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(A版)数学选修2-2:1.1导数的概念及几何意义教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A 版)数学选 修 2-2 第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念及几何意义》是在学 习了函数平均变化率以后,过渡到瞬时变化率,从而得出导数的概念,再从平均 变化率的几何意义,迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的, 它深刻揭示了函数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技 术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行 高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不 等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具,它以更高的观点和更简捷的方 法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展, 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础, 具有承前启后的重要作 用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在 某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变 化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学 生认知规律的. 而在第一课时平均变化率的学习中,课本给出了一个思考,观察函数 ?y y ? f ( x) 的图像,平均变化 表示什么?这个思考为研究导数的几何意义埋下 ?x 了伏笔。因此,在将瞬时变化率定义为导数之后,立即让学生继续探索导数的几 何意义,学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标 会从数值逼近、几何直观感知,解析式抽象三个角度认识导数的含义,应用 导数的定义求简单函数在某点处的导数,掌握求导数的基本步骤,初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会 逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 经历数学发现过程,感受数学研究方法,提升数学学习兴趣和信念,应用图 形计算器进行数学实验中改善数学学习的方法。 教学重点 导数概念的建构及用定义求导数的方法。 教学难点 导数的几何解释及切线概念的形成。 教学策略分析 采用“教师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式.课堂教学始 终贯彻“教师为主导、学生为主体,探究为主线,思维为核心”的教学思想. 利用数学实验室,学生更好的进行合作探究活动,借助图形计算器让学生通 过计算亲身体验,同时借助多媒体动态演示,让学生感受逼近的思想方法。 从去年南京宝马车肇事案,介绍南京交警如何对小车进行测速,提高学生对 求瞬时速度的兴趣欲望,以已知探求未知,激发学生的学习热情;引导学生自主 操作数值逼近求出瞬时速度,从而得到导数的定义,注重抽象概念不同意义间的 转换,再从惠普图形计算器的一个动态演示,让学生探索出导数的几何意义。 教学过程设计 一、设置问题情境 生活中有一些现象值得我们去研究,比如,子弹离开枪管那一瞬间的速度, 奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。 科学上对瞬时速度的研究也 是非常有必要的,比如在天宫一号与神州八号的成功对接,最关键的就是它们每 个瞬间的速度都相等。 (设计意图:自然引出瞬时速度的定义,激发学生对瞬时速度的求知欲) 而在去年 6 月份, 震惊全国的南京宝马车肇事案中, 车辆经过事发路口时候, 车速达 195.2km/h。南京交警是怎么鉴定这个速度的呢?从一份鉴定报告书中, 我们可以看到,监控视频的两次抓拍的过程中,汽车移动的距离是 3.615m,时 1 间间隔为 s。通过计算,发现交警鉴定的速度是用位移除以时间。那么,交警 15 的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗?为什么? (设计意图:引导学生,当时间间隔非常小,平均速度与瞬时速度就极为 接近,从而为探求瞬时速度埋下伏笔) 二、问题情境,数学探究 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度为 h(单位:m)与起跳后的 时间 t(单位:s )存在函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10,求t=2 时的瞬时速度。 问题 1、能否借助南京交警的测速方法,来解决这个问题? (设计意图:引导学生由已知探求未知,激发学生学习热情) t 在[2,2.1],[2,2.01],[2,2.001]内的平均速度分别是多少? 要使得到的瞬时速度更精确,时间的间隔就要很小,那繁琐的计算,能否引 进一个量,使其得到简化? h(2 ? ?t ) ? h(2) 以上三个式子可以统一写成 v ? ?t (设计意图: 注重数学思想方法的渗透, 将复杂计算引入变量可以化成简单统一) Δ t 的取值可正可负。用计算器动手实践,完成:Δ t=0.1,0.01,0.001, _ 0.0001,0.00001 及Δ t=-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001 时, 即在区间[2,2+Δ t]内所对应该的平均速度 v 。 通过计算器的终端控制系统,读取学生的实验结果。 (利用图形计算器,让学生更深刻的感受到数值的逼近) 问题 2、当Δ t 趋于 0 时,平均速度有怎样的变化趋势? 学生通过观察发现:在 t=2 时刻,Δ t 趋于 0 时,平均速度趋于一个确定的 值-13.1。 总结:这个确定的值即瞬时速度,为了更明确的表述趋近的过程,可用极限的 h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t 思想来表示,即 ?t ?0 lim (设计意图,利用极限思想,将函数表达式抽象化) 三、模型建构 问题 3、如果将以上问题中的函数用 f ( x) 来表示,那么函数 f ( x) 在 x ? x0 处 的瞬时变化率该如何表示呢 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ?


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