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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质课件 理_图文

◆专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质

考向分析

核心整合

热点精讲

考向分析
考情纵览 2013 年份 2011 考点 2012 Ⅰ Ⅱ Ⅰ 2014 Ⅱ Ⅰ 2015 Ⅱ 5 10 2 16 3 15 13 10

函数的定义域、 值域及解析式
函数的图象及 其应用

函数的性质及 其应用

真题导航
1.(2014新课标全国卷Ⅰ,理3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是 奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( C ) (A)f(x)g(x)是偶函数 (B)|f(x)|g(x)是奇函数 (C)f(x)|g(x)|是奇函数 (D)|f(x)g(x)|是奇函数

解析: f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),g(x)是偶函数,
则g(-x)=g(x) 则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),选项A错; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),选项B错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,选项C正确; |f(-x)?g(-x)|=|f(x)g(x)|,D错.故选C.

2.(2012 新课标全国卷,理 10)已知函数 f(x)= 大致为(
B

1 ,则 y=f(x)的图象 ln ? x ? 1? ? x

)

解析:易知 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+≦),故 D 错误; 又 f(1 1 1 1 1 )= = = = <0,可排除 A,C,故选 B. 1 1 1 2 ln ? ? ln 2 ln e ? ln 2 ln e 2 2 2 4

3.(2015新课标全国卷Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的
中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表 示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( B )

(C) (D) (A) (B) 解析:当点 P 与 C,D 重合时,易求得 PA+PB=1+ 5 ;当点 P 为 DC 的中点时,有 OP

⊥AB,则 x=

π π ,易求得 PA+PB=2PA=2 2 .显然 1+ 5 >2 2 ,故当 x= 时,f(x) 2 2 π )时,f(x)=tan x+ 4 ? tan 2 x , 4

没有取到最大值,则 C,D 选项错误.当 x∈[0, 不是一次函数,排除 A,故选 B.

4.(2015 新课标全国卷Ⅰ,理 13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x 2 )为偶函数,则 a= .
解析:由已知得 f(-x)=f(x), 即-xln( a ? x 2 -x)=xln(x+ a ? x 2 ), 则 ln(x+ a ? x 2 )+ln( a ? x 2 -x)=0, 所以 ln[( a ? x 2 )2-x2]=0,得 ln a=0,所以 a=1.
答案:1

备考指要
1.怎么考 (1)对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度

中等偏下.
(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查 主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的 思想解决问题;对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等 综合在一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题的形式出现在最 后一题,且常与新定义问题相结合,难度较大. 2.怎么办

(1)应熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质,加强函数性质的应用意识.
(2)与分段函数有关的问题要明确自变量的取值范围,找准对应关系是解题 的关键,同时要加强函数与方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应 用意识.

核心整合
1.函数的三要素 定义域 、 值域 和 对应关系,其中值域由函数的定义域和对应关系完 全确定,因此定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 温馨提示 (1)映射三要素不要忘,集合A中元素不可余,B中元素可多

余,可以多对一、不允许一对多.(2)求解与函数、导数有关的问题,如

值域、单调区间、判断奇偶性,求极值、求最值等等,都必须注意定义
域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还要使 实际问题有意义.(3)分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准

确地找出利用哪一段求解.

2.函数的图象与性质 (1)性质 ①单调性 对于函数 y=f(x)定义域内某一区间 D 上的任意 x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)] >0(<0)?f(x)在 D 上是增(减)函数;对于函数 y=f(x)定义域内某一区间 D 上 的任意 x1,x2, ②奇偶性 对于定义域(关于原点对称)内的任意 x,f(x)+f(-x)=0?f(x)是奇函数;对 于定义域(关于原点对称)内的任意 x,f(x)-f(-x)=0?f(x)是偶函数.
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

>0(<0)?f(x)在 D 上是增(减)函数.

