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04空间的曲线及其方程-文档资料_图文

高等数学(下)主讲杨益民
高等数学
北京工商大学 杨益民

2019/6/5

1

高等数学(下)主讲杨益民
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。

2. A x 2 ? A y 2 ? A z 2 ? B x ? C y ? D z ? E ? 0 表示一张球面。

3. A x?B y?C z?D ?0表示空间的一张平面。

4. yoz平面上的母线

C:

? f ( y, z) ? 0

? ?

x

?

0

绕oz轴旋转得旋转曲面

f(? x2?y2,z)?0

5.

xoy平面上的准线方程

C:

? f (x,

? ?

z

?

0

y)

?

0

母线平行于

z

轴的

柱面方程为: f(x, y)?0

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高等数学(下)主讲杨益民
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。 目的:利用截痕法讨论二次曲面的形状。 即:用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线 (即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌。

(一)椭球面

x2 a2

?by22

?cz22

?1

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高等数学(下)主讲杨益民

椭球面的几种特殊情况:

(1)

a?b,

x2 ? a2

y2

?

z2 c2

?1

旋转椭球面

由椭圆

? ? ?

x2 a2

?

z2 c2

?

1



? ? ?

y2 b2

?

z2 c2

?

1

?? y ? 0

?? x ? 0

绕z轴旋转而成。

(2 ) a?b?c,

x2 a2

?ay22

?az22

?1

球面

方程可写为 x2?y2?z2?a2

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(二)抛物面

高等数学(下)主讲杨益民

(1)椭圆抛物面

x2 ? 2p

y2 2q

?

z

(p与q同号)

用截痕法讨论: 设p与q都大于零。 (1)用坐标面 xoy (z=0) 去截; (2)用平面 z?z1(z1 ?0) 去截; (3)用坐标面 xoz 或 yoz 去截;
(4)用平面 x?x1或y?y1去截;

z
o
x

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y
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高等数学(下)主讲杨益民

椭圆抛物面的图形如下: z

z o y
x

xo

y

p?0, q?0

p?0, q?0

特殊地:当p=q时,方程变为

x2 ? y2 ? z 2p 2p

旋转抛物面

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高等数学(下)主讲杨益民

(2)双曲抛物面(马鞍面)

? x2 ? y2 ? z 2p 2q

( p与q同号 )

用截痕法讨论: 设 p?0,q?0

z

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o x

y
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高等数学(下)主讲杨益民

(三)双曲面

(1)

x2 a2

?by22

?cz22

?1

单叶双曲面

z
z

o

y

o

y

x x
.

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高等数学(下)主讲杨益民

(2)

x2 a2

?by22

?cz22

??1

双叶双曲面

z

o

y

x

oy x

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高等数学(下)主讲杨益民

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

空间曲线C可看作空间两曲面的交线:
?F(x, y,z) ?0 ??G(x, y,z) ?0
空间曲线的一般方程
注意:空间曲线的曲线方程 不是唯一的。
x

z
S1
S2

C

o

y

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高等数学(下)主讲杨益民

例1 下列方程组表示怎样的曲线?

(1)

??x2 ???x2

? ?

y2 y2

?1 ? z2

?1

?x2 ? y2 ? 1 (2) ?
?z ? 0

?x2 ? y2 ? z2 ?1 (3) ?
?z ?0

? x ? cos t

(4)

? ?

y

?

sin t

?? z ? 0

?x2 ? y2 ?1 (5) ?
?2x?3y?3z ?6

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高等数学(下)主讲杨益民

?z ? a2 ? x2 ? y2

例2

方程组

?

? ??(

x

?

a)2 2

?

y2

? a2 4

表示怎样的曲线?

解 z? a2?x2?y2

上半球面,

(x?a)2?y2 ?a2

2

4

圆柱面,

交线如图。

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高等数学(下)主讲杨益民
二、空间曲线的参数方程

? x ? x(t)

? ?

y

?

y(t)

?? z ? z ( t )

空间曲线的参数方程

注:(1)随着参数t 的变化可得到曲线上的全部点(x, y, z)。

(2)消去参数t,可得到两个柱面方程,因此空间曲线的参 数方程也可视为两张柱面的交线。

例3 设空间一动点M在圆柱面 x2?y2?a2上以角速度ω绕
z轴旋转,同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升,试求 该动点M运动的轨迹方程。

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解 取时间t为参数,动点M从A(a,0,0)点出发

经过t 时间,运动到M (x, y, z)处

M 在 x面 o 的 投 y影 M ?(x ,y ,0 )

z

在圆

? x2 ?

?

y2

?

a 2 上,

所以

?z ? 0

? x ? a cos? t

? ?

y

?

a

sin

?

t

?? z ? v t

螺旋线的参数方程

?t

o

M
?

x A M? y

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螺旋线的参数方程还可以写为

z

? x ? a cos ?

