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高中数学课件 函数、导数、积分


第1讲 函数及其表示
【2013年高考会这样考】
1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求解. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数. 3.考查简单的分段函数,并能简单应用.

抓住3个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.函数的基本概念 数集 ,如果按照某种确 (1)函数的定义:设A,B是非空的_____

任意 一个数x,在集合 定的对应关系f,使对于集合A中的_____ 唯一确定的数f(x) 和它对应,那么就称f:A→B B中都有_________________ y=f(x) ,x∈A. 为从集合A到集合B的一个函数,记作_______ (2)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫

定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函 做函数的_______ 值域 显然,值域是集合 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____
B的子集.
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定义域 、_____ 值域 和_________ 对应法则 . (3)函数的三要素:_______ 定义域 和_________ 对应关系 完全一 (4)相等函数:如果两个函数的_______ 致,那么这两个函数相等,这是判断两个函数相等的依

据.
(5)函数的表示法. 解析法 、_______ 图象法 、_______ 列表法 . 表示函数的常用方法有:_______ 2.分段函数 对应关系 不同而分 若函数在其定义域的不同子集上,因_________ 别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分 段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
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3.映射的概念 设A、B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系 都有唯 f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中________ ___ 一 确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集 一个映射 . 合A到集合B的_________

抓住3个考点

突破3个考向

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【助学· 微博】 一种方法 求复合函数定义域的方法 (1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定

义域由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]时的值域.

两个防范
(1)解决函数的任意问题,把求函数的定义域放在首位, 即遵循“定义域优先”的原则. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.
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考点自测
1.(人教A版教材习题改编)下列各对函数中,表示同一函 数的是 A.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x x+1 B.f(x)=lg ,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1) x-1 ( ).

C.f(u)=

1+u ,g(v)= 1-u

1+v 1-v

D.f(x)=( x)2,g(x)= x2
答案 C

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2.已知 a,b 为实数,集合

?b ? M=?a,1?,N={a,0},f:x→x ? ?

表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于 ( ).

A.-1 解析 =1. 答案 B

B.1

C.0

D.±1

由集合性质结合已知条件可得a=1,b=0,∴a+b

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3.(2012· 江西)若函数

2 ? x ? +1,x≤1, f(x)=? ? ?lg x,x>1,

则 f(f(10))=

A.lg 101
解析 答案 B

B.2

C.1

D.0

f(10)=lg 10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.

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4.(2013· 杭州模拟)函数 y= 16-4x的值域是

(

).

A.[0,+∞)

B.[0,4]

C.[0,4)

D.(0,4)

解析

由已知得 0≤16-4x<16,0≤ 16-4x< 16=4,

即函数 y= 16-4x的值域是[0,4),选 C. 答案 C

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5.(2012· 江苏)函数 f(x)= 1-2log6 x的定义域为 ________.
? ?1-2log6x≥0, ? ? ?x>0

解 析

由 题 意 , 知

?

2 ? ?log6x ≤1=log66, ? ? ?x>0

?0<x≤ 6,所以函数 f(x)的定义

域为(0, 6].
答案 (0, 6]

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热点突破3——函数新定义问题
【命题研究】 以高等数学知识为背景的新定义问题是近 几年来高考命题的热点,在近年的高考题中常能找到 它的影子,如2012年福建卷第10题、2012年湖北卷第7 题等.此类试题着重考查考生的阅读理解能力、分析

问题和解决问题的能力,求解时可通过选取满足题设
条件的特殊函数,化抽象为直观,使得此类问题得以 突破.预测2014年高考仍会有函数新定义题出现.

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【真题探究】? (2012· 湖北)定义在(-∞,0)∪(0,+∞) 上的函数 f(x), 如果对于任意给定的等比数列{an}, {f(an)} 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有 定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2; ②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为(
A.①② B.③④ C.①③ D.②④

).

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[教你审题] 本题是一道自主定义的新函数试题,如果“单

刀直入,强行突破”,解题过程会很繁杂,因此,我们可
以选择对四个选项中的函数逐一推理论证,看其是否满足 “保等比数列函数”的定义(见法一);也可以利用问题在某 一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,对 所给函数选取特殊值进行验证(见法二).

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[解法] 法一 设数列{an}的公比为 q(q≠0).对于①, f?an+1? a2 n+ 1 = 2 = q2 ,是常数,故①符合条件;对于②, an f?an? f?an+1? 2an+1 = =2an+1-an, 不是常数, 故②不符合条件; 2 a f?an? n ?an+1? f?an+1? |an+1| ? ? 对于③, = = = |q|,是常数, ? ? f?an? |an| ? an ? f?an+1? ln|an+1| 故③符合条件;对于④, = =log|an||an+1|, ln|an| f?an? 不是常数,故④不符合条件. 由“保等比数列函数”的定义,知选 C.

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法二

取x为1,2,4,则1,2,4成等比数列;对于函数f(x)=

2x,有f(1)=2,f(2)=22,f(4)=24,所以f(1)· f(4)≠[f(2)]2, 故函数f(x)=2x不是“保等比数列函数”,可排除A,D;对 于函数f(x)=ln|x|,有f(1)=0,f(2)=ln 2,f(4)=ln 4,所 以f(1)· f(4)≠[f(2)]2,故函数f(x)=ln|x|不是“保等比数列函数

”,可排除B.应选C.
答案 C

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[反思] (1)本题以等比数列与基本初等函数知识为背景,给
出了一个新的概念“保等比数列函数”,把函数与数列两知 识块自然地融合在一起,考查了灵活运用数学知识分析问

题和解决问题的能力.
(2)求解新定义问题的关键是读懂新定义的意义,并将其 运用到新的情境中.对特殊值的敏感,对已知选项的理 解,可从中提取有效的信息.特殊值的选定,一要典型, 能定性说明问题;二要简单,便于推理运算.

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第2讲 函数的单调性与最值
【2014年高考会这样考】 1.考查求函数单调性和最值的基本方法. 2.利用函数的单调性求单调区间. 3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.

4.函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比
较大小、解不等式等相关问题.

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考点梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2 定 f(x1)<f(x2) , 义 当x1<x2时,都有_________ 那么就说函数f(x)在区间D上 是增函数 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) , _____________ 那么就说函数f(x) 在区间D上是减函 数
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图象 描述 上升的 自左向右看图象是 自左向右看图象是_______ 下降的 _______
(2)单调区间的定义 增函数 或_______ 减函数,则称函数f(x) 若函数f(x)在区间D上是_______ 区间D 叫做y=f(x)的单 在这一区间具有(严格的)单调性,_______ 调区间.

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2.函数的最值

前提

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足

条件

(1)对于任意x∈I,都 f(x)≤M ; 有___________ (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M ___________. M为最大值

(3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ___________ ; (4)存在x0∈I,使得 f(x0)=M . ___________ M为最小值

结论

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【助学· 微博】 一个防范
单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如 有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结,也不能 用“或”联结.

两种形式
设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么
f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 ② (x1 - x2)[f(x1) - f(x2)]>0?f(x) 在 [a, b] 上是增函数; (x1 - x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数.
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两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函 数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

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考点自测
1.已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则
A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)

(

).

C.f(-2)<f(1)<f(3)
解析

D.f(3)<f(1)<f(-2)

因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以

a>1,f(1)<f(2)<f(3).又函数f(x)=loga|x|为偶函数,所以

f(2)=f(-2),所以f(1)<f(-2)<f(3).
答案 B

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2.(2013· 西安调研)设f(x)为定义在R上的奇函数,且当 x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值

( A.恒为正值
C.恒为负值 解析

).

B.恒等于零
D.无法确定正负

f(x)为奇函数且x≥0时f(x)为减函数,故f(x)在R上

是减函数,由x1+x2>0,得x1>-x2,故f(x1)<f(-x2),即
f(x1)-f(-x2)<0,即f(x1)+f(x2)<0. 答案 C

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3.(2012· 广东)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的 是
A.y=ln(x+2)
?1?x C.y=?2? ? ?

(
B.y=- x+1 1 D.y=x+x

).

解析

采用验证法,易知函数y=ln(x+2)在(-2,

+∞)上是增函数,因此在(0,+∞)上是增函数,故

选A.
答案 A

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4.(2013· 金华模拟)若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)= (a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 ( A.(-1,0) C.(0,1) 解析 B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1] ).

f(x)=-x2+2ax的对称轴为x=a,要使f(x)在[1,2]

上为减函数,必须有a≤1,又g(x)=(a+1)1-x在[1,2]上是 减函数,所以a+1>1,即a>0,故0<a≤1. 答案 D

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2x 5.(人教 A 教材习题改编)函数 f(x)= 在[1,2]的最大 x+ 1 值和最小值分别是________. 2?x+1?-2 2x 2 解析 f(x) = = =2- 在 [1,2] 上是增 x+1 x+1 x+1
4 函数,∴f(x)max=f(2)= ,f(x)min=f(1)=1. 3 4 答案 ,1 3

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规范解答1——利用函数的单调性求参数的范围
【命题研究】 从近三年的高考试题来看,函数单调性的 判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型 既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高; 客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简 单应用,主观题在考查基本概念、重要方法的基础

上,又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分
类讨论的思想方法.

