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2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2同步课件:第一章 1.3 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积_图文

空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 预习课本 P23~27,思考并完成以下问题 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算? 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么? 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么? 4.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么? 5.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系? [新知初探] 1.柱体、锥体、台体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体的表面积就是各个面 ______的面 积的和,也就是展开图 ______的面积 多面体 旋 圆 转 柱 体 底面积:S底=____ πr2 侧面积:S侧=_____ 2πrl 表面积:S=___________ 2πrl+2πr2 图形 表面积公式 底面积:S底=_____ π r2 圆锥 旋 转 侧面积:S侧=_____ πrl 表面积:S=_________ πrl+πr2 πr′2 上底面面积:S上底=______ 体 圆台 下底面面积:S下底=____ πr2 侧面积:S侧=_________ πl(r+r′) π(r′2+r2+r′l+rl) 表面积:S=___________________ 2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 锥体的体积公式 V= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 台体的体积公式 V= (S′+ S′S+S)h. 3 [点睛] (1)圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积公式之间的关系: [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积 (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 (× ) (√ ) 2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a 时,该 三棱锥的表面积是 3+ 3 2 A. a 4 3 2 B. a 4 ( ) 3+ 3 2 6+ 3 2 C. a D. a 2 4 2 解析:选 A ∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于 a, 2 ? 3 2 1 ? ? 2 ?2 3+ 3 2 ∴S 表= a +3× ×? a? = a. 4 2 ?2 ? 4 3.若圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,则圆锥的体积是______. 解析:由已知圆锥的高 h=4, 1 所以 V 圆锥= π×32×4=12π. 3 答案:12π 柱、锥、台的表面积 [典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为 9 和 15,高是 5,求该直四棱柱的侧面积. [解] 如图,设底面对角线 AC=a,BD=b,交点为 O,对角 线 A1C=15,B1D=9, ∴a2+52=152,b2+52=92, ∴a2=200,b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形, 2 2 ?AC? ?BD? a + b 200+56 2 2 2 ∴AB =? 2 ? +? 2 ? = = =64,∴AB=8. 4 4 ? ? ? ? ∴直四棱柱的侧面积 S=4×8×5=160. (1)求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几 何体, 再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差, 从而获 得几何体的表面积, 另外有时也会用到将几何体展开求其展开图 的面积进而得表面积. (2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点,解决此 类问题的关键是正确地观察三视图, 把它还原为直观图, 特别要 注意从三视图中得到几何体的相关量,再结合表面积公式求解. [活学活用] 1.(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表 面积为 ( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 解析:选 D 由几何体的三视图可知,该几何体为 半圆柱,直观图如图所示. 1 表面积为 2×2+2× ×π×12+π×1×2=4+3π. 2 2.圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4,若母线长为 10, 则圆台的表面积为 A.81π B.100π C.168π ( ) D.169π 解析:选 C 先画轴截面,再利用上、下底面半 径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示,设上 底面半径为 r,下底面半径为 R,则它的母线长为 l= h2+?R-r?2= ?4r?2+?3r?2=5r=10,所以 r=2,R=8. 故 S 侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π, S 表=S 侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 柱体、锥体、台体的体积 [典例] 体积为 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的 ( ) A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3 [解析] B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成,圆柱的底 面半径为 1, 高为 2, 体积为 2π, 四棱锥的底面边长为 2, 高为 3, 1 2 3 2 3 2 所以体积为 ×( 2) × 3= ,所以该几何体的体积为 2π+ . 3 3 3 [答案] C 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积. 若所给的几何体为柱体、 锥体 或台体,则可直接利用公式求解. (2)求以三视图为背景的几何体的体积. 应先根据三视图 得到几何体的直观图,然后根据条件求解. [活学活用] 1.已知某圆台的上、下底面面积分别是 π,4π,侧面积是 6π, 则这个圆台的体积是________. 解析:设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R,母线长为 l,高为 h,则 S 上=πr2=π,S 下=πR2=4π,∴r=1,R=2,S 侧=π(r+ 1 2 7 3 2 R)l=6π, ∴l=2, ∴h= 3, ∴V= π(1 +2 +1×2)× 3= π. 3 3 7 3 答案: π 3 2.若某几何体的三视图如图所示, 则此几何体的 体积等于_____. 解析:根据三视图,


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