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鄂州高中2012年自主招生考试数学试题


鄂州高中 2012 年自主招生考试数学试题

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的) 1、 若不等式组 ?

?x + 7 < 4x ? 2 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是 ?x > m

A、m>3 B、m≥3 C、m≤3 D、m<3 2、在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC= A、 2 + 3 B、 2 ? 3 C、0.3 D、 3 ?

2
C A D P B

3、如图, AB 为⊙O 的一固定直径,自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB, ∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A、B 两点) 上移动时,点 P A、到 CD 的距离不变 B、位置不变 C、等分 DB 弧 D、随 C 点的移动而移动。 4、已知 y = 的差为 A、 2 2 ? 1 B、 4 ? 2 2 C、 3 ? 2 2 D、 2 2 ? 2

O

x ? 1 + 5 ? x (x、y 均为实数) y 的最大值与最小值 ,则

5、已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面圆上一点,点 P 在 OM 上。一只蜗牛从 P 点出发, 绕圆锥侧面爬行,回到 P 时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿 OM 将圆锥侧面剪开 并展平,所得侧面展开图是 O O O P M A O M’ M O B M’ M

P

P

P M C M’ M

P M’ D

6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头

方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共 转了 A、6 圈 B、6.5 圈 C、78 圈 D、8 圈 7、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,现有以下结论: ① abc > 0 ; ③ 4a + 2b + c > 0 ; ②b < a + c ; ④ 2c < 3b ; -1 0 1 2 3 x y

⑤ a + b > m( am + b), ( m ≠ 1) .其中正确的结论有

A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 8、如图,正△ABC 中,P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,连结 AP、BP、CP,如果 S ?APF + S ?BPE + S ?PCD = A、1 B、 3 C、2 D、

3 3 ,那么△ABC 的内切圆半径为 2
E

A

3 2
B

F P D C

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)

9、 如图, 如果

炮 所在位置的坐标为(-1,-2) , 士 相 所

炮 在位置是(2,-2) ,那么 所在位置的坐标是 士 帅 相

10、某商场经销某种商品,由于进货价降低了 8%,利润率提高了 10%,则这种商品的原利 。 (用百分数作答) (进货价×利润率=利润) 润率是 11、 钟表的轴心到分针针端的长为 5cm,那么经过 40 分钟,分针针端转过的弧长是 . 12、下图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案,图案(1)需要 4 根小棒,图案(2) 需要 10 根小棒,……按此规律摆下去,则图案(n)需要小棒根(用含有 n 的代数式表示) 。

(1)

(2)

(3)

(4)

13、 “上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如 34,568,2469 等) ,任取一 个两位数,是“上升数”的概率是 。 14 、 [a] 表 示 不 大 于 a 的 最 大 整 数 , {a}=a - [a] , 设 a= [

1 1 ] , b= { } ,则 3? 7 3? 7

a2+(1+ 7 )ab=

.

15、已知函数 y = f ( x ) =

1
3

( x + 1) + x 2 + x + 3 x 2
2 3

,则 f(1)+f(2)+ ……+f(511)=

.

16、 已知两组数 3,7,11,15, …和 5,8,11,14, …有许多相同的数, 11 是它们第一个相同的数, 如 。 那么它们的第 20 个相同的数是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17、 分)为了解我市 3 路公共汽车的运营情况,公交部 (8 频数 门随机统计了某天 3 路公共汽车每个运行班次的载客量, 22 得到如下频数分布直方图。如果以各组的组中值代表各组 20 实际数据,请分析统计数据完成下列问题。 18 (1)找出这天载客量的中位数,说明这个中位数的意义; 16 14 (2)估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少? 12 (3)计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的 10 百分数。 8 6 (注:一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平 4 均数) 2 载客量/人 0 10 30 50 70 90 110 130 18、 分) (8 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=25 有公共点, 且仅当 ?

1 1 < x < 时抛物线在 x 轴上方,求 a、b、c 2 3

C

的取值范围。 19、 (10 分)如图,已知在△ABC 中,D 是 AB 中点,

4 ,求 sinA。 5 k 20、 分) (10 如图, P 是双曲线 y = 1 ( k1 < 0, x < 0) 点 x
DC⊥AC,cos∠DCB=

A

D

B

上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,交双曲线

y=

k2 (0 < k 2 <| k1 |) 于 E、F 两点。 x

(1)图①中,四边形 PEOF 的面积 S1 为多少?(用含 k1、k2 的式子表示。直接写出结论,不需 过程) (2)设 P 点坐标为(-4,3) 。 ①判断 EF 与 AB 的位置关系,并证明你的结论; ②记 S2=S△PEF-S△OEF,S2 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。 y y P A O E ① B P x A O E ② B

F

F x

21、 (10 分)当-1≤x≤2 时,求函数 y = f ( x) = 2 x 2 ? 4ax + a 2 + 2a + 2 的最小值,并求最 小值为-1 时,a 的所有可能的值。

22、 (10 分)等腰直角△ABC 和⊙O 如图放置,已知 AB=BC=1, ∠ABC=90°, ⊙O 的半径 为 1,圆心 O 与直线 AB 的距离为 5,现△ABC 以每秒 2 个单位的速度向右移动,同时△ABC 的边长 AB、BC 又以每秒 0.5 个单位沿 BA、BC 方向增大。 (1)当△ABC 的边(BC 边除外)与圆第一次相切时,点 B 移动了多少距离? (2)若在△ABC 移动的同时,⊙O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动,则△ABC 从开始移 动,到它的边与圆最后一次相切,一共经过了多少时间? (3)在(2)的条件下,是否存在某一时刻,△ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积? 若存在,求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间;若不存在,请说明理由。

A B C O



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