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预测2014年高考仍将以利用导数求函数的单调区间,研究
单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考 点,重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

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【真题探究】? (本小题满分 13 分)(2011· 北京)已知函数 f(x) x =(x-k) ek.
2

(1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对于任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取 e 值范围.

[教你审题] (1)根据导函数大于零和小于零即可得出函数的 单调区间,但求解过程中要注意对参数k进行分类讨论.
1 (2)利用函数单调性求出函数最大值 f(x)max, 使 f(x)max≤ 即 e 可解出 k 的取值范围.
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1 2 2 x [规范解答] (1)f′(x)=k(x -k )ek. 令 f′(x)=0,得 x=± k.(2 分) 当 k>0 时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下:

x f′(x) f(x)

(-∞,-k) +

-k 0 4k2e-1

(-k,k) -

k (k,+∞) 0 0 +

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所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞),单调
递减区间是(-k,k).(4分) 当k<0时,f(x)与f′(x)的变化情况如下: x f′(x) f ( x) (-∞,-k) k (k,-k) - 0 0 + -k 0 4k2e-1 (-k,+∞) -

所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞),单调 递增区间是(k,-k).(6分)
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k+1 1 (2)当 k>0 时,因为 f(k+1)=e k > , e 1 所以不会有?x∈(0,+∞),f(x)≤ .(8 分) e 当 k<0 时,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上的最大值是 f(-k)= 4k2 .(10 分) e 1 4k2 1 所以?x∈(0,+∞),f(x)≤ 等价于 f(-k)= ≤ , e e e 1 解得- ≤k<0.(12 分) 2 ? 1 ? 1 故当?x∈(0, +∞), f(x)≤ 时, k 的取值范围是?-2,0?.(13 e ? ? 分)

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[阅卷老师手记] (1)导数法是研究函数单调性的重要工具, 利用导数研究函数单调性应注意三个方面:一是求导之后 函数的定义域可能会发生变化,要在函数的定义域内分析 导函数的符号;二是若求函数的单调区间可直接转化为 f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集求解,若函数在区间M上的单调

递增(递减),则应转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间M上的恒
成立问题求解;三是当含有参数时,要注意对参数的取值 范围进行分类讨论.

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(2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将?x∈(0,+∞) 1 1 都有 f(x)≤ 转化为当 x∈(0,+∞)时有 f(x)max≤ ,利用函 e e 数单调性求函数最值,通过解不等式求得 k 的取值范围.

(3)利用导数法求解函数最值的实质是利用函数的单调性

确定最值.应该注意三个问题:一是在利用导函数判断函
数单调性时要注意函数定义域;二是准确求导;三是要注 意极值与最值的区别.

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第一步:求函数的定义域.若题设中有对数函数
一定先求定义域,若题设中有三次函数、指数函数可不考 虑定义域. 第二步:求函数f(x)的导数f′(x),并令f′(x)=0,求其根. 第三步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次

将定义域分成若干个小开区间,并列表.
第四步:由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区 间内的单调性;求极值、最值. 第五步:将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a, 解不等式求参数的取值范围. 第六步:明确规范地表述结论.
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第3讲 函数的奇偶性与周期性

【2014年高考会这样考】
1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 4.对三种性质的综合考查;借助函数图象解决问题

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考点梳理
1.奇、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. ____________
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. ______________ y轴 对 原点 对称;偶函数的图象关于_____ 奇函数的图象关于_____
称.

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2.奇、偶函数的性质

相同 ,偶函 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 相反 . 数在关于原点对称的区间上的单调性_____
(2)在公共定义域内

奇函数 ,两个奇函数的积是 ①两个奇函数的和是_______ 偶函数 ; _________
偶函数 ; ②两个偶函数的和、积都是_______ 奇函数 . ③一个奇函数和一个偶函数的积是_______

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3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 f(x+T)=f(x) , T,使得当x取定义域内的任何值时,都有____________

那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周
期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 ______________ 最小正周期.

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【助学· 微博】 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充

分条件.
两个性质 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.

(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公
共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇.
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三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a +x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)= f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是以2(b-a)为周期的周期函

数.
(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其 中一个周期为T=2|a-b|.

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考点自测
1.(2013· 徐州模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)= ( ).

A.-1
解析

B.1

C.-2

D.2

由于f(x)的周期为5,∴f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1).

又f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=

-2+1=-1,即f(3)-f(4)=-1.
答案 A

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2.(2011· 广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函

数,则下列结论恒成立的是 A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析 答案

(

).

由题知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),显然f(-x)+ A

|g(-x)|=f(x)+|g(x)|.

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3.(2012· 山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当 -3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)= x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)= A.335 B.338 C.1 678 ( D.2 012 ).

解析

由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-

3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0) =f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有f(1)+

f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)+
…+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338,故 选B. 答案 B
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4.(2012· 浙江)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶 函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f
解析 当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],
?3? ? ?=________. ?2?

又 f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=1-x. ∵f(x)在 R 上的周期为 2, ∴f
?3? ?3 ? ? 1? ? 1? 3 ? ?=f ? -2?=f ?- ?=1-?- ?= . ?2? ?2 ? ? 2? ? 2? 2

答案

3 2

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5.(2013· 开封模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若 当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值

范围是________.
解析 画草图,由f(x)为奇函数

的性质知:f(x)>0的x的取值范
围:(-1,0)∪(1,+∞). 答案 (-1,0)∪(1,+∞)

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热点突破4——函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题
【命题研究】 通过对近三年高考试题的分析可以看出, 考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质,而是综

合考查,所以需要对函数的各个性质非常熟悉,并能
结合函数图象的特点,对各个性质进行综合运用.常 考题型有选择题、填空题,题目为中档难度.

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突破3个考向

揭秘3年高考

【真题探究1】? (2012·陕西)下列函数中,既是奇函数又 是增函数的为
3

(

).

1 A.y=x+1 B.y=-x C.y=x D.y=x|x| [教你审题] 先确定奇函数,再确定函数单调递增.
[解法] 选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项

B是奇函数,不是增函数;选项C是反比例函数,为奇函
数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数, 符合题意. [答案] D [反思] 通过题目的反复练习,熟练掌握函数奇偶性的判断 方法及函数单调性的判断方法.
抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

【试一试1】 (2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又在 区间(1,2)内是增函数的为 ( ).

A.y=cos 2x,x∈R


B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0

ex - e x C.y= ,x∈R D.y=x3+1,x∈R 2 解析 A、B 中的函数均是偶函数;C 中的函数是奇函
数;D 中的函数是非奇非偶函数.对于 y=cos 2x 在
? ?π ? π? ?1, ?上单调递减,? ,2?上单调递增,不满足题意; 2? ? ?2 ?

对于 y=log2|x|,当 x∈(1,2)时,y=log2|x|是增函数.
答案 B
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第4讲 指数与指数函数
【2014年高考会这样考】
1.考查指数函数的图象与性质及其应用. 2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数幂的运算和函

数图象的应用.
3.以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算 和幂的比较大小. 4.考查指数函数与函数、方程、不等式等内容结合的综合 问题.
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1.根式

考点梳理

(1)根式的概念
根式 xn=a ,那么x叫做a的n次方根 如果_____ 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 ,负数的n次方根是一个 _____ _____ 负数 当n为偶数时,正数的n次方根有 相反数 _____ 两个 ,它们互为_______
抓住3个考点

符号表示

备注 n>1且 n∈N*

n

a

零的n次方 根是零
负数没有 偶次方根
揭秘3年高考

n ± a
突破3个考向

(2)两个重要公式 a ,n为奇数, ?___ n n ? ? a ?a≥0?, ?____ ① a =? n为偶数. ?|a|=? - a ? _____ ? a <0 ? , ? ?
? n ②? ? ?n a (注意 ? =___ a?

n a 必须使 a有意义).

2.分数指数幂

m n am (1)正分数指数幂是:a n =______ (a>0,m,n∈N*,n>1); 1

m n m * (2)负分数指数幂是:a- n =______ ( a >0 , m , n ∈ N ,n>1); a

0 的负分数指数幂无意义. (3)0 的正分数指数幂是___,0
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3.有理指数幂的运算性质 ar+s (a>0,r、s∈Q); (1)ar· as=______
ars (a>0,r、s∈Q); (2)(ar)s=_____ arbr (a>0,b>0,r∈Q). (3)(ab)r=_____

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4.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

R ____ (0,+∞) __________

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(0,1) 过定点______

性质

当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1

当x>0时,0<y<1 x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上 递减

在(-∞,+∞)上递增

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【助学· 微博】 一个关系

分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可 以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题 时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围.

三个关键点 画指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)的图象, 应抓住三个关键点: (1 ? 1? a),(0,1),?-1,a?. ? ?
抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

考点自测
1.若
?1?b log2a<0,?2? >1,则 ? ?

(

).

A.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0
解析 由

B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0
0<a<1,b<0.

?1?b log2a<0,?2? >1,得 ? ?