③周期性 设函数 y=f(x),x∈D. 若 T 为 f(x)的一个周期,则 nT(n≠0,n∈Z)也是 f(x)的周期. 若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=-f(x)(a≠0),则 f(x)是以 2|a|为周期的函数. 若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=±
1 (a≠0),则 f(x)是以 2|a| 为周期的函数. f ? x?

若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则 f(x)是以 |b-a| 为周期的函数. ④对称性 对于函数 y=f(x)定义域内任意一个 x 的值,若 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线
x? a?b 对称.特别地,若 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=a 2

对称.

对于函数 y=f(x)定义域内任意一个 x 的值,若 f(a+x)=-f(b-x),则函数 f(x)的图象关于点
?a?b ? (a,0) 中心对称. ,0 ? 中心对称.特别地,若 f(a+x)=-f(a-x),则函数 f(x)的图象关于点 ? ? 2 ?

(2)相互联系 ①奇(偶)函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同(反). ②f(x)是奇函数?f(x)的图象关于 原点 对称;f(x)是偶函数?f(x)的图象 关于 y轴 对称. ③若函数y=f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)是以 2|b-a|为 周期的函数,特别地,若函数f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称, 则 f(x)是以 2|a| 为周期的函数. ④若函数y=f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b),则 f(x)是以 4|b-a| 为周期的函数.特别地,若函数f(x)是奇函数,其图象又 关于直线x=a对称, 则f(x)是以4|a|为周期的函数.

⑤若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)是以 2|b-a| 为周期的函数.

温馨提示

(1)求函数单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符

号“∪”和“或”,它们之间一般用“,”隔开或者用“和”字连接. (2)判断函数的奇偶性时,要注意定义域必须关于原点对称.

热点精讲
热点一
函数的定义域、值域及解析式
1 的定义域为( x?3

【例 1】 (1)(2013 山东卷)函数 f(x)= 1 ? 2 x + (A)(-3,0] (C)(-∞,-3)∪(-3,0] (B)(-3,1] (D)(-∞,-3)∪(-3,1]

)

x ? ?3 , x ? 3, (2)已知函数 f(x)= ? 则 f(log34)的值是( ? ? f ? x ? 1? , x ? 3,

)

(A)4

(B)12

(C)36

(D)108
x ? 1 ?1 ? 2 ? 0, .得 ? 则-3<x≤0.故选 A. x?3 ? ? x ? 3 ? 0,

解析:(1)由 f(x)=

1 ? 2x +

(2)因为 1<log34<2,所以 f(log34)=f(1+log34)=f(2+log34)= 32 ? log3 4 =36.故选 C.

方法技巧

(1)求函数y=f(x)的定义域时,只要构建使解析式有意义的不

等式(组)即可.

(2)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可,在
分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式;求解函数值域的方 法有:公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要做到具体问 题具体分析,选取适当的求解方法.

举一反三 1 1:(2015 济宁二模)函数 f(x)的定义域是[0,3],则函数 y=
lg ? 2 ? x ? f ? 2 x ? 1?

的定义域是

.

解析:因为函数 f(x)的定义域是[0,3],
?1 ? 2 ? x ? 2, ?0 ? 2 x ? 1 ? 3, ? ? 所以由 ? 2 ? x ? 0, 得 ? x ? 2, ?lg 2 ? x ? 0, ? x ? 1. ? ? ? ? ?
1 1 ≤x<2 且 x≠1,即函数的定义域为{x| ≤x<2 且 x≠1}. 2 2 1 答案:{x| ≤x<2 且 x≠1} 2



? x 2 , x ? 1, ? 举一反三 1 2:(2015 浙江卷)已知函数 f(x)= ? 则 f(f(-2))= 6 ? x ? ? 6, x ? 1, x ?

,f(x)的最小值是
解析:因为 f(-2)=4,f(4)=所以 f(f(-2))=1 , 2

.

