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江西省铅山县第一中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题理

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铅山一中 2018—2019 学年度第一学期第一次月考高二年级 理科数学试卷
分值:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.不等式

x-1 ≥2 的解集为( x

) C.(-∞,-1] D . ( - ∞ , -

A.[-1,0) 1]∪(0,+∞)

B.[-1,+∞)

2.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) .若不等式 ( x ? a) ? ( x ? b) ? 0 的解集是 (2,3) , 则a?b ?( A. 1 ) B. 2 C. 4 ) C. y ? ex ? 4e? x D. 5

3.下列函数中,最小值为 4 的函数是( A. y ? x ?

1 x

B. y ? sin x ?

4 (0 ? x ? π) sin x

D. y ? log3 x ? 4log x 3 4.若 2 ? 2 ,则下列结论一定成立的是(
m n

) C. ln(m ? n) ? 0 D. ?
m?n

A.

1 1 ? m n

B. m | m |? n | n |

?1

5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的 近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生的 近视人数分别为( )

A.100,10

B.200,10

C.100,20

D.200,20

1

6. 在利用最小二乘法求回归方程 y =0.67x+54.9 时,用到了下面表中的 5 组数据,则表格中 a 的值为( )

?

x y

10 62

20

30 75

40 81

50 89

a

A.68

B.70

C.75

D.72

7.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车 运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 ( ) B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元

A.2000 元

8.将铅山一中参加活动的 600 名学生编号为:001,002,……600,采用系统抽样方法抽取 一个容量为 50 的样本,且 随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001

到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被 抽中的人数依次为( )

A.25,17,8

B.26, 16, 8,
x x

C.25,16,9

D.24,17,9
)

9.对任意实数 x,若不等式 4 -m·2 +1>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(-∞,2]

D.[-2,2]

x≥0, ? ? 10.若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4,
分,则 k 的值是( 7 A. 3 ) 3 B. 7

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部 3

4 C. 3

3 D. 4 )

2 11.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间

?1,5? 上有解,则实数 a 的取值范围为(
C. (1,+∞) D. (??,?1)

A. ( ?

23 ,?? ) 5

B. [ ?

23 , 1] 5

12.函数 y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,

2

其中 m>0, n>0,则 A. 3+2

1 2 ? 的最小值为( m n
B. 3+2

) C. 7 D. 11

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.不等式 2
x2 ? x

? 4 的解集为________.
b2
2 2

14.已知 a≥0,b≥0, +a =1,则 a 1+b 的最大值是________. 2 15.已知关于 x 的不等式 ________. 16.若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 满足约束条件 ?

x-a ≥0 的解集为{x|1<x≤a 或 x>2},则 a 的取值范围是 x -3x+2
2

?2 x ? y ? 6 ? 0 且最大值为 40,则 ?x ? y ? 2 ? 0

5 1 ? 的最小值为________. a b

三、解答题(写出解答过程,共 70 分) 17.(10 分)从某校随机抽取 200 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整 理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计

分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10)

频数 12 16 34 44 50

[10,12) 24 [12,14) 12 [14,16) [16,18] 4 4 200

3

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 h 的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 200 名学生该周 课外阅读时间的平均数.

18. (12 分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄 存款(年底余额)如下表: 年 份 2013 1 5 2014 2 6 2015 3 7 2016 4 8 2017 5 10

时间代号 x 储蓄存款 y/千亿元

(1)画出 y 关于 x 的散点图,并判断 y 与 x 之间是否具有线性相关关系; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程; (3)用所求回归方程预测该地区 2018 年的人民币储蓄存款.

附:回归方程 y=bx+a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx

19.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? b .
2

(1)若 f ( x) ? 0 的解集为 (?1,3) ,求 a , b 的值; (2)当 a ? 1 时,若对任意 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)当 b ? a 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 (结果用 a 表示) .

20.(12 分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每次购买原材 料需支付运费 600 元,每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需要消耗原材料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于

4

x 的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最小 值.

21.( 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x)(2 ? x) ,其中 a ? 1 ,记函数 f ( x ) 的定义域为 D . (1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ; (2)若函数 f ( x ) 的最大值为 2,求 a 的值; (3)若对于 D 内的任意实数 x ,不等式 x ? mx ? m ? 1 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

4x ? k ? 2x ?1 . 4x ? 2x ?1 (1)若对于任意的x ? R, f ( x) ? 0恒成立,求实数 k的取值范围; 22.已知函数f ( x) ? (2)若f ( x)的最小值为? 2,求实数k的值; (3)若对任意的x1 , x2 , x3 ? R, 均存在以f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )为三边长的三角形,求 实数k的取值范围。

5

铅山一中 2018—2019 学年度第一学期第一次月考高二年级 理科数学试卷答案

题号 答案

1 A

2 C 3 2 14. 4

3 C

4 B 15.(1,2)

5 D 16.

6 A

7 B

8 A

9 A

10 A

11 A

12 A

13. (?1, 2).

9 4
(3)数据的平均数为 7.68(h) (4

17. (1)0.9.(2 分) 分)

(2) a=0.085,b=0.125.(4 分)

18. (1)如图,y 与 x 具有线性相关关系. (2)y=1.2x+3.6. (3)将 x=6 代入回归方程可预测该地区 2018 年 的人民币储蓄存款为 y=1.2×6+3.6=10.8(千亿元). 19.(1) a ? 1, b ? ?3 ?2?b ?[1,??) (3)

20.(1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 千克原材料不需要保管费,第二天用掉的 400 千克原材料需保管 1 天,第三天用掉的 400 千克原材料需保管 2 天,第四天用掉的 400 千克 原材料需保管 3 天,…,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克原材 料需保管 x-1 天.∴每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用为

y1=400×0.03[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x(元).
(2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为 6x -6x+600+1.5×400x(元). 1 600 2 ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y= (6x -6x+600)+1.5×400= +6x+
2

x

x

594(元). ∴y≥2 600 600 ·6x+594=714,当且仅当 =6x.即 x=10 时,取等号.

x

x

∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最小,为 714 元.

6

21.(1)要使函数有意义:则有 ( 2 ) 因为 ,得 , , 所以

,解得-2<x<1∴ 函数的定义域 为 因 为 , 即

. 所 以 ,由

7

8



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