答案

D

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2.(2011· 四川)函数 的图象大致是

?1?x y=?2? +1 ? ?

的图象关于直线 y=x 对称 ( ).

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解析

函数

?1?x y=?2? +1 ? ?

的图象如图,作

其关于直线 y=x 的对称图象,可知选 A.

答案

A

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3.若lg a+lg b=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与g(x) =bx的图象 A.关于直线y=x对称 B.关于x轴对称 ( ).

C.关于y轴对称
解析

D.关于原点对称

1 由 lg a+lg b=0 得 lg ab=0, ∴ab=1.∴b=a, g(x)
?1?x g(x)=?a? 的图象关于 ? ?

?1?x =?a? ,∴f(x)=ax 与 ? ?

y 轴对称.

答案

C

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4.函数

?1? 1 y=?2? 2 的值域为 ? ?x +1 ?1 ? B.?2,1? ? ? ?1 ? D.?2,+∞? ? ?
2

(

).

A.(-∞,1)
?1 ? C.?2,1? ? ?

解析

?1?1 ?1? 1 ?1?0 1 由 x ≥0,得 0< 2 ≤1,故?2? ≤?2? 2 <?2? ,即 ? ? ? ?x +1 ? ? x +1

?1 ? 1 ?1? 1 ≤?2? 2 <1.故函数的值域为?2,1?. 2 ? ?x +1 ? ?

答案

C
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1 5. (人教 A 版教材习题改编)化简[(-2) ] -(-1)0 的值为 2
6

________.

解析

1 0 6 1 [(-2) ] -(-1) =(2 ) -1=23-1=7. 2 2
6

答案

7

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热点突破5——有关求解指数型函数中参数的取值范围问题
【命题研究】 通过对近三年高考试题分析,对本讲考查
的题目源于教材,略高于教材,是教材中问题的延伸 与组合,指数函数作为中学阶段的基本函数,其图象

和性质是重要的考查热点.题型有:解简单的指数方
程、不等式,利用数形结合思想判断方程解的个数、 与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围 等.多以选择题、填空题出现,难度以中档题为主.

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【真题探究】? (2012· 上海)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x) 在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________. [教你审题] 本题为指数型的复合函数,利用复合函数的单 调性的判定判断,结合函数图象求解.

[解法] 因为y=eu是R上的增函数,所以f(x)在[1,+∞)上
单调递增,只需u=|x-a|在[1,+∞)上单调递增,由函数 图象可知a≤1. [答案] (-∞,1] [反思] 有关复合函数的单调性要利用“同增异减”的判定法 则来求解,若指数函数的底数不确定时还要进行分类讨 论.
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第5讲 对数与对数函数
【2014年高考会这样考】
1.考查对数函数的定义域、值域、图象与性质的应用. 2.多以比较大小、求对数函数在给定区间上的最值或值域

等形式,来考查对数函数的单调性.
3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.

抓住3个考点

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考点梳理
1.对数的概念 (1)对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记 x=logaN ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 作__________ (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为10 底数为e
抓住3个考点

记法 logaN lg N ln N _______
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2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质
N ;②logaaN=____ N (a>0且a≠1). ①alogaN=___ (2)对数的重要公式
logaN logbN= ①换底公式:____________ logab (a,b 均大于零且不等于 1);
1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba (3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M >0,N>0,那么 M log M-log N log M + log N a a ①loga(MN)=_______________;②loga =_____________ ; a a N

n logamM =mlogaM n n log M ( n ∈ R) a ③logaM =_______________ ;④_________________ .
n
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3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

抓住3个考点

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揭秘3年高考

定义域:(0,+∞)
值域:R (1,0) 过定点_____ 性 质 当x>1时,y>0当0<x<1 当x>1时,y<0;当 时,y<0 0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函 数

在(0,+∞)上是减函数

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4.反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图 y=x 对称. 象关于直线______ 【助学· 微博】 一种思想 对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和

运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明.
两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)优先考虑定义域;(2)注意 底数的取值范围.
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三个关键点 画对数函数 y=logax 的图象应抓住三个关键点:
?1 ? (a,1),(1,0),?a,-1?. ? ?

四种方法

对数值的大小比较方法:
(1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利 用中间量(0或1);(4)化同真数后利用图象比较.

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考点自测

1.(人教A版教材习题改编)(log29)×(log34)=
1 A. 4
解析

(

).

1 B. 2

C.2

D.4

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 (log29)×(log3 4)= × = × =4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

答案

D

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1 2.(2012· 全国)已知 x=ln π,y=log52,z=e- ,则( 2 A.x<y<z C.z<y<x
解析

).

B.z<x<y D.y<z<x

因为 ln π>ln e=1,log52<log55=1,所以 x>y,故 1 1 1 1 5= ,e- = > ,所 2 2 e 2

排除 A、B;又因为 log52<log5 以 z>y,故排除 C,选 D.

答案

D

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3.(2011· 安徽)若点(a,b)在 y=lg x 的图象上,a≠1,则 下列点也在此图象上的是
?1 ? A.?a,b? ? ? ?10 ? C.? a ,b+1? ? ?

(

).

B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

解析 答案

当x=a2时,y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b) D

在函数y=lg x图象上.

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揭秘3年高考

1 4.(2012· 新课标全国)当 0<x≤ 时,4x<loga x,则 a 的取 2 值范围是
? A.?0, ?

(
? B.? ? ? 2 ,1 ? 2 ?

).

2? ? 2?

C.(1, 2) D.( 2,2) 解析 构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,画出两个函数
? 1? 在?0,2?上的草图(图略),可知,若 ? ? ?1 ? g(x)经过点?2,2?, ? ?

? 2 ? 2 则 a= ,所以 a 的取值范围为? ,1?. 2 ? 2 ?

答案

B
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3 5.若 loga <1,则实数 a 的取值范围是________. 4 0<a<1, ? ? 3 解析 由 loga <1,得? 或 a>1, 3 4 log <logaa ? ? a4
3 解得 0<a< 或 a>1. 4
答案
? 3? ?0, ?∪(1,+∞) 4? ?

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热点突破6——与指数、对数函数有关的求值问题
【命题研究】 分析近几年各省市的高考试题,可以看出 对本节内容的考查主要有:利用对数函数的性质比较 实数的大小;结合函数图象的变换考查相关函数的性 质;考查与对数函数相关的方程和不等式.以选择题 为主,个别省市有填空题,以中等难度试题为主.

抓住3个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

一、与对数函数有关的求值问题
【真题探究 1】? (2011· 陕西)设 f(x)= ? ?lg x,x>0, 2 ?a ? 若 f(f(1))=1,则 a=________. ? 3t dt,x≤0, ? ?0 ?x+?

[教你审题] 先求f(1),再求f(f(1))的值.
[解法] 因为f(1)=lg 1=0,所以f(0)=0+a3-03=1,∴a= 1.

[答案] 1
[反思] 若是求f(f(a)),则要对a进行讨论,分a>0和a≤0两种 情况,求得f(a)后,再根据f(a)在哪段内求最终值
抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

二、与对数函数有关的解不等式问题
【真题探究 2】 ? (2011· 辽宁)设函数
1- x ? ,x≤1, ?2 f(x)=? ? ?1-log2x,x>1,

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是

(

).

A.[-1,2] C.[1,+∞)

B.[0,2] D.[0,+∞)

[教你审题] 分段函数分段求解,然后求各段的并集.

抓住3个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

[解法] 当 x≤1 时,21-x≤2,x≥0,所以 0≤x≤1; 1 当 x>1 时,1-log2x≤2,x≥ ,所以 x>1. 2 综上,x≥0.

[答案] D [反思] 解这类问题,除经过讨论代入函数解析式外,还用 到函数单调性直接求解.

抓住3个考点

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第6讲 幂函数与二次函数

【2014年高考会这样考】

1.求二次函数的解析式、值域与最值.
2.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决问题. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.幂函数的概念

y=xα 叫做幂函数,其中x是自变量,α是 一般地,函数________
常数. 2.幂函数的图象与性质
1 - 由幂函数 y=x、y=x 、y=x2、y=x 1、y=x3 的图象,可 2 归纳出幂函数的如下性质:

(0,+∞) 上都有定义; (1)幂函数在___________
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(1,1) ; (2)幂函数的图象都过点______ (0,0) 与_____ (1,1),且在 (3)当α>0时,幂函数的图象都过点_____
递增 ; (0,+∞)上是单调_____ (0,0) 在(0,+∞)上 (4)当α<0时,幂函数的图象都不过点_____ 递减 . 是单调______

3.五种幂函数的比较
(1)幂函数的图象比较

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

(2)幂函数的性质比较 函 性 质 定义域 值 域

数 y=x y=x2 y=x3
R R R [0, +∞) R R

y= x 2

1

y= x- 1 {x|x∈R且 x≠0} {y|y∈R且 y≠0}

[0 ,+∞) ________ [0,+∞) 非奇非偶 ________

奇偶性









抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

x∈[0,+∞) 单调 时,单调递增 单调 单调性 递增 x∈(-∞,0] 递增 时,单调递减

x∈(0, +∞)时, 单调 单调递减 递增 x∈(-∞, 0)时,单调 递减

定点

(0,0),(1,1) _____________

(1,1)

抓住4个考点

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揭秘3年高考

4. 二次函数的图象和性质

解析式

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+ c(a<0)

图象

定义域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

值域

?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? ? 4a ? ?