? ?

y

?

a

sin

?

?? z ? b ? (???t, b??v)

螺旋线的重要性质:

上升的高度与转过的角度成正比,

Q

即 ?:?0? ?0? ?,

? ? ? z:b0? b0? b,

螺距

M

??2?, 上升的高度

0 t

a

y

h?2b? 螺距

P

N

x

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高等数学(下)主讲杨益民

三、空间曲线在坐标面上的投影

1. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面

z

C

S

C’称为曲线C在xoy平 面上的投影曲线。

o x

S称为曲线C关于xoy平

y

面的投影柱面

C’

2. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面的方程

设空间曲线C的一般方程:

?F(x, y,z) ?0 ??G(x, y,z) ?0

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高等数学(下)主讲杨益民
消去z得: h(x, y)?0
表示:以曲线C(或C’)为准线,母线平行于z轴的柱面——曲 线C关于xoy平面的投影柱面。

C?

?h(x, y) ? 0

? ?

z

?

0

表示:曲线C的投影柱面与xoy平面的交线——曲线C在xoy

平面上的投影曲线。

类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影

yoz面上的投影曲线

xo面z上的投影曲线

?h( y,z) ? 0

? ?

x

?

0

?h(x,z) ? 0

? ?

y

?

0

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高等数学(下)主讲杨益民
如图:投影曲线的研究过程

空间曲线
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投影柱面

投影曲线
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高等数学(下)主讲杨益民

?x2 ? y2 ? z2 ? 1

例4

求曲线

? ? ??z ?

1 2

在坐标面上的投影。

解 (1)消去变量z后得

x2 ? y2 ? 3 4
在 xoy面上的投影为

? ?

x

2

?

y2

?

3

?

4

?? z ? 0

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高等数学(下)主讲杨益民

(2)因为曲线在平面 z ? 1 上, 2
所以在xoz面上的投影为线段:

? ? | x |? ?

3 2

? ?

z

?

?

1 2

?y ? 0

?

?

(3)同理在yoz面上的投影也为线段:

? ?x ? 0

?? ?

|

y

|?

?

3 2

? ??

z

?

1 2

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高等数学(下)主讲杨益民

例5 求抛物面 y2 ? z2 ? x与平面 x ? 2 y ? z ? 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程。

解 截线方程为

?y2 ? z2 ? x ?

?x?2y? z ? 0

(1)消去z 得投影

?x2 ?5y2 ?4xy?x?0 ?

?z ?0

(2)消去

y 得投影

?x2 ?5z2 ?2xz?4x?0 ?

?y?0

x

(3)消去

x

得投影

?y2 ?

?

z2

?

2y

?

z

?

0

?x ?0

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z y
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高等数学(下)主讲杨益民
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体

曲 面

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高等数学(下)主讲杨益民

例6 设一个立体由上半球面 z? 4?x2 ?y2 和锥面

z ? 3(x2 ? y2) 所围成,求它在xoy平面上的投影。



半球面和锥面的交线为

C

:

??z ?

?

??z ?

消 去 z得 投 影 柱 面 x 2? y 2? 1

4? x2 ? y2 3(x2 ? y2 )

则交C线在xoy面上的投??影 x 2 ?为 y 2 ? 1
?z ? 0
?所求立x体 o面 y在 上的投影为

x2 ? y2 ?1

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高等数学(下)主讲杨益民

思考题
求椭圆抛物面 2y2?x2?z与抛物柱面 2?x2?z的交线关
于xoy平面的投影柱面和在xoy平面上的投影曲线的方程。



交线方程为

?? 2 ? ?? 2

y2 ? ? x2

x2 ? ?z

z

消去z 得投影柱面 x2 ? y2 ?1

在xoy面上的投影为
?x2 ? y2 ? 1 ? ?z ? 0

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高等数学(下)主讲杨益民

例7 求曲 z?2? 面 x2?y2及 z?x2?y2的交 L 在 x线 o 平 y 面。 的





??z ? ??z

? ?

2? x2 ?

x2 y2

?

y2

z

得交线L:

1

?x2 ? y2 ? 1 ??z ? 1

o
x
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.
y
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高等数学(下)主讲杨益民

例7 求曲 z?2? 面 x2?y2及 z?x2?y2的交 L 在 x线 o 平 y 面。 的





??z ? 2? x2

? ??z

?

x2

?

y2

? y2

z

L

投影柱面
x2 ? y2 ?1

得交线L:

1

所求投影曲线为

?x2 ? y2 ? 1 ??z ? 1

x2 ?y2 ?1

?x2 ? y2 ? 1 .

?

.

?z ? 0

.

x
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o
z =0

y
2

. .
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z

L

1

x2 ? y2 ?1

x
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o
z =0

y
27

谢谢!



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