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第3课时基本不等式学生


泰州市田家炳实验中学高三数学文科一轮

9.3 基本不等式 考情分析 (1) 掌握基本不等式, (2) 能利用基本不等式推导不等式, (3) 能利用基本不等式求最大(小)值. 知识回顾 1.算术平均数与几何平均数 对于正数 a,b,我们把 2.基本不等式 ab≤ 称为 a,b 的算术平均数, 称为 a,b 的几何平均数.

a+b
2 . 时取等号. 其几何平均数.

(1)基本不等式成立的条件: (2)等号成立的条件:当且仅当 (3)结论:两个正数 a,b 的算术平均数 变形公式:

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? (a, b ? R, 当且仅当a ? b时,等号成立) (1) ab ? ( 2 2
(2) ab ?

a ?b a 2 ? b2 ? (a, b ? R ? ,当且仅当a ? b时,等号成立) 2 2

3.运用基本不等式求函数的最大值、最小值 对于正数 a,b, (1)和 a+b 一定时,积 ab 有最 (2)积 ab 一定时,和 a+b 有最 值,用基本不等式的变形式 值,用基本不等式的变形式 ; .

总结:和定____________;积定________________. 注:1、不等式常用来求最小值、最大值;求最值时,一定要注意“一正二定三相等” ,三 者缺一不可。 2、使用基本不等式求最值时,要注意观察收集题目中的数学信息(正数、定值等) ,然后变 形,配凑出基本不等式的条件。 3、使用基本不等式求最值,如果等号成立的条件不成立,就说明不能取到该最值,必须寻 找另外的方法(如:函数的单调性和数形结合等)求最值。 4、拓展:若 a>0,b>0 时, 练习 1 1.若 x 为正数,则 x+ 的最小值为________. x 2.已知 a,b∈(0,+∞),a+b=1,则 ab 的最大值为________. 1 4? 3.设 x,y 为正数,则(x+y)? ? x+y?的最小值为________. a+b ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 + a b 2 a2+b2 ,当且仅当 a=b 时等号成立. 2

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2 4.若 x<0,则 x+ 的取值范围是________. x 5 3 5.已知 + =1(x>0,y>0),则 xy 的最小值为________. x y

? 5.已知函数 f(x)=x+

a (x>2)的图象过点 A(3,7),则此函数的最小值是________. x-2

经典例题 题型 1 利用基本不等式证明不等式 1 1 4 例 1 已知 x>0,y>0,求证: + ≥ . x y x+ y

? 变式训练1
1 1 4 (1) 若 a>b>c,求证: + ≥ ; a-b b-c a-c 1 1 k (2) 若 a>b>c,求使得 + ≥ 恒成立的 k 的最大值. a-b b-c a-c

变式训练 2 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9.

a b c

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题型 2 利用基本不等式求最值 例2 (1) 若 x ? 1, 求y ? x ?

1 的最小值 x ?1

5 1 (2) 已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 1 9 (3) 已知 x>0,y>0 且 + =1,求 x+y 的最小值. x y

变式训练 3: (1) 当x ?

3 8 时,求函数y ? x ? 的最大值. 2 2x ? 3

3 (2)求 t= +a 的取值范围; a-4 8 2 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值. x y

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题型 3 利用基本不等式解应用题 例 3 如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面用 钢筋网围成. (1) 有可围成 36m 长的材料, 每间虎笼的长、 宽各设计为多少时, 可使每间虎笼的面积最大? (2) 若使每间虎笼的面积为 24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成的四间虎 笼的钢筋网总长最小?

学生质疑:

教师答疑:

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第 3 课时 基本不等式作业 班级_______________姓名_________________等级___________ 5 1 1. 已知 x> ,求函数 y=4x+ 的最小值. 4 4x-5

p 2. 已知函数 f(x)=x+ (p 为常数且 p>0),若 f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为 4,求实 x-1 数 p 的值.

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=________. x-2 x y + 4. 已知 x、y∈R ,且满足 + =1,求 xy 的最大值. 3 4 3. 若函数 f(x)=x+

1 4 5.已知 a>0,b>0,a+b=2,求 y= + 的最小值. a b

6.若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,求 x+y 的最大值.

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7. 以下命题中正确的是________(填序号). ①若 a2+b2=8,则 ab 的最大值为 4;②若 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 ab 的最大值为 4; 1 1 2a ③若 a>0,b>0,且 a+b=4,则 + 的最小值为 1;④若 a>0,则 2 的最小值为 1. a b a +1

8. 一批材料可以建成 200m 长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地, 中间隔成 3 个面积相等的矩形(如图),求围成的矩形最大总面积.

(第 8 题图)

9. (2011· 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元,若每批生产 x 件, x 则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准 8 备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品多少件?

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10. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD, 公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000m2,人行道 的宽分别为 4m 和 10m.求: (1) 若设休闲区的长 A1B1=xm,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式; (2) 要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?

(第 10 题图)

11. 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽车 920v 的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为:y= 2 (v>0). v +3v+1 600 (1) 在该时段内, 当汽车的平均速度 v 为多少时, 车流量最大?最大车流量为多少?(保留分 数形式) (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

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