2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ?

? b? 在 x∈?-∞,-2a?上单调 ? ?



? b? x∈?-∞,-2a?上 ? ?

递减

单调递增 在
? ? b x ∈ ?-2a,+∞? 上 ? ?

单调性

? ? b 在 x∈?-2a,+∞?上单调 ? ?

递增

单调递减

抓住4个考点

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奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0时为非奇非 当______ 偶函数
2? ? 4 ac - b b ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

顶点

对称性

b x=- 2a 成轴对称图形 图象关于直线____________

抓住4个考点

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【助学· 微博】

两种方法
函数y=f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(x1)=f(x2), x1+x2 那么函数 y=f(x)的图象关于 x= 对称. 2

(2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=
f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称(a为常数).

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揭秘3年高考

两个条件
? ?a>0, 2 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0. ? ?a<0, 2 (2)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0.

三种形式 二次函数表达式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(其中a≠0,顶点坐标为(-h,

k));
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1、x2是二次函 数与x轴的两个交点的横坐标).
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考点自测
1.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线 是 幂 函 数 y = xn 在 第 一 象 限 的 图 1 象.已知 n 取± 2,± 四个值,则相 2 应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依 次为

1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2

). 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2

(

1 1 D.2, ,-2,- 2 2

答案

B
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2.(2011· 浙江)设函数 数 α 等于

? ?-x,x≤0, f(x)=? 2 ? ?x ,x>0,

若 f(α)=4,则实 ( ).

A.-4或-2 C.-2或4
解析 选 B.
? ?α≤0, 由? ? ?-α=4

B.-4或2 D.-2或2
? ?α>0, 或? 2 ? ?α =4,

得 α=-4 或 α=2,故

答案

B

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3.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( ).

解析

由 A,C,D 的图象知 f(0)=c<0.又 abc>0,∴

b ab<0,∴对称轴 x=- >0,知,A,C 错误,D 符 2a 合要求.由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴对称轴 x=- b <0,∴B 错误. 2a

答案

D
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4.(2012· 湖北)已知二次函数y=f(x) 的图象如图所示,则它与x轴所围 图形的面积为
2π A. 5 3 C. 2 4 B. 3 π D. 2

(

).

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揭秘3年高考

解析

观察函数图象可知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标

为(0,1),故可设 f(x)=ax2+1,又函数图象过点(1,0),代入
2 可得 a=-1,所以 f(x)=-x2+1,所以 S=? - 1(1 - x )dx 1 ?



? x3??1 4 ?x- ??-1= . 3 ?? 3 ?

答案

B

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揭秘3年高考

5.(2012· 江苏)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域
为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+ 6),则实数c的值为________.
∵f(x)=x2+ax+b 的值域为[0,+∞), 1 ?2 a2 1 2 ? 2 ∴b- =0,∴f(x)=x +ax+ a =?x+2a? . 4 4 ? ? 又∵f(x)<c 的解集为(m,m+6),∴m+m+6=-a, 1 ∴m=- a-3, 2 ? 1 ?2 ? 1 ? 1 2 ?- a-3?+ a =9. ∴c=f(m)=?-2a-3? +a· ? ? ? 2 ? 4 答案 9 解析

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揭秘3年高考

方法优化2——如何解决二次函数与其它函数图象有公共点的问题 【命题研究】 通过对近三年高考试题的统计可以看出,
本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不 等式的综合应用,以及幂函数的图象及性质,重点考

查数形结合与等价转化两种数学思想.以二次函数的
图象为载体,利用数形结合的思想,解决二次函数的 单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有 关的参数范围的问题.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

1 【真题探究】 ? (2012· 山东 ) 设函数 f(x) = x , g(x) = ax2 + bx(a,b∈R,a≠0).若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象 有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下 列判断正确的是 ( ).

A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0

D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

[教你审题] 第1步 构造方程;

第2步 设出方程的根;
第3步 由待定系数法确定方程的相关系数; 第4步 由对应系数相等确定x1、x2的关系式; 第5步 判断符号.
[一般解法] 利用函数与方程思想求解. 1 由题意知函数 f(x)=x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)的 图象有且仅有两个公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),等价于方 1 程x=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)有两个不同的根 x1,x2,即 方程 ax3+bx2-1=0 有两个不同非零实根 x1,x2,
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

因而可设 ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2),
2 2 即 ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x2 x - x x + 2 x x x - x x 1 2 1 2 2 1), 2 ∴b=a(-2x1-x2),x2 1+2x1x2=0,-ax2x1=-1,

∴x1+2x2=0,ax2>0, 当 a>0 时,x2>0,∴x1+x2=-x2<0,x1<0, 1 1 x1 + x2 ∴y1+y2= + = >0. x1 x2 x1x2 当 a<0 时,x2<0,∴x1+x2=-x2>0,x1>0, 1 1 x1 + x2 ∴y1+y2= + = <0. x1 x2 x1x2
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[优美解法] 不妨设 a<0, 在同一坐 标系中分别画出两个函数的图象, 如图所示, 其中点 A(x1, y1)关于原 1 点的对称点 C 也在函数 y=x的图 象上,坐标为(-x1,-y1),而点 B 的坐标(x2,y2)在图象上也明显的显示出来.由图可知,
当 a<0 时,x2>-x1,所以 x1+x2>0,y2<-y1,所以 y1 +y2<0,同理当 a>0 时,则有 x1+x2<0,y1+y2>0,故 选 B.

[答案] B
[反思] 准确使用数形结合思想,起到事半功倍的效果.
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第7讲 函数图象
【2014年高考会这样考】

1.利用函数图象的变换(平移、对称、翻折、伸缩)作函数
图象的草图. 2.根据函数的解析式辨别函数图象. 3.应用函数图象解决方程、不等式等问题. 4.利用函数图象研究函数性质或求两函数图象的交点个数.

抓住3个考点

突破3个考向

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考点梳理
1.函数图象的变换 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象 a个 单位而得到. 左 +)或向____( 右 -)平移_____ 向____(

②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象
b个 单位而得到. 上 +)或向___( 下 -)平移_____ 向___( (2)对称变换 y轴 对称. ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于____ x轴 对称. ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于____ 原点 对称. ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于_____
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(3)伸缩变换
①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标 伸(a>1时)或缩(a<1时)到原来的a倍,横坐标不变.

②y=f(ax)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)的图象上每点的横坐 1 标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)到原来的a倍,纵标标不变.
(4)翻折变换 ①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为

对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图
象; ②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右 边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.
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2.等价变换
例如:作出函数 y= 1-x2的图象,可对解析式等价变形 ?y≥0, ? 2 2 1-x ? ?1-x ≥0, ? y 2 = 1 - x2 ?
? ?y≥0, ?? 2 2 ? ?y =1-x

y=

? x2 + y2 =

1(y≥0),可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1) 写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图.

3.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析 式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值
(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
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【助学· 微博】 一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高 考考查的热点.作函数图象首先要明确函数图象的形状和

位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助
手段,不可本末倒置. 两个区别

(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于
原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两 个不同的函数对称.

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(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴 对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是

两个不同函数的对称关系.
三种途径 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径. (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质,描点作图.

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考点自测
x+3 1.(人教 A 版教材习题改编)为了得到函数 y=lg 的图象, 10 只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点 ( ).

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 x+3 解析 y=lg =lg(x+3)-1 可由 y=lg x 的图象向 10 左平移 3 个单位长度, 向下平移 1 个单位长度而得到.

答案

C
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2.(2013· 太原一模)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)| 的图象可能是 ( ).

解析

函数

x ? ?2 -2,x≥1, y=|f(x)|=? x ? ?2-2 ,x<1,

故 y=|f(x)|在(-∞,

1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 A,C,D.

答案

B
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1 3.(2011· 陕西)函数 y=x 的图象是 3

(

).

解析 该题考查幂函数的图象与性质, 解决此类问题首先 是考虑函数的性质,尤其是奇偶性和单调性,再与函数 y 1 1 =x 比较即可.由(-x) =-x 知函数是奇函数.同时由 3 3 1 1 当 0<x<1 时,x >x,当 x>1 时,x <x,知只有 B 选 3 3 项符合.
答案 B
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4.当a≠0时,y=ax+b与y=(ba)x的图象大致是(

).

解析

A中,a>0,b=1,ba=1,很容易排除;B中,

a>0,b>1,故ba>1,函数y=(ba)x单调递增,也可排除;

C、D中,a<0,0<b<1,故ba>1,排除D.故选C.
答案 C
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5.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值 范围是________.
解析 y = x2 - |x| + a 是偶函

数,图象如图所示,由图象可 知直线 y=1 与曲线 y=x2-|x| 1 +a 有四个交点, 需满足 a- 4 5 <1<a,∴1<a< . 4

答案

? 5? ?1, ? 4? ?

