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长沙市一中教案


§3.3.2 函数的极值与导数(2 课时)
教学目标:
1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤;

教学重点:
极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点:
对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

教学过程:
一.创设情景 问题 1:函数的单调性与导数有何关系? 导数 f ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.在 x ? x0 处, f ( x0 ) ? 0 ,切
' '

线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增;在 x ? x1 处, f ( x0 ) ? 0 ,
'

切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 (a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;
'

如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
'

说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.
'

问题 2:求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
' '

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 二.新课讲授 问题 3:观察图 3.3-8,我们发现, t ? a 时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函 数 h (t ) 在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地, 导数的符号有什么 变化规律? 放大 t ? a 附近函数 h (t ) 的图像,如图 3.3-9.可以看出 h?(a ) ;在 t ? a ,当 t ? a 时, 函数 h (t ) 单调递增, h?(t ) ? 0 ;当 t ? a 时,函数 h (t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ;这就说明, 在 t ? a 附近,函数值先增( t ? a , h?(t ) ? 0 )后减( t ? a , h?(t ) ? 0 ) .这样,当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 .

问题 4:对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢?

定义:
1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) <f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)> f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是 就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断 极值点的关键是这点两侧的导数异号 三.典例分析
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例 1. (课本例 4)求 f ? x ? ? 解: 因为 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3

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1 3 x ? 4 x ? 4 ,所以 3 f ' ? x ? ? x 2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 。
f ' ? x ? ? 0, x ? 2, x ? ?2

下面分两种情况讨论: (1)当 f
'

? x ? >0,即 x ? 2 ,或 x ? ?2 时; ' (2)当 f ? x ? <0,即 ?2 ? x ? 2 时. ' 当 x 变化时, f ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表: x -2 (-2,2) ? ??, 2 ?
y?
+ ↗ 0 极大值 -

2 0

? 2, ?? ?
+

y

28 3



极小值 ?

4 3



因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 f (?2) ? 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ? 函数 f ? x ? ?

28 ; 3

4 。 3

1 3 x ? 4 x ? 4 的图像如图所示。 3
y 1 f(x)= x3-4x+4 3

2 -2
O

x

例 2 求 y=(x2-1)3+1 的极值 解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2 令 y′=0 解得 x1=-1,x2=0,x3=1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表
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x y?
y

? ??, ?1?
- ↘

-1 0 无极值

(-1,0) - ↘

0 0 极小值 0

(0,1) + ↗

1 0 无极值

?1, ?? ?
+ ↗

∴当 x=0 时,y 有极小值且 y 极小值=0 y

f?x? = ?x2-1?3+1

-1

O

1
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x

极大值与极小值统称为极值 注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比 较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x 0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x 0 是 f (x) 的极值点,
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f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是 f (x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足 “左负右正” 则 x 0 是 f (x) 的极小值点,f ( x0 ) ,
是极小值 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负, 那么 f(x)在这个根处无极值 如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点
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例1. 已知f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx(a ? 0)在x ? ?1时取得极值,且f (1) ? ?1. (1)求常数 、b、c的值; a (2)判断x ? ?1分别是极大值点还是极 小值点?

例2.已知f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx在点x 0 处取得极大值,其导函 f ' ( x )的图像经过点1,), , 数 ( 0 (2 0 如图,求()x 0的值;( )a、b、c的值. 1 2

y

O 1
例3. 若f ( x ) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 1既有极大值,又有极小 .求a的取值范围 值 .

2 x

四、巩固练习: 1.求下列函数的极值. (1)y=x2-7x+6 (2)y=x3-27x (1)解:y′=(x2-7x+6)′=2x-7 令 y′=0,解得 x=

7 . 2
7? ? ? ??, ? 2? ?

当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表.

x
y?

7 2

?7 ? ? , ?? ? ?2 ?

- ↘

0 极小值 ?

+

y
∴当 x=

25 4



(2)解:y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3) 令 y′=0,解得 x1=-3,x2=3. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表.

7 25 时,y 有极小值,且 y 极小值=- . 2 4

x
y?

? ??, ?3?
+ ↗

-3 0 极大值 54

(-3,3) - ↘

3 0 极小值-54

? 3, ?? ?
+ ↗

y

∴当 x=-3 时,y 有极大值,且 y 极大值=54. 当 x=3 时,y 有极小值,且 y 极小值=-54
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练习: (1)已知函数 f (x)=x3+ax2+bx+c,且知当 x=-1 时取得极大值 7,当 x=3 时
取得极小值,试求函数 f (x)的极小值,并求 a、b、c 的值

(2) 已知f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? 2 x在x ? ?2,x ? 1处取得极值 . (1)求f ( x )的解析式; (2)求f ( x )的单调区间 .
五、教学总结 : 1.函数的极大、极小值的定义以及判别方法. 2.求可导函数 f(x)的极值的三个步骤. 3.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值, 且要在这点处连续. 4.可导函数极值点的导数为 0,但导数为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是 否异号. 5.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业: 习案与学案
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