? , )∪…上是增函数. 2 2 ? 2

(3)正切函数的每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间,也不能 说正切函数在( ? , )∪(

2.确定正切函数奇偶性的步骤
(1)确定定义域{x|x≠kπ+ ? ,k∈Z}关于原点对称.
2

(2)由诱导公式:tan(-x)=-tan x,知正切函数是奇函数.
3.函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)周期的计算公式

一般地,函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)的最小正周期 T ? ? .
| ?|

知识点2

正切函数的图象

观察图形,回答下列问题:

问题1:画正切曲线的关键点和关键线分别是什么?

问题2:正切曲线是轴对称图形吗?是中心对称图形吗?

【总结提升】 1.正切函数图象的两种作法 (1)几何法:利用单位圆中的正切线作图,该方法较为精确,但画图 时较烦琐. (2)三点两线法:“三点”是指(- ? ,-1),(0,0),( ? ,1),“两
? 线”是指x=- ? 和x= ? ,大致画出正切函数在(- ? , )上的简图后向 2 2 2 2 4 4

左、向右扩展即得正切曲线.

2.正切函数图象的对称性 (1)对称性:正切函数图象的对称中心是( k? ,0)(k∈Z),不存在对
2

称轴. (2)渐近线:直线x=kπ+ ? (k∈Z)称为正切曲线的渐近线,渐近线把
2

正切曲线分成无数个不连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限 接近渐近线,在渐近线左侧向上无限接近渐近线.

【题型探究】 类型一 正切函数的定义域问题

【典例】(2015·益阳高一检测)若f(x)= tan x ? 3 ,求函数的定义

域为.
【解题探究】本例中解三角不等式tan x≥m的基本方法是什么?

提示:数形结合,求y=tanx的图象在y=m上方的点的横坐标的取值范
围.

【解析】由tan x- 3 ≥0,得tan x≥ 3 , 利用图象知,所求定义域为[kπ+
? ? ,kπ+ )(k∈Z). 3 2

答案:[kπ+

? ? ,kπ+ ),k∈Z 3 2

【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)将本例函数改为f(x)=tan(2x+ ? ),求与此
4

函数图象不相交的与x轴垂直的直线方程. 【解析】由 2x ? ? ? k? ? ? 得 x ? k? ? ? ,k∈Z,
2 8 2 所以所求直线方程为x= k? ? ? ,k∈Z. 2 8 4

2.(变换条件)将本例函数改为“ y ? 么?

? ? tan x ? 1, ? ? ? 【解析】根据题意,得 ? tan(x ? ) ? 0, 6 ? ? ? ? x ? ? ? k?(k ? Z) ? ? ? ? 6 2 ? ? k ? ? x ? ? k ? , ?4 2 ? 解得 ? x ? ? ? ? k?, ? 6 ? ? ? x ? ? k?, (k ? Z) ? 3 ? ? ? ? ? [ ? k?, ? k?) ( ? k?, ? k?)(k ? Z). 所以函数的定义域为 4 3 3 2

tan x ? 1 ”,其定义域又是什 ? tan(x ? ) 6

【方法技巧】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般
要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义即x≠ ? +kπ,k∈Z.而对
2

于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将

“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+ ? ,k∈Z,解得x.
2

(3)解形如tan x>a的不等式的步骤

【变式训练】函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的定义域是______.
2

?2 ? log 1 x ? 0, 【解析】x应满足 ? 2 ? ? ? tan x ? 0,
?0 ? x ? 4, 所以 ? 所以0<x< ? 或π≤x≤4, ? ? k ? ? x ? k ? ? (k ? Z), 2 ? 2 ?
? )∪[π,4]. 所以所求定义域为(0, 2

答案:(0, )∪[π,4]

? 2

【延伸探究】 1.(变换条件)将本题中“tanx”改为“tanx+1”,其他条件不变, 结果又如何?
?2 ? log 1 x ? 0, ?log 1 x ? log 1 4, ? ? 2 2 【解析】x应满足 ? 即? 2 ? ? , ? tan x ? 1 ? 0, ? tanx ? ?1 ?0 ? x ? 4 所以 ? ? ? ? k ? ? ? x ? k ? ? (k ? Z) ? 4 2 ? 所以0<x< ? 或 3? ≤x≤4. 4 2 ? 所以所求定义域为(0, )∪[ 3? ,4]. 2 4

2.(变换条件、改变问法),将本题函数改为“ 函数在[0,π]上的图象.

y?

sin x ”试画出此 tan x

【解析】由tan x≠0,x∈[0,π],解得x≠0,且x≠ ? 且x≠π.
y? sin x sin x ? ? cos x. 其图象如下. tan x sin x cos x
2

类型二

正切函数单调性的应用
4

【典例】1.(2015·上海高一检测)函数y=tan( ? -x)的单调递减区间
是.

