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广东省潮州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

广东省潮州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)不等式(2x﹣1) (x+1)<0 的解集是() A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1, ) C. (﹣∞,﹣1)∪( ,+∞) D.

2. (5 分)已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则公差 d 的值为() A. 3 B. 1 C. 4 3. (5 分)设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是() A. B. C. |a|>﹣b

D. 2

D.

4. (5 分)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A? B“的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. (5 分)海上有三只船 A,B,C,其中船,B 相距 ,从船 A 处望船 B 和船 C 所成的视角 为 60°,从船 B 处望船 A 和船 C 所成的视角为 75°,则船 B 和船 C 之间的距离 BC=() A. 10 B. C. 20 D. 6. (5 分)若 x,y∈R ,x+4y=20,则 xy 的最大值为() A. 20 B. 100 C. 64
+

D. 25

7. (5 分)十三世纪初,意大利数学家斐波那契(Fibonacci,1170~1250)从兔子繁殖的问 题,提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 由此可计算出 F7=() A. 8 B. 13 C. 21 D. 34

8. (5 分)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 f′(x)的 图象可能是()

-1-

A.
2

B.
2 2

C.

D.

9. (5 分)方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知椭圆

(0<b<3) ,左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于

A,B 两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 8,则椭圆的离心率是() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 2 11. (5 分)命题 p:“? x∈R,x +1<0”的否定是.

12. (5 分)在△ABC 中,A=60°,|AB|=2,且△ABC 的面积为

,则|BC|=.

13. (5 分)曲线 y=x ﹣3x +1 在点 x=1 处的切线方程为.

3

2

14. (5 分)求和:

=.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB=5,AD=3,cosA= ,△BCD 是等边三角形. (1)求四边形 ABCD 的面积; (2)求 sin∠ABD.

-2-

16. (12 分)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点,

并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( ,

) ,求抛物线与双曲线方程.

17. (14 分)下表是一工厂生产 A、B 两种产品时每生产一吨所需的煤、电和每一顿产品的产 值: 用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) A 产品 7 20 8 B 产品 3 50 12 但由于受到各种条件限制,每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何安排生产, 才能使得该厂日产值最大?最大日产值为多少万元? 18. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣2(n=1,2,3…) ,数列{bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an 和 bn; (2)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn,并求满足 Tn<167 的最大正整数 n. 19. (14 分)已知 a 为实数,f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) ,f′(x)为 f(x)的导函数. (Ⅰ)若 f′(﹣1)=0,求 f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若 f(x)在(﹣∞,﹣2]和[2,+∞)上均单调递增,求 a 的取值范围.
2

20. (14 分)已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,椭圆左、右顶点分别为 A、B,

且 A 到椭圆两焦点的距离之和为 4.设 P 为椭圆上不同于 A、B 的任一点,作 PQ⊥x 轴,Q 为 垂足.M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l:x=b 于点 C,D 为线段 BC 中点(如图) . (1)求椭圆的方程; (2)证明:△OMD 是直角三角形.

广东省潮州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)

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参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)不等式(2x﹣1) (x+1)<0 的解集是() A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1, ) C. (﹣∞,﹣1)∪( ,+∞) D.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式与对应的一元二次方程以及二次函数之间的关系,得出不等式 的解集. 解答: 解:∵不等式(2x﹣1) (x+1)<0 对应的一元二次方程的两个实数根为﹣1 和 , 且对应的二次函数图象开口向上, ∴该不等式的解集为(﹣1, ) . 故选:B. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 2. (5 分)已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则公差 d 的值为() A. 3 B. 1 C. 4

D. 2

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得公差 d=an﹣an﹣1=(4n﹣3)﹣[4(n﹣1)﹣3]=4. 解答: 解:∵等差数列{an}中,an=4n﹣3, ∴公差 d=an﹣an﹣1=(4n﹣3)﹣[4(n﹣1)﹣3]=4. 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要注意等差数列的性质的合理 运用. 3. (5 分)设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是() A. B. C. |a|>﹣b D.

考点: 不等关系与不等式. 分析: 利用特殊值代入法进行求解,可以令 a=﹣2,b=﹣1,分别代入 A、B、C、D 四个选项 进行求解. 解答: 解:∵a<b<0, ∴令 a=﹣2,b=﹣1,