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热点突破7——函数图象的辨识
【命题研究】 从近三年的高考试题来看,图象的辨识与 对称性以及利用图象研究函数的性质、方程、不等式 的解是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出 现,属中低档题,主要考查基本初等函数的图象的应

用以及数形结合思想.
预测2014年高考仍将以识图、用图为主要考向,重点 考查函数的图象性质以及方程、不等式与图象的综合 问题.
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【 真 题 探 究 】 ? (2012· 新 课 标 全 国 ) 已 知 函 数 f(x) = 1 ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x ( ).

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[教你审题] 观察函数f(x)及四个选项的特点,从函数的定 义域、值域、单调性入手或用特殊点验证.

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[解析] 函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0, +∞), 排除 D; -1 1 1 又 f(1)= <0,排除 A;g′(x)= -1= . ln 2-1 x+1 x+1 当-1<x<0 时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)<g(0) =0,∴f(x)在(-1,0)上单调递减且小于 0,排除 C.故选 B.

[答案] B

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[反思] (1)对基本函数的关系式、定义域、值域细心研究,
抓住其关键点、单调性、奇偶性等特征,作为判断图象的 依据.

(2)要掌握判断函数图象的一些基本方法,如:特殊点法(
利用特殊点筛选淘汰),导数法(借助导数判断单调性、凹 凸性),辅助线法(借助辅助线判断点的位置、图象凹凸状 况),平移法,对称法等.

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第8讲 函数与方程
【2014年高考会这样考】

1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数.
2.利用函数零点求解参数的取值范围. 3.利用二分法求方程的近似解. 4.考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间 的等价转化思想和数形结合思想.

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考点梳理
1.函数的零点 (1)函数零点的定义:
f(x)=0 的实数x叫做函数y 对于函数y=f(x),我们把使_________ =f(x)的零点. (2)几个等价关系:

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点? 零点 函数y=f(x)_____

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(3)函数零点的判定(零点存在性定理): 连续 不断的一 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是______ f(a)· f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间 条曲线,并且有____________ (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c _______

也就是方程f(x)=0的根.

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2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布
根的分布 (m<n<p 图象 满足条件
?Δ>0 ? b ?- <m 2a ? ?f?m?>0 ?Δ>0 ? b ?- >m 2a ? ?f?m?>0
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为常数)

x1<x2<m

m<x1<x2

x1<m<x2

f(m)<0
?Δ>0 ? ?m<- b <n 2a ? ?f?m?>0 ? ?f?n?>0

m<x1<x2<n

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m<x1<n<x2<p

?f?m?>0 ? ?f?n?<0 ? ?f?p?>0 Δ=0 ? ? ? b m<- <n ? 2a ?

只有一根在 (m,n)之间

或f(m)· f(n)<0

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3. 二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 f(a)· f(b)<0 的函数y= 对于在区间[a,b]上连续不断且___________ 一分为二, f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________ 零点 ,进而得到零点近似值 使区间的两个端点逐步逼近_____ 的方法叫做二分法.

(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如
下: ①确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε: ②求区间(a,b)的中点c;
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③计算f(c); (i)若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(ii)若f(a)· f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
(iii)若f(c)· f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度ε.即:若|a-b|<ε,则得到零点近似 值a(或b);否则重复②③④.

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【助学· 微博】 一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,

中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周
而复始怎么办?精确度上来判断. 两个防范 (1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实 根,是数不是点.

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(2)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断

的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)· f(b)<0,
满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没 有零点.如图,f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在

零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分
条件,但并不必要. 三种方法 函数零点个数的判断方法. (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就

有几个零点;

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(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b] 上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的

图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零
点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交 点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个 不同的零点.

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考点自测
1.(人教A版教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有 交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( A.①② 答案 B B.①③ C.①④ D.③④ ).

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2.(2012· 湖北)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数 为 A.4
解析

( B.5
2

).

C.6
2

D.7

π 3π 5π 7π ∵x∈[0,4],∴x ∈[0,16],∴x =0, , , , , 2 2 2 2

9π ,都是 f(x)的零点,此时 x 有 6 个值.∴f(x)的零点个数为 2 6,故选 C.

答案

C

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3.(2011· 新课标全国)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x- 3的零点所在的区间为 ? 1 ? ? 1? A.?-4,0? B.?0,4? ? ? ? ?
?1 1? C.?4,2? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

(

).

解析

因为

?1? ?1? 1 1 1 1 ? ? ? ? f 4 =e +4× -3=e -2<0,f 2 =e 4 4 4 2 ? ? ? ?

1 1 +4× -3=e -1>0, 所以 f(x)=ex+4x-3 的零点 2 2
?1 1? 所在的区间为?4,2?. ? ?

答案

C
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1 4.(2013· 咸阳二模)若 x0 是函数 f(x)=3 - ,x∈(2,+∞) x-2
x

的一个零点,x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),则

(

).

A.f(x1)<0,f(x2)<0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
解析
x

B.f(x1)<0,f(x2)>0
D.f(x1)>0,f(x2)>0

1 函数 f(x)=3 - 在(2,+∞)上为增函数,由已 x-2

知 x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞)得 x1<x2,故 f(x1)<f(x2), 又 f(x1)· f(x2)<0,故 f(x1)<0,f(x2)>0.

答案

B
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5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a 的取值范围是________. 解析 答案 函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.由已知条件 (-2,0)

f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0.

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方法优化3——如何解决有关函数零点的问题
【命题研究】 通过近三年的高考题分析,重点考查函数 的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等 价转化思想和数形结合思想.题型为选择题或填空题, 若求函数零点的问题,难度较易;若利用零点的存在 求相关参数的值的问题,难度稍大.

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【真题探究】? (2011·山东)已知函数f(x)=logax+x- b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点

x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________.
[教你审题] f(x)=logax+x-b在(0,+∞)上单调递增且值 域为R,则f(x)必有唯一零点x=x0,根据x0∈(n,n+1),

利用零点存在的判定条件来推算n的取值.
[一般解法] 设f(x0)=0,因为f(x)=logax+x-b,又 3<b<4,所以f(1)=loga1+1-b=1-b<0,因为 2<a<3<b<4,所以f(2)=loga2+2-b<logaa+2-b=3- b<0,f(3)=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0.综上, x0∈(2,3),又因为x0∈(n,n+1),故n=2.
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[优美解法] 如图所示,在直角坐标系下分别作出y=
log2x,y=log3x及y=3-x,y=4-x的图象,显然所有可 能的交点构成图中的阴影区域(不含边界),其中各点的横

坐标均落于(2,3)之内,又因为x0∈(n,n+1),n∈N*,故
n=2.

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[答案] 2 [反思] (1)要强化训练零点求法,函数与方程的转化技巧;

(2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区
间.考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题,一 般难度较大,在复习中要有所准备,但题量不必太大.

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第9讲 函数的应用
【2014年高考会这样考】
1.考查二次函数模型的建立及最值问题. 2.考查分段函数模型的建立及最值问题.

3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及
最值问题. 4.合理选择变量,构造函数模型,求两变量间的函数关系 式,从而研究其最值.

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考点梳理
1.常见的几种函数模型 ax+b a≠0); (1)一次函数模型:y=________(
k (2)反比例函数模型:y=x(k≠0);

ax2+bx+c (a≠0); (3)二次函数模型:y=_____________ (4)指数函数模型:y=N(1+p)x(x>0,p≠0)(增长率问题); (5)对数函数模型y=blogax(x>0,a>0且a≠1); (6)幂函数模型y=xn; (8)分段函数型.
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a (7)y=x+x型(x≠0);

2.三种函数模型图象与性质比较

函数
性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度

y=ax(a>1)

y=logax(a>1) 单调递增 _____ 越来越慢 随x的增大逐 渐表现为与 x轴 平行 ____

y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳 随n值变化而 各有不同

递增 单调_____
越来越快

随x的增大逐 图象的变化 渐表现为与 y轴 平行 _____ 值的比较

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
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【助学· 微博】 一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的

定义域.
四个步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的 数量关系,把握其中的数学本质,初步选择模型; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型, 将实际问题转化为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到实际问题,检验结果的实际意义,给出结

论.
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考点自测
1.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400 个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,

为了获得最大利润,每个售价应定为 A.95元
解析

( D.110元

).

B.100元

C.105元

设定价为(90+x)元,则每件商品利润为90+x-80

=(10+x)(元),利润y=(10+x)(400-20x)=20(x+10)· (20

-x)=-20(x-5)2+4 500,当x=5时,利润最大,故售价
定为95元. 答案 A

抓住3个考点

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2.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余 的水符合指数衰减曲线 y=aent.假设 5 分钟后甲桶和乙桶的 a 水量相等,若再过 m 分钟后甲桶中的水只有 ,则 m 的值为 8 ( ).

A.7
解析

D.10 1 1 nt 1 5n 1 15n nt 令 a=ae ,即 =e ,因为 =e ,故 =e ,比较 8 8 2 8

B.8

C.9

知 t=15,m=15-5=10.