1 ;x≤1 时,f(x)min=0,x>1 时, 2

f(x)min=2 6 -6,又 2 6 -6<0,所以 f(x)min=2 6 -6.
1 答案:2

2 6 -6

热点二 函数的图象及其应用 【例2】 (1)现有四个函数:①y=x·sin x,②y=x·cos x,③y=x·|cos x|,
④y=x·2x的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号排序正 确的一组是( )

(A)①④③② (C)①④②③

(B)④①②③ (D)③④②①

解析:(1)①y=x·sin x是偶函数,其图象关于y轴对称; ②y=x·cos x是奇函数,其图象关于原点成中心对称; ③y=x·|cos x|是奇函数,且在y轴右侧,图象位于x轴上方; ④y=x·2x是非奇非偶函数. 根据以上分析从左到右图象对应的函数序号排序是①④②③.故选C.

? ? ln x ,0 ? x ? e, (2)(2015 南阳市第三次联考)已知函数 f(x)= ? 若 a,b,c 互不相等,且 ? ?2 ? ln x, x ? e.

f(a)=f(b)=f(c),则 a+b+c 的取值范围为( (A)(1+e,1+e+e )
2 (C)(2 1 ? e 2 ,2+e ) 2

)

(B)(

1 2 +2e,2+e ) e

解析:(2)设 a<b<c,画出函数 f(x)的大致图象如图,由已知和图象可知 0<a<1<b<e<c<e . 因为-ln a=ln b,所以 ab=1.因为 ln b=2-ln c,所以 bc=e . 因为 0<b<e,所以
1 1 1 1 1 > ,即 a> ,所以 a+b+c> +2 bc ,即 a+b+c>2e+ . b e e e e
2

1 (D)(2 1 ? e2 , +2e) e

2

1 e2 e2 ? 1 e2 ? 1 又 a+b+c= +b+ =b+ ,b∈(1,e),令 y=x+ , b b b x
e2 ? 1 则 y 在(1,e)上是减函数,所以 e+ <y<1+e2+1,所以 a+b+c<e2+2, e

即 2e+

1 1 <a+b+c<e2+2.所以 a+b+c 的取值范围是( +2e,2+e2).故选 B. e e

方法技巧 作图、识图、用图的技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩

变换和对称变换.
(2)识图:从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、 对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:由函数图象确定函数性质及由方程根的存在情况求有关参数的取 值范围等.

举一反三 2 1:(1)(2015 信阳市二检)已知函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x2+2 ,则 f(x)·g(x)的图象可能是( )

解析:(1)由f(x)与g(x)都是偶函数,得f(x)g(x)是偶函数,可排除A,D;当
0<x<1时,f(x)<0,g(x)>0,排除B,故选C.

2 ? ?m 1 ? x , x ? ? ?1,1? , (2)(2015 山西省四诊)已知函数 y=f(x)= ? 其中 m>0,且函数 f(x) ? ?1 ? x ? 2 , x ? ?1,3? ,

满足 f(x+4)=f(x).若方程 3f(x)-x=0 恰有 5 个根,则实数 m 的取值范围是( (A)( (C)(
15 , 3 7 4 , ) 3 3
7)

)

(B)( (D)(

15 8 , ) 3 3
4 8 , ) 3 3

y2 解析:(2)因为当 x∈(-1,1]时,将函数化为方程 x + 2 =1(y≥0), m
2

所以实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,同时在坐标系中作出当 x∈(1,3]时的图象,再
x y2 2 根据周期性作出函数其他部分的图象.由图易知直线 y= 与第二个半椭圆(x-4) + 2 =1(y 3 m
y2 ≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8) + 2 =1(y≥0)无公共点时,方程恰有 5 个实数解. m
2

x y2 2 将 y= 代入(x-4) + 2 =1(y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0, 3 m

令 t=9m2(t>0),则(t+1)x2-8tx+15t=0, 由Δ=(8t) -4×15t(t+1)>0,得 t>15,即 9m >15,且 m>0 得 m>
2 2

15 ; 3

x y2 2 同理,由 y= 与第三个半椭圆(x-8) + 2 =1(y≥0)无交点,可计算得 0<m< 7 . 3 m

15 综上可知 m∈( , 7 ).故选 A. 3

热点三

函数的性质及其应用

【例 3】 (1)(2015 赣州市十二县(市)联考)在实数集 R 中定义一种运算“*”, ? a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性质: 1)对任意 a∈R,a*0=a; 2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0). 关于函数 f(x)=(ex)*
1 的性质,有如下说法: x e

