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2017-2018版高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修4

4.4 学习目标 单位圆的对称性与诱导公式(一) 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用 .2.理解诱导公式的推导过程.3.能运 用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 知识点 2kπ ±α ,-α ,π ±α 的诱导公式 思考 1 设 α 为任意角,则 2kπ +α ,π +α ,-α ,2kπ -α ,π -α 的终边与 α 的终 边有怎样的对应关系? 思考 2 2kπ +α ,π +α ,-α ,2kπ -α ,π -α 终边和单位圆的交点与 α 的终边和单 位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角 α 与-α 的正弦函数、余弦函数的关系. 梳理 对任意角 α ,有下列关系式成立: sin(2kπ +α )=sin α , cos(2kπ +α )=cos α sin(-α )=-sin α , cos(-α )=cos α sin(2π -α )=-sin α , cos(2π -α )=cos α sin(π -α )=sin α , cos(π -α )=-cos α sin(π +α )=-sin α , cos(π +α )=-cos α 公式 1.8~1.12 叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式. 这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”.其含义是诱导公式两边 的函数名称________, 符号则是将 α 看成________时原角所在象限的正弦函数、 余弦函数值 的符号. (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) 类型一 给角求值问题 例 1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°;(2)sin 11π ; 4 1 43π (3)sin(- );(4)cos(-1 920°). 6 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”:用公式一或三来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为 0°到 360°间的角. (3)“角化锐”:用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练 1 求下列各三角函数式的值. ? 31π ?. (1)sin 1 320°; (2)cos?- 6 ? ? ? 类型二 给值(式)求值问题 例 2 (1)已知 sin(π +α )=-0.3,则 sin(2π -α )=________. π 2 5π (2)已知 cos( -α )= ,则 cos( +α )=________. 6 2 6 反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择诱导公 式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用. 3 ?π ? ? 5π ? 跟踪训练 2 已知 cos? +θ ?= ,则 cos? -θ ?=________. ?6 ? 3 ? 6 ? 类型三 利用诱导公式化简 例 3 化简下列各式. (1) (2) -2π -α α -π π -α π -α ; 1+2sin 290°cos 430° . sin 250°+cos 790° 引申探究 nπ -α 若本例(1)改为: cos[α - n+ π nπ -α (n∈Z),请化简. n+ π -α ] 反思与感悟 利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的 2 要求出值. 跟踪训练 3 化简: π +α -α -π π +α -π -α . 1.sin 585°的值为( A.- 2 2 B. 2 2 C.- ) 3 2 D. 3 2 ) 1- 3 2 3+1 2 ) 16π 16π 2.cos(- )+sin(- )的值为( 3 3 1+ 3 A.- 2 C. 3-1 2 B. D. 3.如果 α +β =180°,那么下列等式中成立的是( A.cos α =cos β C.sin α =-sin β 4.sin 750°=________. 5.化简: +α -α - α + -180°-α . B.cos α =-cos β D.sin α =cos β 1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 公式 1.8 公式 1.12 公式 1.9 公式 1.11 作用 将角转化为 0~2π 之间的角求值 将 0~2π 内的角转化为 0~π 之间的角求值 将负角转化为正角求值 π 将角转化为 0~ 之间的角求值 2 2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数 名称一致,符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号,α 看成锐角,只 3 是公式记忆的方便,实际上 α 可以是任意角. 4 答案精析 问题导学 知识点 思考 1 它们的对应关系如表: 相关角 2kπ +α 与 α π +α 与 α -α 与 α 2π -α 与 α π -α 与 α 终边之间的对称关系 终边相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 思考 2 它们交点间对称关系如表: 相关角 2kπ +α 与 α π +α 与 α -α 与 α 2π -α 与 α π -α 与 α 终边与单位圆的交点间对称关系 重合 关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 设角 α 与角-α 终边与单位圆的交点分别为 P 和 P′,因为 P 和 P′关于 x 轴对称,所以点 P 和 P′的横坐标相等,纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α )=-sin α ,cos(- α )=cos α . 梳理 函数名不变,符号看象限 一致 锐角 题型探究 例 1 解 (1)cos 210°=cos(180°+30°) =-cos 30°=- (2)sin 3 . 2 11π 3π =sin(2π + ) 4 4 3π π =sin =sin(π - ) 4


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