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高考数学考前归纳总结复习题22-导数中的易错题分析


高考数学考前归纳总结复习题 22-导数中的易错题分析

1

一.切线问题中忽视切点的位置致错 例 1:已知曲线 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ,过点 M (0,32) 作曲线 f ( x ) 的切线,求切线方程。 分析:本题常会这样解:由导数的几何意义知 k ? f ?(0) ? ?3 ,所以曲线的切线方程为 y ? ?3x ? 32 。这是错 误的,原因是点 M (0,32) 根本不在曲线上。
3 2 解:设切点坐标为 N ( x0 , 2 x0 ? 3x0 ) ,则切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 6x0 ? 3, 2 3 2 故切线方程为 y ? (6x0 ? 3) x ? 32 ,又因为点 N 在切线上,所以 2x0 ? 3x0 ? (6x0 ? 3) x0 ? 32 ,

解得 x0 ? ?2 ,所以切线方程为 y=21x+32。 注意:导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率,应注意此点是否在曲线上。 二.忽视单调性的条件致错

ax ? 1 ( a 为常数) ,在 (?1,1) 内为增函数,求实数 a 的取值范围。 x ?1 分析: 课本上给出的有关单调性的结论是: 若 f ( x ) 在 ( a, b) 上有 f ?( x ) >0, 则有 f ( x ) 在 ( a, b) 上为单调递增函数; ? 若 f ( x ) 在 ( a, b) 上有 f ( x ) < 0 ,则有 f ( x ) 在 ( a, b) 上为单调递减函数。注意这一条件只是单调的充分条件并 不是充要条件,这一充分条件也可扩大为 f ( x ) 在 ( a, b) 上有 f ?( x ) ≥0(或 f ?( x ) ≤0)且 f ?( x ) 在任一子区间上不恒 为零,则有 f ( x ) 在 ( a, b) 上为单调递增(减)函数。 a ?1 a ?1 解:由已知得 f ?( x ) = ,由题意可得 f ?( x ) = ≥0 在 (?1,1) 上恒成立, 2 2 ( x ? 1) ? x ? 1?
例 4:已知函数 f ( x) ? 即 a ? 1 ,而当 a ? 1 时, f ?( x ) =0 恒成立,所以当 a ? 1 时, f ( x ) 不是单调递增函数,所以 a>1。 三.忽视极值的存在条件致错 例 5:已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10,求 a , b 。 ? 2a ? b ? 3 ? 0, a , b 。 a , b 有两组值,是否都合题意需检验。 分析:抓住条件“在 x ? 1 处有极值 10”所包含的两个信息,列出两个方程,解得 ?

? a ? a ? b ? 1 ? 10, ? f ?(1) ? 0 解: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? ? , 根据题意可得 ,即 b2 a ? b ? 3 ? 0, ? ? a ? 4, ? a2 ? ?3, ? f (1) ? 10 解得 ? 1 ? 2 或? ? a ? a ? b ? 1 ? 10, ?b1 ? ?11, ?b2 ? 3. ? a ? 4, ? a ? ?3, ? 2a ? b ? 3 ? 0, ? a ? ?3 解得 ? 1 或? 2 而当 ? 2 时, ? 2 b ? 3 ?b1 ? ?11, ?b2 ? 3. ? a ? a ? b ? 1 ? 10, ? 2
2

四.混淆极值与最值是两个不同的概念致错

2 ?? 3 1?2 ,易得此时, f ?( x ) 在 x=1 两侧附近符号相同,不合题意。 ?a ax 3, ? a1 ? 4, ?3 f ?( x) ? ?? 6 x?3 ?23? x ? 2 ? 而当 ? 时, 解得 ? 或? b2 ? 3 ?4 ?11, ?b2 ? 3. ? 1? ab ?? ?a ? 4 1 当? 时,f ?( x) ? (3x ? 11)( x ? 1) , 此时, f ?( x ) 在 x ? 1 两侧附近符号相异, 符合题意。 所以 ? 。 a ? ? 3 ? b ? ? 11 b ? ? 11 2 ? ? 而当 时, ?1 b ? 3 注意:极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。 ? 2

例 6:求函数 f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? x 在[-3,3]上的最值。 分析:需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得,而不能简单地把极值 等同于最值。 解: f ?( x ) =3x -4x+1=(3x-1) (x-1) ,
2

所以极值点为 x=1 或 x= ?

又∵ f (1) =0, f (?1) =-4, f (?3) ? ?48, f (3) ? 12. 五.忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错 例 7:函数 f ( x) ? ( x ?1) ? 2 的极值点是(
2 3

1 。 3

所以函数最大值为 12,最小值为-48。

) C、 x ? 0
2 2

A、 x ? 1

B、 x ? ?1 或 x ? 1 或 x ? 0
2 2

D、 x ? ?1 或 x ? 1

[误解]:? f ?( x) ? 3( x ?1) ? 2 x ,即 f ?( x) ? 6x( x ?1) ,
2 2 由 f ?( x) ? 0 得 6x( x ?1) ? 0 , ∴x=0 或 x=±1 故选(B).

[正解]:由 f ?( x) ? 0 有 x=0 或 x=±1。

f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
1 0 无极值 (1,∞) + ↗

f ?( x) f ( x)

x

(–∞,0) – ↘

–1 0 无极值

(–1,0) – ↘

0 0 极值

(0,1) + ↗

故选(C)


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