答案

D
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3.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,
等跑累了再慢慢走余下的路程,图中纵坐标表示离学校 的距离s,横坐标表示出发后的时间t,则如图所示的四

个图形中较符合该学生走法的是

(

).

解析 答案

纵轴表示离学校的距离,排除A,C,开始跑步, D
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后慢慢走,说明函数开始下降较快,后来下降较慢.

4.(2011· 湖北)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0, 其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的

标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最
大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地 震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震 最大振幅的________倍. 解析 由lg 1 000-lg 0.001=6,得此次地震的震级为6 级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为 A9,则lg A9-lg 0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大

振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大
振幅的10 000倍. 答案 6 10 000
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5.(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息,若本 金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息) 为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是 ________.

解析

已知本金为a元,利率为r,则1期后本利和为y=a

+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,

3期后本利和为y=a(1+r)3,
… x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N* 答案 y=a(1+r)x,x∈N*
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规范解答2——函数建模及函数应用问题
【命题研究】 从近三年的高考试题来看,建立函数模型
解决实际问题是高考的热点,题型主要以解答题为 主,难度中等偏高,常与导数、最值交汇,主要考查

建模能力,同时考查分析问题、解决问题的能力.
预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点,同时考 查利用导数求最值问题.

抓住3个考点

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揭秘3年高考

【真题探究】? (本小题满分12分)(2011· 江苏)请你设计一 个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形 硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三

角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于
图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的

两个端点.
设AE=FB=x(cm).

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(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取

何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何 值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. [教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表 示成x的函数,然后根据二次函数的最值求法和导数法求

解.
抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

[规范解答] 设包装盒的高为 h cm,底面边长为 a cm. 60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x)(0<x<30).(2 分) 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,(4 分) 所以当 x=15 时,S 取得最大值.(6 分) (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),(8 分) V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20.(9 分) 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值.(11 分) h 1 1 此时a = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 .(12 分) 2 2

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[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时, 一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其 定义域,利用求函数最值的方法求解,但应注意结果与实

际情况相符合.
(2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开 区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也

就是最值点.

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解函数应用题的一般程序是: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量 关系; 第二步:建模——将文学语言转化成数学语言,用数学知 识建立相应的数学模型; 第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问

题的意义;
第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学解,必须 验证这个数学解对实际问题的合理性.

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第1讲 变化率与导数、导数的运算
【2014年高考会这样考】

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.
2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导.

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考点梳理

1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

f?x2?-f?x1? x2-x1 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为______________ ,
若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示

Δy Δx 为_____.

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2.函数y=f(x)在x=x0处的导数

(1)定义

(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)

上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) . __________________
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3.函数f(x)的导函数

4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) 导函数 0 f′(x)=___ nxn-1 f′(x)=_______

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f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax

f′(x)=_______ cos x sin x f′(x)=- _______ f′(x)=_________ axln a ex f′(x)=_____
1 f′(x)=______ xln a 1 x f′(x)=____

f(x)=ln x

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5.导数运算法则

f′(x)±g′(x) ; (1)[f(x)±g(x)]′=____________ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; (2)[f(x)· g(x)]′=_________________
? f?x? ? (g(x)≠0) 2 ? ? [g?x?] (3)? ′=_______________________________ . ? ?g?x??

f′?x?g?x?-f?x?g′?x?

6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间 y对u 的导数与 y′u · u′x ,即y对x的导数等于______ 的关系为y′ =_______
x

u对x 的导数的乘积. _____

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【助学· 微博】 一个区别 曲线y=f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线与“过”点P(x0,y0)的

切线的区别:
曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,若切线 斜率存在时,切线斜率为k=f′(x0),是唯一的一条切线;

曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点,点P
可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多 条.

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三个防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交 点的区别. 3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到 不重不漏.

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考点自测
1.下列求导过程
?1? 1 ① ?x?′=- 2 ;② ( x ? ?

x )′=

1 2

?ln ;③ (logax)′= ?ln ? x

x? ? a? ′=

1 ;④(ax)′=(eln ax)′=(exln a)′=exln a ln a=axln a. xln a 其中正确的个数是 ( ).

A.1
答案 D

B. 2

C.3

D.4

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2.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数 为 A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) ( ).

解析
答案

f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).
C

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3.(2013· 福州模拟)曲线y=e2x在点(0,1)处的切线方程为 (
1 A.y= x+1 2 C.y=2x-1 B.y=-2x+1 D.y=2x+1

).

解析 答案

y′=(e2x)′=2e2x,k=y′|x=0=2· e2×0=2,∴切线 D

方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1,故选D.

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? 4? 1 3 4.(2013· 杭州一模)曲线 y= x +x 在点?1,3?处的切线与坐 3 ? ?

标轴围成的三角形面积为 1 A. 9 2 B. 9 1 C. 3 2 D. 3

(

).

解析

y′ = x

2

? 4? + 1,曲线在点 ?1,3?处的切线斜率 ? ?

k= 12

? 4? +1=2,故曲线在点?1,3?处的切线方程为 ? ?

4 y- =2(x- 3

?1 ? ? 2? 1).该切线与两坐标轴的交点分别是 ?3,0?,?0,-3?.故 ? ? ? ?

1 1 2 1 所求三角形的面积是 × × = . 2 3 3 9

答案

A
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5.(2012· 广东)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为
________. 解析 ∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.

∴该切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.

答案

2x-y+1=0

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规范解答3——求解与曲线的切线有关的问题

【命题研究】 利用导数的几何意义求曲线的切线斜率或

切线方程是近几年高考命题的热点,常与函数的图象、
性质、几何图形性质交汇命题,主要以选择题、填空 题的形式来考查,有时也渗透在解答题之中,难度一 般不大.

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【真题探究】? (本小题满分 13 分)(2012· 安徽)设函数 f(x)= 1 x ae + x+b(a>0). ae (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 2 a,b 的值. [教你审题] (1)求出原函数的导函数,按照函数极值点是否

在区间[0,+∞)内分两种情况讨论,进而求出函数的最小
值,(2)直接利用导数的几何意义——切点的双重作用,找 到关于参数a,b的方程组,求出a,b.

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1 [规范解答] (1)f′(x)=ae - x,(2 分) ae 当f′(x)>0,即x>-ln a时,f(x)在(-ln a,+∞)上递增;
x

当f′(x)<0,即x<-ln a时,f(x)在(-∞,-ln a)上递减.(4 分)

①当0<a<1时,-ln a>0,f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-
ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(- ln a)=2+b;(6分)
②当 a≥1 时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而 1 f(x)在[0,+∞)内的最小值为 f(0)=a+a+b.(8 分)
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1 3 (2)依题意 f′(2)=ae - 2= , ae 2
2

1 解得 ae =2 或 ae =- (舍去).(10 分) 2
2 2

2 1 1 所以 a= 2, 代入原函数可得 2+ +b=3, 即 b= . e 2 2 2 1 故 a= 2,b= .(13 分) e 2

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[阅卷老师手记] 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率f′(x0),相应的 切线方程是y-y0=f′(x0)(x-x0);但要注意:①当函数y= f(x)在点x0处的导数不存在时,曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程为x=x0;②当切点的坐标不知道时, 应首先设出切点坐标,再求解.

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解与曲线的切线有关问题的一般程序 第一步:设出切点坐标(x0,y0); 第二步:计算切线的斜率为k=f′(x0);

第三步:写出切线方程y-y0=k(x-x0);
第四步:将问题转化为函数与方程问题求解.

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第2讲 导数的应用(一)
【2014年高考会这样考】 1.导数的几何意义及应用,曲线的切线方程的求解与应 用. 2.利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中

多项式函数一般不超过三次).
3.由函数单调性和导数的关系,研究恒成立问题或求参数 的范围.

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考点梳理
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,

y-f(x0)= f(x0))处切线l的斜率,切线l的方程是_____________ f′(x0)(x-x0) . _____________ 2.导数的物理意义
若物体位移随时间变化的关系为s=f(t),则f′(t0)是物体运 瞬时速度 . 动在t=t0时刻的_________

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3.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都 单调递增 ; 不恒等于0,则f′(x)≥0?函数f(x)在(a,b)上_________ 单调递减 . f′(x)≤0?函数f(x)在(a,b)上_________ 【助学· 微博】 一个警示

直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切
线;反之直线是曲线的切线,但直线不一定与曲线有且只 有一个公共点.

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两个条件 (1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分

条件.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值 的必要不充分条件.

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三个步骤 求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域;

(2)求导数f′(x);
(3)由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围. 当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0

时, f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函
数的单调区间.

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考点自测
1 2 1.(2012· 辽宁)函数 y= x -ln x 的单调递减区间为 2

A.(-1,1]
C.[1,+∞)

B.(0,1]
D.(0,+∞)

(

).

解析

由题意知,函数的定义域为(0,+∞), 又由 y′

1 =x-x≤0,解得 0<x≤1,所以函数的单调递减区间 为(0,1].
答案 B

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2.(2011· 山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交 点的纵坐标是 ( ).

A.-9
解析

B.-3

C.9

D.15

由已知y′=3x2,则y′|x=1=3,切线方程为y-12=

3(x-1),即y=3x+9,令x=0得y=9.