2.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.
(1)tan 220°与tan 200°.(2)tan 6 ? 与 tan(? 13 ?).
5 7

【解题探究】1.典例1中y=tan( ? -x)的单调性与y=tan(x- ? )的单调
4 4

性有什么关系? 提示:y=tan( ? -x)的单调递减区间是y=tan(x- ? )的单调递增区间.
4 4

2.典例2中,比较两个正切值的大小,首先要如何变形?
提示:先用诱导公式将两个角转化到同一个单调区间上 .

【解析】1.因为 y ? tan( ? x) ? ? tan(x ? ),
所以y=tan( ? -x)的单调递减区间是y=tan(x- ? )的单调递增区间.
4 4

? 4

? 4

由kπ- ? <x- ? <kπ+ ? ,k∈Z得
kπ- ? <x<kπ+ 3? ,k∈Z,
4 2 4 2

4 所以函数y=tan( ? -x)的单调递减区间是(kπ- ? ,kπ+ 3? )k∈Z. 4 4 4 答案:(kπ- ? ,kπ+ 3? )k∈Z 4 4

2.(1)因为tan 220°=tan(180°+40°)=tan 40°,

tan 200°=tan(180°+20°)=tan 20°,
且y=tan x在0°<x<90°是增函数,

所以tan 40°>tan20 °,即tan 220°>tan 200°.

6 ? ? 5 5 5 13 13 ? ? ? tan(? ?) ? ? tan ? ? ? tan(2? ? ) ? ? tan(? ) ? tan , 7 7 7 7 7 ? ? ? ? 因为 ? ? ? ? , 2 7 5 2 ? ? y=tanx在( ? , )上单调递增, 2 2 6 13 所以 tan ? ? tan ? , 即 tan ? ? tan(? ?). 5 7 7 5

(2) tan ? ? tan(? ? ) ? tan ,

【延伸探究】将本例1中的函数改为 y ? tan( ? ) ,试求此函数的单 调递增区间. 【解析】由 k? ? ? ? x ? ? ? k? ? ? , k∈Z得 2k? ?
2 2 4 2 2 2 3? ? ? x ? 2k? ? ,k∈Z. 2 2

x 2

? 4

? 所以函数的单调递增区间为 (2k? ? 3? , 2k? ? ),k ? Z.

【方法技巧】
1.运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.

2.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用

“整体代换”的思想,令kπ围即可.

? ? <ωx+φ<kπ+ ,k∈Z,解得x的范 2 2

(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=
Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再

利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.

【变式训练】试用正切函数的单调性比较tan 8和tan( ? 28? )的大小.
3

【解题指南】先用诱导公式将已知角绝对值化小,再用单调性比较大

小.

【解析】因为tan 8=tan(-3π+8)=-tan(3π-8),
? 28? ? )=tan(-9π- )=-tan , 3 3 3 ? 因为3π-8- ? = 8? -8= 8( -1)>0, 3 3 3 3π-8- ? = 5? -8= 1 (5π-16)<0, 2 2 2 所以0< ? <3π-8< ? . 3 2 ? 又y=tan x在(0, )上为增函数, 2 所以tan ? <tan(3π-8), 3 ? 故-tan >-tan(3π-8), 3 即tan 8< tan(? 28? ). 3

tan( ?

【补偿训练】tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为 ________. 【解析】y=tan x在区间( , )上是单调增函数,且tan 1= tan(π+1),又
? <2<3<4<π+1< 3? ,所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 2 2 ? 3? 2 2

答案:tan 2<tan 3<tan 4<tan 1

类型三

正切函数奇偶性与周期性的应用

【典例】1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan ωx(ω为常数,且 ω≠0)相交的两个相邻点间的距离为(
A.? B. 2? ? C. ? ? D.与a无关
4

)

2.(1)求函数 y ? 3tan(4x ? ? ) 与函数f(x)=tan x+|tan x|的最小正周 期. (2)判断函数g(x)= 3 tan 2x的奇偶性.