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A、﹣ >﹣1,正确; B、﹣1<﹣ ,故 B 错误; C、2>1,正确; D、 >1,正确; 故选 B. 点评: 此题主要考查不等关系与不等式之间的关系,利用特殊值代入法求解比较简单. 4. (5 分)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A? B“的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 先有 a=3 成立判断是否能推出 A? B 成立,反之判断“A? B”成立是否能推出 a=3 成 立;利用充要条件的题意得到结论. 解答: 解:当 a=3 时,A={1,3}所以 A? B,即 a=3 能推出 A? B; 反之当 A? B 时,所以 a=3 或 a=2,所以 A? B 成立,推不出 a=3 故“a=3”是“A? B”的充分不必要条件 故选 A. 点评: 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件. 5. (5 分)海上有三只船 A,B,C,其中船,B 相距 ,从船 A 处望船 B 和船 C 所成的视角 为 60°,从船 B 处望船 A 和船 C 所成的视角为 75°,则船 B 和船 C 之间的距离 BC=() A. 10 B. C. 20 D. 考点: 专题: 分析: 解答: 解三角形的实际应用. 计算题;解三角形. 先根据∠A 和∠B 求出∠C,进而根据正弦定理求得 BC. 解:∠A=60°,∠B=45°,∠C=180°﹣60°﹣75°=45°,AB=10



根据正弦定理得 BC=

=

=10



故选 B 点评: 本题考查正弦定理的运用,考查利用数学知识解决实际问题,属于基础题. 6. (5 分)若 x,y∈R ,x+4y=20,则 xy 的最大值为() A. 20 B. 100 C. 64 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.
+

D. 25

-5-

分析: 由题意可得 xy= ?x?4y≤ ( 解答: 解:∵x,y∈R ,x+4y=20, ∴xy= ?x?4y≤ ( ) =25
2 +

) =25,验证等号成立的条件即可.

2

当且仅当 x=4y 即 x=10 且 y= 时取等号, 故选:D 点评: 本题考查基本不等式求最值,属基础题. 7. (5 分)十三世纪初,意大利数学家斐波那契(Fibonacci,1170~1250)从兔子繁殖的问 题,提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 由此可计算出 F7=() A. 8 B. 13 C. 21 D. 34

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 根据“斐波那契数列”递推公式 Fn= 即可求得 F7.

解答: 解:∵Fn=



∴F3=1+1=2, F4=F3+F2=2+1=3, F5=F3+F4=2+3=5, F6=F4+F5=3+5=8, F7=F5+F6=5+8=13. 故选 B. 点评: 本题考查数列的概念及简单表示法,考查推理与运算能力,属于中档题. 8. (5 分)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 f′(x)的 图象可能是()

-6-

A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 作图题;导数的概念及应用. 分析: 先根据函数 f(x)的图象判断单调性,从而得到导函数的正负情况,最后可得答案. 解答: 解:原函数的单调性是:当 x<0 时,增;当 x>0 时,单调性变化依次为增、减、 增, 故当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)的符号变化依次为+、﹣、+. 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 9. (5 分)方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是()
2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别根据圆锥曲线的定义,逐一判断和每个选项,即可得到答案 解答: 解:A 方程 mx+ny =0 可化为 当开口向右时, 当开口向左时,
2 2

,这表示焦点在 x 轴的抛物线,排除 D;
2

,则 mm<0,所以 mx +ny =1(mn≠0)表示双曲线,排除 C; ,则 mm>0,所以 mx +ny =1(mn≠0)表示椭圆或圆或不表示任何图
2 2

形,排除 B; 故选:A 点评: 本题考查了圆锥曲线的方程,利用排除法时选择题常用的方法,属于基础题

10. (5 分)已知椭圆

(0<b<3) ,左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于

A,B 两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 8,则椭圆的离心率是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

-7-

分析: 利用椭圆的定义可得:△AF2B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=12;若|AB|最小时, |BF2|+|AF2|的最大,又当 AB⊥x 轴时,|AB|最小,解出|AB|= ,可得 b,利用离心率计算

公式即可得出. 解答: 解:∵|AF1|+|AF2|=6,|BF1|+|BF2|=6, ∴△AF2B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=12; 若|AB|最小时,|BF2|+|AF2|的最大,又当 AB⊥x 轴时,|AB|最小, 此时|AB|= 故 ∴ ∴ , . , ,

故选:D. 点评: 本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题等基础知识与 基本技能,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 2 2 11. (5 分)命题 p:“? x∈R,x +1<0”的否定是? x∈R,x +1≥0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解答: 解:命题为特称命题,则命题的否定为: 2 ? x∈R,x +1≥0, 2 故答案为:? x∈R,x +1≥0 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.

12. (5 分)在△ABC 中,A=60°,|AB|=2,且△ABC 的面积为

,则|BC|=



考点: 专题: 分析: 得|BC|= 解答:

正弦定理. 计算题;解三角形. 根据三角形的面积公式,代入题中数据算出|AC|=1,再根据余弦定理加以计算,可 . 解:∵A=60°,|AB|=2, ,解得|AC|=1

∴△ABC 的面积为 S=

根据余弦定理,得 2 2 2 |BC| =|AB| +|AC| ﹣2|AB|?|AC|cosA=3 ∴|BC|= . 点评: 本题给出三角形的一边、一角,在已知面积的情况下求另一边长.着重考查了余弦 定理、三角形的面积公式等知识,属于基础题.

