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北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步5平行关系第2课时平行关系的性质课件_图文

第2课时 平行关系的性质 [核心必知] 1.直线与平面平行的性质 2.平面与平面平行的性质 [问题思考] 1.若直线l与平面α 平行,可否认为l与平面α 内的任意一 条直线都平行? 提示:不可.根据线面平行的性质定理,l与过直线l的 平面与α的交线平行. 2.若平面γ ∩β =a,γ ∩α =b,则a、b的位置关系是什么? 提示:平行或相交:当β∥α时,由面面平行的性质定理知 a∥b;当α与β相交时,a与b相交或平行. 3.如果两个平面平行,那么分别位于两个平面内的直线也互相 平行,这句话对吗?为什么? 提示:不对,因为这两个平面平行,那么位于两个平面内的 直线没有公共点,它们平行或异面. 讲一讲 1. ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M 是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平 面BDM于GH.求证:AP∥GH. [尝试解答] 连接AC交BD于O,连接MO, ∵ABCD是平行四边形, ∴O是AC中点. 又M是PC的中点,∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理, 则有PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理,∴PA∥GH. 线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重 要依据,解题时要注意把握.当证明了直线平行于平 面后,再过该直线作平面与已知平面相交,得交线与 已知直线平行.具体方法如下:线线平行 面平行 线线平行. 线 练一练 讲一讲 2.如图,已知平面 α∥β,P?α 且 P?β,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、D,且 PA=6,AC=9,PD=8, 求 BD 的长. [尝试解答] 因为 AC∩BD=P, 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD, 因为 α∥β, α∩平面 PCD=AB, β∩平面 PCD=CD, 所以 AB∥CD. 6 8-BD PA PB 所以 = ,即 = . AC BD 9 BD 24 所以 BD= . 5 由面面平行得到线线平行,进而由成比例线段得解, 体现了立体几何与平面几何间的转化关系.另外,面面平 行还有许多性质,如要证明线面平行,可先证面面平行, 再由性质证得. 练一练 2.如图所示,设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线 段,且直线AB,CD为异面直线,M,P分别为AB,CD的中 点.求证:直线MP∥平面β. 证明: 过点 A 作 AE∥CD 交平面 β 于 E, 连接 DE, BE, ∵AE∥CD,∴AE、CD 确定一个平面,设为 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=DE. 由于 α∥β,∴AC∥DE(面面平行的性质定理) 取 AE 中点 N,连接 NP,MN, ∵M、P 分别为 AB、CD 的中点, ∴NP∥DE,MN∥BE. 又 NP β,DE β,MN β,BE β, ∴NP∥β,MN∥β. 又 NP∩MN=N,∴平面 MNP∥β. ∵MP 平面 MNP,∴MP∥β. 讲一讲 3. 如右图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M, N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l. (1)求证:l∥BC; (2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论. [尝试解答] BC 平面 PBC, (1)证明: 因为 AD∥BC, AD 平面 PBC, 所以 AD∥平面 PBC. 又因为平面 PBC∩平面 PAD=l, (2)平行.证明如下:设 Q 是 CD 的中点,连接 NQ, MQ, 所以 l∥AD∥BC. 因为 M,N 分别是 AB,PC 的中点, 所以 MQ∥AD,NQ∥PD. 而 MQ∩NQ=Q, AD∩PD=D, 所以平面 MNQ ∥平面 PAD. 因为 MN 平面 MNQ,所以 MN∥平面 PAD. 练一练 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1, AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中 点.求证:MN∥平面A1CD. 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC, SG为△SAB上的高,D,E,F分别是AC,BC,SC的中点, 试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明. 1.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,那么这n条直线 中与直线a平行的( A.至少有一条 C.有且只有一条 ) B.至多有一条 D.没有 解析:设α内n条直线的交点为A,则过A有且仅有一条直线l 与a平行,当l在这n条直线中时,有一条与a平行,而当l不在 这n条直线中时,n条相交于A的直线都不与a平行. ∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行. 答案:B 2. 若平面α∥平面β,直线a α,点B∈β,则在β内过点B 的所有直线中( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 解析:直线a与点B确定一个平面.这个平面与β有公 共点B,则这两个平面就有一条通过B点的直线l,而 由两平面平行的性质定理得l∥a. 答案:D 3.设m,n为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的 平面,则下列四个命题中为真命题的是( A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β C.若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β D.若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n ) 解析:A中m与n与同一平面平行,m,n还可能相交或异 面;B中α与β可能相交;C中α与β可能相交,只有D正 确. 答案:D 4.如图所示,在空间四边形ABCD中,M∈AB, N是AD的中点,若MN∥平面BDC,则AM∶MB =________. 解析:∵MN∥平面 BDC,MN 平面 ABD, 平面 ABD∩平面 BDC=BD,∴MN∥BD. 又∵N 是 AD 的中点, ∴M 是 A


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