【解题探究】1.典例1中,两个相邻交点的距离有什么意义? 提示:两个相邻交点的距离是周期. 2.典例2(1)中,求周期的方法是什么?(2)中判断奇偶性的步骤是什 么? 提示:求y=Atan(ωx+φ)的周期可依据公式 T ?
? . 其他形式的函数 | ?|

可考虑图象法.判断奇偶性首先要求定义域并判断其是否关于原点对 称,若对称再判断f(-x)与f(x)的关系,最后依据奇偶性定义回答.

【解析】1.选C.因为直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan ωx相交的
相邻两点间的距离就是正切函数的周期,
? ,所以直线y=a(a为常数)与正切曲线 | ?| y=tan ωx相交的相邻两点间的距离是 ? . |?|

又因为y=tan ωx的周期是

2.(1)函数 y ? 3tan(4x ? ? ) 的最小正周期为T= ? ;f(x)=tan x+
? ? 0 , x ? (k ? ? ,k?), ? ? 2 |tan x|= (k ? Z), ? ?2tan x,x ? [k?,k? ? ? ) ? 2 ?
4 4

作出f(x)=tan x+|tan x|的简图,如图所示,易得函数f(x)=
tan x+|tan x|的周期T=π.

(2)函数g(x)= 3 tan 2x的定义域是{x|x≠ k? ? ? ,k∈Z},关于坐
2 4

标原点对称,
又g(-x)= 3 tan(-2x)=- 3 tan 2x=-g(x),

所以函数g(x)= 3 tan 2x是奇函数.

【方法技巧】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策


(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=
此公式来求周期.

? ,常常利用 | ?|

(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对
称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的 关系.

【变式训练】1.(2015·南昌高一检测)给出如下四个函数 ①f(x)=5sin(x- ? );②f(x)=cos(sin x);③f(x)=xsin2x; ④f(x)= A.1个
tan x ,其中奇函数的个数是( 2 1 ? tan x 3

) D.4个

B.2个

C.3个

【解析】选B.①是非奇非偶函数;②定义域为R.f(-x)= cos(sin(-x))=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x)是偶函数; ③定义域为R,f(-x)=-xsin2(-x)=-xsin2x=-f(x),是奇函数;④定 义域由1-tan2x≠0得tan x≠±1,{x|x≠kπ± ? 且x≠kπ+ ? ,
2 4 tan(? x) ? tan x k∈Z},关于原点对称f(-x)= =-f(x)是奇函数. ? 2 2 1 ? tan (? x) 1 ? tan x

2.已知函数f(x)=2tan(kx+ ? )的最小正周期T满足1<T<2,求自然数k
3

的值. 【解析】T= ? ,由1< ? <2得 ? <k<π,而k∈N,所以k=2或3.
k k 2

【补偿训练】判断下列函数的奇偶性:
2 tan x ? tan x (1)f(x)= . tan x ? 1 (2)f(x)= tan(x ? ? ) ? tan(x ? ? ). 4 4 ? ? x ? k ? ? ,k ? Z, 【解析】(1)由 ? 2 ? ? , ? tan x ? 1 得f(x)的定义域为{x|x≠kπ+ ? 且x≠kπ+ ? ,k∈Z}, 2 4

不关于原点对称,

所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.

(2)函数定义域为 {x|x≠kπ+ 3? 且x≠kπ+ ? ,k∈Z}
4 4

关于原点对称,
? 又f(-x)=tan(-x- ? )+tan(-x+ ) ? =-tan(x+ ? )-tan(x- ) 4 4 4 4

=-f(x),
所以函数是奇函数.

易错案例

函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心
3

【典例】(2015·杭州高一检测)已知函数y=tanx- ? 的图象,则图象

的对称中心坐标为_______________.

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:错误的根本原因是忽视(kπ+ ? ,0),k∈Z,也是正切曲线
2

y=tan x的对称中心,实际上正切曲线y=tan x的对称中心坐标为
( k? ,0),k∈Z.
2

k? ? 【自我矫正】由x- ? = k? (k∈Z)得x= ? (k∈Z),

所以图象的对称中心坐标为( k? ? ? ,0),k∈Z. 答案:( k? ? ? ,0),k∈Z
2 3 2 3

3

2

2

3

【防范措施】正切曲线的两类对称中心 (1)与x轴的交点,即(kπ,0),k∈Z是正切曲线的对称中心. (2)正切无意义处,即(kπ+ ? ,0),k∈Z是正切曲线的对称中心,
2 两类对称中心可以合并为( k? ,0)k∈Z. 2



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