-8-

13. (5 分)曲线 y=x ﹣3x +1 在点 x=1 处的切线方程为 3x+y﹣2=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 求出导数,求得切线的斜率和切点,再由点斜式方程即可得到切线方程. 3 2 2 解答: 解:y=x ﹣3x +1 的导数为 y′=3x ﹣6x, 即有在点 x=1 处的切线斜率为 k=﹣3, 切点为(1,﹣1) , 由点斜式公式可得切线方程为 y+1=﹣3(x﹣1) , 即为 3x+y﹣2=0. 故答案为:3x+y﹣2=0. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义,运用点斜式方程和 正确求导是解题的关键.

3

2

14. (5 分)求和:

=



考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由 ( ,知 Sn=a1+a2+a3+…+an=2 )

,再用裂项求和法能够得到这个数列的和. 解答: 解: ∴Sn=a1+a2+a3+…+an =2( =2× =2(1﹣ 故答案: )= . . ) ,

点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB=5,AD=3,cosA= ,△BCD 是等边三角形. (1)求四边形 ABCD 的面积; (2)求 sin∠ABD.

-9-

考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1) 由余弦定理得 BD =10, 由 cosA= , 知 sinA= , 由此能求出四边形 ABCD 的面积. (2)由正弦定理得 ,由此能求出 sin∠ABD.
2

解答: 解: (1)四边形 ABCD 中,AB=5,AD=3,cosA= ,△BCD 是等边三角形. 由余弦定理得 BD =AB +AD ﹣2×AB×AD×cosA=10.…(3 分) 因为 cosA= ,所以 sinA= ,…(4 分) 四边形 ABCD 的面积 S=S△ABD+S△BCD = = .…(8 分) ,…(10 分) = .…(12 分) + …(6 分)
2 2 2

(2)由正弦定理得 所以 sin∠ABD=

点评: 本题考查四边形的面积的求法,考查角的正弦值的求法,解题时要认真审题,仔细 解答,注意余弦定理和正弦定理的灵活运用.

16. (12 分)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点,

并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( ,

) ,求抛物线与双曲线方程.

考点: 抛物线的标准方程;双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点,可得 p=2c,再利用抛物线与双曲线同过交 点( , ) ,求出 c、p 的值,进而结合双曲线的性质 a +b =c ,求解即可.
2 2 2

解答: 解: 由题设知, 抛物线以双曲线的右焦点为焦点, 准线过双曲线的左焦点, ∴p=2c. 设 2 抛物线方程为 y =4c?x,

- 10 -

∵抛物线过点( ,

) ,∴6=4c? .
2

∴c=1,故抛物线方程为 y =4x. 又双曲线 ﹣ =1 过点( , ) ,





=1.又 a +b =c =1,∴

2

2

2



=1.

∴a = 或 a =9(舍) . ∴b = ,
2

2

2

故双曲线方程为:4x ﹣

2

=1.

点评: 本题考查了抛物线和双曲线方程的求法:待定系数法,熟练掌握圆锥曲线的性质是 解题的关键,同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧. 17. (14 分)下表是一工厂生产 A、B 两种产品时每生产一吨所需的煤、电和每一顿产品的产 值: 用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) A 产品 7 20 8 B 产品 3 50 12 但由于受到各种条件限制,每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何安排生产, 才能使得该厂日产值最大?最大日产值为多少万元? 考点: 专题: 分析: 解. 解答: 简单线性规划. 不等式的解法及应用. 设生产 A 产品 x 吨,B 产品 y 吨,则日产值 z=8x+12y,利用线性规划的知识进行求 解:设该厂每天安排生产 A 产品 x 吨,B 产品 y 吨,则日产值 z=8x+12y,…(1 分)

线性约束条件为

.…(3 分)

- 11 -

作出可行域.…(6 分) 把 z=8x+12y 变形为一组平行直线系 由图可知,当直线经过可行域上的点 M 时, 截距 最大,即 z 取最大值.…(9 分) ,得交点 M(5,7) ,…(11 分)zmax=8×5+12×7=124.…(13 分) ,

解方程组

所以,该厂每天安排生产 A 产品 5 吨,B 产品 7 吨,则该厂日产值最大, 最大日产值为 124 万元.…(14 分) 点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 18. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣2(n=1,2,3…) ,数列{bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an 和 bn; (2)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn,并求满足 Tn<167 的最大正整数 n. 考点: 数列递推式;数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 分析: (1)两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系,找到规律即可求出通项;对 于数列{bn},直接利用点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上,代入得数列{bn}是等差数列即可求通 项; (2)先把所求结论代入求出数列{cn}的通项,再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项 的和,然后解不等式即可. * 解答: 解:Sn=2an﹣2,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,又 Sn﹣Sn﹣1=an, (n≥2,n∈N ) .