①函数 f(x)的最小值为 3; ②函数 f(x)为偶函数; ③函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0]. 其中正确说法的序号为( (A)① (B)①② ) (D)②③ (C)①②③

1 1 1 1 x x x 解析:(1)因为 f(x)=(e )* x =(e )· x +(e *0)+( x *0)=1+e + x , e e e e
x

且 1+ex+

1 1 x e ? ≥ 1+2 =3(当且仅当 x=0 时取“=”), x x e e

所以 f(x)min=3,故①正确; 因为 f(x)=1+ex+
1 x -x x -x =1+e +e , 所以 f(-x)=1+e +e =f(x), x e

所以函数 f(x)为偶函数,故②正确;
e2 x ? 1 因为 f′(x)=e -e = ,所以当 f′(x)≥0 时,x≥0, x e
x -x

即函数 f(x)的单调递增区间为[0,+≦),故③错误. 所以正确说法的序号为①②,故选 B.
答案: (1)B

(2)(2014 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上
? 29 41 ? x ?1 ? x ? ,0 ? x ? 1, 的解析式为 f(x)= ? 则 f( )+f( )= 4 6 ? ?sin πx,1 ? x ? 2, 29 41 29 41 解析:(2)f( )+f( )=f( -4×2)+f( -4×2) 4 6 4 6

.

=f(-

3 7 3 7 )+f(- )=-f( )-f( ) 4 6 4 6

3 3 7π =- ×(1- )-sin 4 4 6

=

5 . 16

答案:(2)

5 16

举一反三 3 1:(1)(2015 广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数 的是( ) (B)y=x+
1 x

(A)y= 1 ? x 2

(C)y=2 +

x

1 2x

(D)y=x+e

x

(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) , 当-1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2016)等于( (A)336 (B)337 (C)338 (D)2016 )

2

x 解析:(1)易知 y= 1 ? x 2 与 y=2 +

1 1 是偶函数 ,y=x+ 是奇函数,故选 D. x 2 x (2)因为f(x+6)=f(x),所以函数f(x)的周期为6,
因为f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3+6)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2+6)=f(-2)=0, f(5)=f(-1+6)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2016)=336[f(1)+f(2)+?+f(6)]=336.故选A.

方法技巧

(1)函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶

性、周期性等性质的相互转化来解决相对综合的问题.主要的解题思路:奇
偶性主要转化方向是f(-x)与f(x)的关系;单调性主要转化方向是最值、方 程与不等式的解;周期性主要转化方向是利用f(x)=f(x+a)把区间外的函数

转化到区间内,并结合单调性和奇偶性解决相关问题.

备选例题

【例 1】 (2015 福州市质量检测)函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是( (A)f(x)=x+sin x (B)f(x)=
cos x x

)

(C)f(x)=xcos x
π 3π )(x) 2 2 π 解析:因为将( ,0)代入 A 选项不成立,所以排除 A,由于 B 选项的 2

(D)f(x)=x(x-

定义域为 x≠0,所以排除 B.由于 D 选项中只有三个零点,所以排除 D 选项.通过验算可得 C 选项的函数成立.故选 C.

? ?? 3 ? a ? x ? 3, x ? 7, 【例 2】 (2015 绥化一模)已知函数 f(x)= ? x ? 6 数列{an}满足 ? ? a , x ? 7,

an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是
解析:因为数列{an}是递增数列,
? ?? 3 ? a ? x ? 3, x ? 7, f(x)= ? x ? 6 ? ?a , x ? 7,

.

an=f(n)(n∈N ), 所以 1<a<3 且 f(7)<f(8), 2 所以 7(3-a)-3<a ,解得 a<-9,或 a>2. 故实数 a 的取值范围是(2,3).
答案: (2,3)

*



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