答案

C

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1 3.曲线 C:y= x3+x+1 上斜率最小的一条切线与圆 x2 3 1 +y2= 的交点个数为 2 ( ).

A.0
解析

B.1

C.2

D.3

由题可知 y′=x2+1≥1,当 x=0 时,y′取得

最小值 1,则曲线 C 上斜率最小的一条切线斜率为 1, 切点为(0,1),切线方程为 x-y+1=0,圆心到直线的距 1 2 离为 d= 2 = =r,所以直线与圆相切,只有一 2 1 +12 个交点.

答案

B
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4.(2011· 辽宁)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 A.(-1,1) C.(-∞,-1) 解析 B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) ( ).

记g(x)=f(x)-(2x+4),则有g(-1)=f(-1)-(-2

+4)=0.∵g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)在R上是增函数.不

等式f(x)>2x+4,即g(x)>0=g(-1),于是由g(x)在R上是
增函数得,x>-1,即不等式f(x)>2x+4的解集是(-1,+ ∞),选B.

答案

B
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5.函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的 取值范围是________. 解析 f′(x)=3x2+a,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,则 f′(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≥-3x2在(1,

+∞)上恒成立,∴a≥-3.
答案 [-3,+∞)

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规范解答4——利用导数证明不等式
【命题研究】 导数作为一种研究数学知识的工具,在求
函数单调性、最值等方面发挥了独特的作用,同样, 我们也可以利用导数完成一些不等式的证明问题,其

关键在于要构造好函数的形式,转化为研究函数的单
调性、最值或值域问题,一般难度较大.

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【真题探究】? (本小题满分 13 分)(2012· 山东)已知函数 f(x) ln x+k = (k 为常数,e=2.718 28?是自然对数的底数), ex 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行.

(1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,证明: 对任意x>0,g(x)<1+e-2.

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[教你审题] (1)由已知,求导后利用方程 f′(1)=0 即可求 出 k 的值;(2)讨论 f′(x)在(0,+∞)上的单调性与零点, x+1 即可得出函数 f(x)的单调区间;(3)变换 g(x)= x (1-x e x+ 1 -xln x),适当构造函数,证明 0< x <1,1-x-xln x≤1 e +e-2 即可.
[规范解答] (1)解 ln x+k 由 f(x)= ex

1-kx-xln x 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞). xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1.(3 分)
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(2)解

1 由 (1) 得 f′(x)= x(1- x- xln x) ,x ∈(0,+ xe

∞).令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又ex>0,所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+
∞).(7分)

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(3)证明 因为 g(x)=(x2+x)f′(x), x+1 所以 g(x)= x (1-x-xln x),x∈(0,+∞). e

x e - 因此, 对任意 x>0, g(x)<1+e 2 等价于 1-x-xln x< x+1 (1+e-2).

由(2)知h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2),x∈(0,+∞). 因此,当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2. 故1-x-xln x≤1+e-2.(10分)
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设φ(x)=ex-(x+1).
因为φ′(x)=ex-1=ex-e0, 所以当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增,

φ(x)>φ(0)=0,
故当x∈(0,+∞)时,φ(x)=ex-(x+1)>0,

ex 即 >1. x+1
x e 所以 1-x-xln x≤1+e-2< (1+e-2). x+ 1 因此对任意 x>0,g(x)<1+e-2.(13 分)

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[阅卷老师手记] (1)本题出现的问题:一是第(2)问中,考生 1-x-xln x 不会把 f′(x)= 中的分子单独分离出来判断其 xex 符号.二是第(3)问中,未考虑二次求导,找 h(x)=1-x- xln x 的零点,从而细化 x 的范围求最值.三是第三问中不 ex 会构造函数证明 >1. x+ 1 (2)在使用导数证明不等式时,如果给出的不等式过于复

杂,需要变换不等式,把其分解为若干个不等式.再根据 不等式的性质得出所证的不等式,在使用不等式的性质时

注意不等式性质的使用条件.

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用导数法证明不等式f(x)≥g(x)的问题一般可
用以下几步解答: 第一步:构造函数F(x)=f(x)-g(x);

第二步:求函数F(x)的导数F′(x);
第三步:判断函数F(x)在给定区间上的单调性; 第四步:求F(x)在给定区间上的最小值F(x)min≥0,即证 得f(x)≥g(x).

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第3讲 导数的应用(二)

【2014年高考会这样考】 1.利用导数求函数的极值与闭区间上的最值.

2.利用导数解决生活中的优化问题.

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考点梳理
1.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法: 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,

f′(x)<0 ,那么f(x0) ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧________ 是极大值; f′(x)<0 ,右侧________ f′(x)>0 ,那么 ②如果在x0附近的左侧_________
f(x0)是极小值.

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(2)求可导函数极值的步骤:

①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根; ③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右 极大值 ;如果左负右正,那 负,那么f(x)在这个根处取得_______ 么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,

那么这个根不是极值点. 2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值 最小值 . 与_______

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(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,

f(b)为函数的最大值 _______;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则
f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在

[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值; f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大 ②将f(x)的各极值与_________ 值,最小的一个是最小值.

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3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数

学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,

最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.

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【助学· 微博】
一个区别 极值与最值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数在某

一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);最
大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而 在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最 大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续 函数在开区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最

大值,极小值就是最小值.

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揭秘3年高考

两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,

那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必
再与端点的函数值比较.

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三个防范 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值 点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个

“整体”概念,而极值是个“局部”概念.
(2)f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条 件.如①y=|x|在x=0处取得极小值,但在x=0处不可

导;②f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.
(3)若y=f(x)可导,则f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取极值的必 要条件.

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考点自测
1.(2012· 陕西)设函数f(x)=xex,则 A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 ( ).

C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点 解析 f′(x)=ex+xex=ex(1+x).

∴当f′(x)≥0时, 即ex(1+x)≥0,即x≥-1,
∴当x≥-1时,函数y=f(x)为增函数. 同理可求,当x<-1时,函数f(x)为减函数. ∴当x=-1时,函数f(x)取得极小值. 答案 D
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2.(2012· 全国)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两
个公共点,则c= A.-2或2 C.-1或1 解析 变化情况如下表: B.-9或3 D.-3或1 ( ).

∵y′=3x2-3,∴当y′=0时,x=±1.则x,y′,y的

x y′ y

(-∞,-1) -1 + c+ 2 ?

(-1,1) - ?

1 c- 2

(1,+∞) + ?

因此,当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0

或c-2=0,∴c=-2或c=2.
答案 A
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3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关 注,据有关统计数据显示,从上午 6 点到 9 点,车辆通过 该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 13 32 之间关系可近似地用如下函数表示: y=- t - t + 36t 8 4 629 - .则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是 4 ( ).

A.6

B.7

C.8

D.9

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解析

32 3 3 由题意,得 y′ =- t - t + 36 =- (t + 12)(t - 8 2 8

8). 令 y′=0 得 t=-12(舍去)或 t=8.当 6≤t<8 时, y′>0; 当 8<t≤9 时,y′<0,所以当 t=8 时,y 有最大值,即此 时刻通过该路段用时最多.

答案

C

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4.(2012· 重庆)设函数f(x)在R上可导,
其导函数为f′(x),且函数y=(1- x)f′(x)的图象如图所示,则下列结 论中一定成立的是( ). A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

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解析

当x<-2时,y=(1-x)f′(x)>0,得f′(x)>0;

当-2<x<1时,y=(1-x)f′(x)<0,得f′(x)<0; 当1<x<2时,y=(1-x)f′(x)>0,得f′(x)<0; 当x>2时,y=(1-x)f′(x)<0,得f′(x)>0,

∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,
在(1,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,∴函数f(x) 有极大值f(-2)和极小值f(2). 答案 D

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5.如图是y=f(x)导数的图象,对于下
列四个判断: ①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1是f(x)的极小值点;

③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函
数; ④x=3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________(填序号).

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解析

∵x∈[-2,-1]时,f′(x)<0,∴f(x)在[-2,-1]上

是减函数,①错;∵f′(-1)=0且在x=-1两侧的导数值 为左负右正,∴x=-1是f(x)的极小值点,②对;③对; 由于f′(3)≠0,④不对. 答案 ②③

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规范解答5——利用导数解决函数与方程、不等式等综合问题
【命题研究】 从近几年的高考试题来看,利用导数来研

究函数的单调性和极值问题已成为重要的考点,考查
题型以解答题为主,也有选择题、填空题,小题主要 考查利用导数研究函数的单调性和极值,解答题主要 考查导数与函数单调性,或方程、不等式的综合应 用.

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【真题探究】? (本小题满分14分)(2012· 浙江)已知 a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b. (1)证明:当0≤x≤1时,

①函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;
②f(x)+|2a-b|+a≥0. (2)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.

[教你审题] (1)①求f′(x),解不等式确定函数的单调区间,
求出函数极值及区间端点值,比较求出最大值. ②求函数最值,转化为恒成立问题. (2)化归转化,借助线性规划知识求出a+b的范围.
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[规范解答] (1)①f′(x)=12ax

2

? 2 b? -2b=12a?x -6a?. ? ?