,∴ ∴an=2 ∵点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上,∴bn+1=bn+2∴bn+1﹣bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1, ∴bn=2n﹣1 n 2 3 n (2)∵cn=(2n﹣1)2 ,∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×2 +5×2 +…+(2n﹣1)2 , 2 3 n n+1 2 3 n ∴2Tn=1×2 +3×2 +…+(2n﹣3)2 +(2n﹣1)2 因此:﹣Tn=1×2+(2×2 +2×2 +…+2×2 ) n+1 ﹣(2n﹣1)2 3 4 n+1 n+1 n+1 即:﹣Tn=1×2+(2 +2 +…+2 )﹣(2n﹣1)2 ∴Tn=(2n﹣3)2 +6
n

- 12 -

点评: 本题考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比 数列组成的新数列.属于中档题. 19. (14 分)已知 a 为实数,f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) ,f′(x)为 f(x)的导函数. (Ⅰ)若 f′(﹣1)=0,求 f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若 f(x)在(﹣∞,﹣2]和[2,+∞)上均单调递增,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)结合已知中函数的解析式及 f′(﹣1)=0,构造方程求出 a 值,进而分析出函 数的单调性后,求出函数的极值和端点对应的函数值,比照后可得答案. 2 (II)若 f(x)在(﹣∞,﹣2]和[2,+∞)上均单调递增,则 f′(x)=3x ﹣2ax﹣4≥0 对 2 (﹣∞,﹣2]恒成立且 f′(x)=3x ﹣2ax﹣4≥0 对[2,+∞)恒成立,解不等式组可得答案. 2 解答: 解: (I)∵f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) , 2 ∴f′(x)=2x(x﹣a)+(x ﹣4) 又∵f′(﹣1)=﹣2×(﹣1﹣a)+(1﹣4)=0, ∴a= ∴f(x)=(x ﹣4) (x﹣ ) , ∴f′(x)=2x(x﹣ )+(x ﹣4)=3x ﹣x﹣4 令 f′(x)=0, 解得 x=﹣1,x= , 当 x∈[﹣2,﹣1]时,f′(x)≤0 恒成立,f(x)为减函数 当 x∈[﹣1,4/3]时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)为增函数, 当 x∈[4/3,2]时,f′(x)≤0 恒成立,f(x)为减函数 又∵f(﹣2)=0,f(﹣1)= ,f( )=﹣ 可以得到最大值为 ,最小值为﹣ (II)∵f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) , 2 ∴f′(x)=3x ﹣2ax﹣4, 2 依题意:f′(x)=3x ﹣2ax﹣4≥0 对(﹣∞,﹣2]恒成立,即 2 2ax≤3x ﹣4
2 2 2 2 2

,f(2)=0

- 13 -

∴a≥ 又∵y= 在(﹣∞,﹣2]上为增函数,故 x=﹣2 时, 取最大值﹣2,

所以 a≥﹣2 2 f′(x)=3x ﹣2ax﹣4≥0 对[2,+∞)恒成立,即 2 2ax≤3x ﹣4 ∴a≤ 又∵y= 在[2,+∞)上为增函数,故 x=2 时, 取最小值 2,

所以 a≤2 故 a 的取值范围为[﹣2,2]. 点评: 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性, 是导数的综合应用,难度较大.

20. (14 分)已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,椭圆左、右顶点分别为 A、B,

且 A 到椭圆两焦点的距离之和为 4.设 P 为椭圆上不同于 A、B 的任一点,作 PQ⊥x 轴,Q 为 垂足.M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l:x=b 于点 C,D 为线段 BC 中点(如图) . (1)求椭圆的方程; (2)证明:△OMD 是直角三角形.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意可得:

,解出即可得出;

- 14 -

(2)A(﹣1,0) ,B(1,0) ,直线 l:x=1.设点 P(x0,y0) ,可得点 M,把 P 代入椭圆方程 可得 . 得出直线 AM 的方程, 令 x=1, 得C (1, ) , 可得 D (1, ) . 再

利用向量垂直与数量积的关系即可证明.

解答: 解: (1)由题意可得:

,解得



∴椭圆的方程为



(2)证明:A(﹣1,0) ,B(1,0) ,直线 l:x=1. 设点 P(x0,y0) ,可得点 ,且 ,

直线 AM:

,令 x=1,得 C(1,

) ,∴D(1,

) .

∴ ∴





, ∵ =4,∴ =0,

∴∠OMD=90°. 故△OMD 是直角三角形.

点评: 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量 积直之间的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.

- 15 -



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