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高三一轮复习3函数的基本性质


高三总复习一轮 2014 年高考
第三讲:函数的基本性质
一,单调性与最大(小)值 1. 增函数与减函数 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间. 减函数: 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

o

x1

x2

x

2. 单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区 间。 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性 质,单调区间有可能是整个定义域,也有可能是定义域的真子集,也有 的函数没有单调区间; 3. 最大(小)值定义 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足 (1) 对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ;(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那 么,我们称 M 是函数 f ( x) 的最大值,记作 f max ( x) ? M .

一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (1) 对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? m ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那 么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m .
例 1:若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f (? ) ? f (?1) ? f (2)



3 2

B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2)

3 2

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3 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2 2 4. 函数单调性的证明与判定方法 1) 定义法 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤:
C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ . 2) 图像法 先画出图像,根据图像判断单调性与单调区间。 3) 性质法 ① f(x)与-f(x)单调性相反;与 f(x)+c 单调性相同; ② 当 c>0,时 f(x)与 cf(x)单调性相同;当 c<0 时,f(x) 单调性与 cf(x)单调性相反, ③ 当 f(x)不等于 0 时,f(x)与
1 f (x )

单调性相反;

④ 当 f(x)≥0 时,f(x)与 f(x)单调性相同。 ⑤ 在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的 和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去 一个增函数为减函数. ⑥ 对于复合函数 y=f[g(x)],若 f(x)与 g(x)单调性相同, 则 y=f[g(x)]为增; 若f (x) 与g (x) 单调性相反, 则 y=f[g(x)] 为减. (同增异减)
例 2: 判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数

y?

k 2 x, 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的单调性。

例 3:下列函数中,在区间 A.

? 0,1? 上是增函数的是(



y? x
y? 1 x

B. y ? 3 ? x D. y ? ? x ? 4
2

C.

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例 4.证明函数 f(x)=x +x 在 R 上市增函数。
3x
3

练 4-1:讨论函数f x = x 2 ?1在(-1,1)上的单调性

x ? 2x ?
2

1 2

f ( x) ?

练 4-2. 已知函数 的最小值.

x

,其中 x ? [1, ?? ) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它

5. 函数单调性的应用 1) 利用函数的单调性求参数的取值范围
例 5:已知函数 范围是( A. a ? ?3

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2
) C. a ? 5

在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值

B. a ? ? 3
2

D. a ? 3

练 5: 若函数 f ( x) ? (k ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数, 则 k 的取值范围为__________。

2) 利用函数的单调性求函数的值域
f ( x) ?
例 6:函数 练 6:函数 y ? A. ? ?, 2

4 ( x ? [3, 6]) x?2 的值域为____________。


x ? 1 ? x ?1 的值域为(
B. 0, 2

? ? C. ? 2 ,???
二,奇偶性 1. 奇偶性定义

?

?

D. ?0,???

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偶函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 奇函数: 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数 的图象关于原点对称.

例 7.下列判断正确的是( A.函数 f ( x) ?

) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2

1? x 是偶函数 1? x

C. f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数 D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

2. 函数奇偶性的判断 1) 定义法 ① 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ② 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x) 是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x) 是奇函数. 2) 图像法 先画出图像,根据图像判断单调性与单调区间。 3) 性质法 两个奇函数的和是奇函数 两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的积是偶函数 两个偶函数的积是偶函数 一个奇函数一个偶函数的积是奇函数 2 ? ?? x ? x ? x ? 0 ? 例 8.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0? , h ? x ? ? ? 2 ,则 x ? x x ? 0 ? ? ? ? ) f ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为(
A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数 B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

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练 8-1.判断奇偶性 f ( x ) ?

1 ? x2 x?2 ?2

练 8-2:已知函数(1)

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1

, (2) f ( x) ?

x ? 1 ? 1 ? x ,(3) f ( x) ? 3x ? 3x
2

(4)

?0( x ? Q) f ( x) ? ? ?1( x ? CR Q)
A.1

,其中是偶函数的有( B.2

)个 D.4

C.3

3. 函数奇偶性的应用 1) 求函数解析式
2 例 9: 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) , 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? | x | ?1 , 那么 x ? 0 时,

f ( x) ?

.
3

练 9:已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +x+1,求 f(x)解 析式

2) 与单调性综合运用 若函数 f(x)为奇函数,当 f(x)在区间[a,b]上是单调函数时,则 f (x)在其对称区间[-b,-a]上也是单调的,且单调性相同。 若函数 f(x)为偶函数,当 f(x)在区间[a,b]上是单调函数时,则 f (x)在其对称区间[-b,-a]上也是单调的,且单调性相反。
例 10:已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8) 为偶函数。则() A, f(6)>f(7) B, f(6)>f(9) C, f(7)>f(9) D, f(7)>f(10) 练 10-1 .若 f ( x) 是偶函数,其定义域为 ?? ?,??? ,且在 ?0,??? 上是减函数,则

3 5 f (? )与f (a 2 ? 2a ? ) 的大小关系是( ) 2 2 3 3 5 5 2 2 A. f ( ? ) > f (a ? 2a ? ) B. f ( ? ) < f (a ? 2a ? ) 2 2 2 2 3 3 5 5 2 2 C. f ( ? ) ? f (a ? 2a ? ) D. f ( ? ) ? f ( a ? 2 a ? ) 2 2 2 2
练 10-2:已知函数 f ( x ) 是定义域在 R 上的偶函数,且在区间 (?? , 0) 上单调递减,求

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满足 f ( x ? 2x ? 3) ? f (? x ? 4x ? 5) 的 x 的集合.
2 2

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练习 1 一、选择题 1.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 ?? 7,?3? 上是 ( ) A.增函数且最小值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5 3.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数。 ) )

4.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) 是( A.是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C.是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数也不是减函数 二、填空题

5.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0, 5] 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是
6.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是 三、解答题 7.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0, 求 a 的取值范围。 .

8.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5? . ① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

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高三总复习一轮 2014 年高考
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函 数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) h?0,右移|h|个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f ( ? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称 性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析 式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直 观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题 的思想方法.


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