当 b≤0 时, 有 f′(x)≥0, 此时 f(x)在[0, +∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)=12a
? 在 ?0, ? ? ?x+ ?

b? ? ? ?x- 6a? ?

b? ?,此时 f(x) 6a ?

b 6a

? ? ?上单调递减,在? ? ?

? b ,+∞? 上 单 调 递 6a ?

增.(3 分) 所以当 0≤x≤1 时,f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+
? ?3a-b,b≤2a, b,3a-b}=? ? ?-a+b,b>2a

=|2a-b|+a.(5 分)

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②由于0≤x≤1,故当b≤2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+ 3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+ 1).

当b>2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)
-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).(7分)
? x≤ 1 ?? 设g(x)=2x3-2 x+1,0≤ 3, 3? 2 则 g′(x)=6x -2=6?x- ??x+ ?, 3 ?? 3? ?

于是 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表:

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x g′(x) g(x)

0

? ?0, ?

3? ? 3?

3 3

? ? ?

? 3 ,1 ? 3 ?

1

- 1

0 极小值

+ 1

4 3 3? ?=1- >0. 9 3? 所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0.

? 所以,g(x)min=g? ?

故f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.(10分)

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(2)由①知,当0≤x≤1,f(x)max=|2a-b|+a, 所以|2a-b|+a≤1.
若|2a-b|+a≤1, 则由②知 f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.所以 - 1≤f(x)≤1 对 任 意 0≤x≤1 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
? ?|2a-b|+a≤1, ? ? ?a>0.

?2a-b≥0, ? 即 ?3a-b≤1, ? ?a>0

?2a-b<0, ? 或 ?b-a≤1,?*? ? ?a>0

(12

分)

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在直角坐标系aOb中,(*)所表示的
平面区域为如图所示的阴影部分, 其中不包括线段BC.作一组平行直线

a+b=t(t∈R),
得-1<a+b≤3, 所以a+b的取值范围是(-1,3]. (14分)

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[阅卷老师手记] 本题第(2)问命题新颖,一改常考命题方 式,不是证明不等式恒成立问题,而是已知不等式恒成 立,去求参数的范围,解答时,不仅与线性规划相结合,

而且充分利用了第(1)问的两个结论,这一步值得我们进
行反思,对于一个有递进关系的综合问题,命题者常常通 过前一问的结论隐性地设置后一问的条件,因此有效地利

用前一问的结论(即把这个结论也作为题目的新的条件)去
解答后问,是我们解答综合性问题的一种思维习惯和解题 方式.

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利用导数法求解函数最值的基本步骤是:
第一步:求导:根据基本初等函数的导数以及求导法则准 确求出函数的导函数.

第二步:定零点:令导函数等于零求出导函数的零点.
第三步:定单调性:利用导函数的零点将给定区间分为多 个单调区间,根据导函数的符号确定函数的单调性. 第四步:求最值:求出函数在每个单调区间上的端点值与 函数的极值,比较它们的大小,从而确定最值.

第五步:回顾反思:利用导数法求解函数最值应该注意两
个方面的问题,一是函数的定义域,函数与其导函数的定 义域可能不一致;二是确定函数在某个区间上的最值时, 注意极值与最值的区别.
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第4讲 定积分的概念与微积分基本定理
【2014年高考会这样考】 1.考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定 理. 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点 的运动路程.

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考点梳理
1.定积分 (1)定积分的定义及相关概念
如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 用分点 a=x0<x1<?xi -1<xi<?<xn=b,将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在 每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作 n n b- a ? f(ξi)Δx= ? n f(ξi) 和式_______________________ ,当 n→∞时,上述和 i= 1 i= 1 式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f(x)在区间[a, b b]上的定积分,记作? ? f(x)dx. ?
?a

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b 在? ? f(x)dx 中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区 ?
?

a

[a,b] 叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,___ 间_______ x 叫做积

f(x)dx 叫做被积式. 分变量,_______ (2)定积分的性质 ?b k ? f(x)dx ? ?b ? ①? kf ( x )d x = _________ (k 为常数). a ?
?b f1(x)dx± ? f2(x)dx ? ?b ? a a ②? [ f f 1(x)± 2(x)]dx=________________. ?

?a

?b ? ? ?

f(x)dx c ?b a ③___________ =? ? f(x)dx+? f(x)dx(其中 a<c<b). ? ?
?a ?c

?a

?b ? ? ?

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2.微积分基本定理

如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=
b F(b)-F(a) ,这个结论叫微积 f(x),那么? ? f(x)dx = ____________ ?
?a

分基本定理,又叫牛顿—莱布尼兹公式.
3.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不

一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来定:

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设阴影部分面积为 S. b ①S=? ? f(x)dx; ?
?a

b ②S=-? ? f(x)dx; ?
?a

c ?b ③S=? ? f(x)dx-? f(x)dx; ? ?
?

[f(x)-g(x)]dx a ④S=? f ( x )d x - ? g(x)dx=_________________. ? ?
a ?b
?a ?

c ?b

?b ? ? ?

?a

(2)匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函 数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
? a ____________.

b s= ? ? v(t)dt ?

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【助学· 微博】 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函 数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.

两条结论
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正, 当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负,当

位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相
等时,定积分的值为零. (2)当定积分在物理中应用时,要知道加速度对时间积分 为速度,速度对时间积分是路程.
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三条性质 (1)常数可提到积分号外;

(2)和差的积分等于积分的和差;
(3)积分可分段进行.

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考点自测
1.下列积分的值等于1的是
1 A.? ? xdx ?
?0

(

).

1 B.? ? (x+1)dx ?
?0

C. 1 dx

?1 ? ? ?0

1 D. dx 2
?1 ? ? ?0

解析

?1 ? ?1 ? l dx=x? ? ?0 ?
0

=1.

答案

C

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1 x 2.(2011· 福建)? ? (e +2x)dx 等于 ?
?0

(

).

A.1

B.e-1
?1 ? ? ?0

C.e

D.e+1

解析
答案

x 2 ? 1 ? e + x ?? (e +2x)dx= ?0=(e+1)-1=e. x

C

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π π 3.(2011· 湖南)由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos 3 3 x 所围成的封闭图形的面积为 ( ).

1 A. 2

B.1

3 C. 2

D. 3

答案

D

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4.(人教A版教材习题改编)汽车以v=(3t+2)m/s作变速直
线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 ________.
解析
? ? 2 s= ? ? (3t+2)dt=? ? ? ?
1

?? ?3 ? 32 3 ? 2 t +2t??1= ×4+4-? +2? 2 2 ?? ?2 ?

7 13 =10- = (m). 2 2
答案 13 m 2

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5.(2012· 江西)计算定积分

(x2+sin x)dx=________.

解析 ∴
答案

?1 3 ∵?3x -cos ?

? x?′=x2+sin ?

x,

(x +sin
2 3

2

? x)dx=? ? ?

?? 1 3 2 ? 1 x -cos x??-1= . 3 3 ??

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热点突破8——定积分模型方法示例
【命题研究】 定积分及其应用是新课标的新增内容,近 三年在高考题中经常出现,一般考查定积分的计算及 其在几何上的应用,主要以填空题或选择题的形式出 现,难度较易.

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一、求分段函数(带绝对值的函数)的积分

(1)分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几段定积分的
和的形式. (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的,一 般按照原函数分段的情况分,无需分得过细.

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【真题探究 1】? (2012· 上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线 段 ABC , 其 中
?1 ? A(0,0) 、 B ?2,5? 、 C(1,0) . 函 数 ? ?

y=

xf(x)(0≤x≤1) 的 图 象 与 x 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 为 ________. [教你审题] 求分段函数解析式,根据定积分的几何意义求

图形面积. [解法] 先求出 y=f(x),再用定积分求 面积. 1 ? ?10x,0≤x≤2, y=f(x)=? ?-10x+10,1<x≤1. ? 2
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1 ? 2 ?10x ,0≤x≤2, ∴xf(x)=? ?-10x2+10x,1<x≤1, ? 2

5 [答案] 4 [反思] 被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下

边界函数,当某一边界是不同函数的图象时要分段去求.
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二、求奇偶函数在对称区间上的定积分 (1)若f(x)为偶函数,且在区间[-a,a]上连续,则

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【真题探究2】? (2012· 湖北)已

知二次函数y=f(x)的图象如
图所示,则它与x轴所围图形 的面积为
2π A. 5 4 B. 3

(
3 C. 2

).
π D. 2

[教你审题] 根据图形求二次函数f(x)的解析式,根据奇偶 函数积分的性质求图形面积.

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[解法] 根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0).因 为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即 a=-1.所以 f(x) =-(x+1)(x-1)=1-x2.
2 2 ?1 所以 S=? - 1(1 - x )d x = 2 ? (1-x )dx 1 ? ?
?0

=2

? 1 3??1 ? 1? 4 ?x- x ??0=2?1- ?= . 3 ?? 3? 3 ? ?

[答案] B
[反思] 利用定积分的几何意义求定积分必须准确理解其几 何意义,同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问

题.
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