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山东省莘县一中2010届高三数学上学期第二次月考(理)新人教版


山东莘县一中 2010 届高三第二次月考 数 学 试 题 ( 理)
一.选择题(12 × 5=60) 1. 设全集是 U = {( x, y ) | x, y ∈ R}, A = {( x, y ) | y = x + 2}, B = ?( x, y ) | 则 A I CU B = A.

? ?

y?4 ? = 1?, x?2 ?
( )

φ

B. (2,4)

C. B

D.

{(2,4)}

2. 函数 f ( x ) = x 2 + 2( a ? 1) x + 2 在区间( ? ∞,4 )上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 ( A. [3,+∞ )

)
2

B. ( ? ∞,?3]

C.

{? 3}

D. ( ? ∞,5 )

3. 已知不等式 ax ? bx ? 1 ≥ 0 的解集是 ??

? 1 1? ,? ? ,则不等式 x 2 ? bx ? a < 0 的解集是 ? 2 3?
( ) B. ( ? ∞, 2 ) U (3,+∞) D. ( ? ∞, ? U ? ,+∞ )

A. (2,3)

C. ( ,

1 1 ) 3 2

1? 3?

?1 ?2

4. 关于函数 f ( x ) = 3 x ? 3 ? x ( x ∈ R ), 下列三个结论正确的是 (1) f ( x ) 的值域为 R; (2) f ( x ) 是 R 上的增函数; (3) ?x ∈ R, f ( ? x ) + f ( x ) = 0 成立. A. (1)(2)(3) B. (1)(3)
n *

(

)

C. (1)(2)

D. (2)(3) ( )

5. 若数列 {a n } 满足 a n = q ( q > 0, n ∈ N ) ,以下命题正确的是

(1)

{a 2n }是等比数列;

(2)

?1? ? ? 是等比数列; ? an ?

(3) {lg a n } 是等差数列;

(4)

{lg a }是等差数列;
2 n

A. (1)(3) 6. 已知 f ( n) = sin

B. (3)(4)

C. (1)(2)(3)(4)

D.(2)(3)(4) ( )

nπ , f (1) + f (2) + L + f (2007) = 3
B.

A.

3

3 2

C. 0

D. --

3 2
( )

7. 设 α , β 为钝角, sin α =

5 3 10 , cos β = ? ,α + β = 5 10 5 π 4
C.

A.

3 π 4

B.

8. 已知函数 f ( x ) = sin(ωx + A. 关于点 ( C. 关于点 (

π

7 π 4

D.

5 7 π或 π 4 4
( )

π
3

3

)(ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数图象
B. 关于直线 x = D. 关于直线 x =

,0) 对称; ,0) 对称;

π π
4 3

对称;

w.w.^w. k.s .5.u.c.#o@m

π

4

对称; ( D. )

9. 已知向量 a, b 夹角为 60° , a = 3, b = 2, (3a + 5b) ⊥ (m a ? b), m = A.

32 23

B.

29 42

C.

23 42

42 29
( )

10. 不等式组

? ? x ? 2 < 2, 的解集为 ? ?log 2 ( x 2 ? 1) > 1 ?
B.

A. (0, 3 )

( 3 , 2)

C.

( 3 , 4)

D.

(2,4)

11. 已知点 A(2,3),B(--3,--2).若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( A. k ≥

)

3 4

B.

3 ≤k≤2 4
2

C. k ≥ 2 或 k ≤

3 4

D. k ≤ 2

12. 设 F1 , F2 分 别 是 双 曲 线 x ?

y2 =1 的左右焦点。若点 P 在双曲线上,且 9

PF1 ? PF2 = 0 则 PF1 + PF2 =
( A. )

10
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B.

2 10

C.

5

D. 2 5

二. 填空题(4 × 4=16).

13. 光线由点 P(2,3)射到直线 x + y = ?1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为 .

? y ≥ 0, y ?1 ? 14. 实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ≥ 0, 则ω = 的范围 x +1 ?2 x ? y ? 2 ≥ 0, ?
15. 若曲线 y = 2 + 1 与直线 y = b 没有公共点,则 b 的取值范围是
x

.

.

16. P 是双曲线

x2 ? y 2 = 1 的右支上一动点,F 是双曲线的右焦点,已知 A(3,1),则 3
.

PA + PF 的最小值是
三. 解答题(共 74 分).
w.w.^w. k.s.5 .u.c.#o@m

17. (12 分) 已知函数 f ( x) = (1) 求函数 f ( x) 的表达式;

x?b , 它的反函数图象过点(--1,2). x ?1 x?k <0. x ?1

(2) 设 k > 1, 解关于 x 的不等式: f ( x) ?

18. (12 分) 已知函数 f ( x ) = (1 ? tan x ) ?1 + (1) 求函数 f (x ) 的定义域和值域; (2) 求函数 f (x ) 的单调递增区间. 19. (12 分) 在 ?ABC 中, tan A = (1) 求角 C 的大小; (2) 若 ?ABC 最大边长为 17 ,求最小边长.

? ?

2 sin(2 x +

π ?

) , 4 ? ?

1 3 , tan B = . 4 5

20. (12 分)已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x, y 正半轴交于 A,B 两点.O 为原点. (1) 当 ?ABC 面积最小时,求直线 l 的方程; (2) 当 MA ? MB 值最小时, 求直线 l 的方程.

w.w.^w. k. s.5.u.c.#o@ m

21. (12 分)已知数列

{an } 是等差数列,

a2 = 6, a5 = 18

;数列

{bn } 的前 n 项和是 Tn ,

1 Tn + bn = 1 2 且 .
(Ⅰ) 求数列

{an } 的通项公式;

w.w.^w. k.s.5 . u.c.#o@m

(Ⅱ) 求证:数列 (Ⅲ) 记

{bn } 是等比数列;
,求

cn = an ? bn

{cn } 的前 n 项和 Sn

22. (14 分) 已知椭圆的一个顶点为 A -1)焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y + 2 2 = 0 (0, , 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y = kx + m ( k ≠ 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM = AN 时,求 m 的取值范围.

w.w.^ w. k.s.5. u.c.#o@m

参 考 答 案
一、选择题(12 × 5=60) 1-5DBAAC 二、填空题(4 × 4=16). 13. 4 x ? 5 y + 1 = 0 15. [? 1,1] 三、解答题(共 74 分).
w.w.^w. k.s.5. u.c.#o@m w.w.^w.k.s.5.u.c.#o@m

6-10ACABC

11-12CB

14. ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

16. 26 ? 2 3

17. 解: (1)由条件知

2?b = ?1 ? b = 3 2 ?1

∴ f ( x) =

x?3 x ?1

(2)

?x ? 1 ≠ 0 x?3 x?k ( x ? 3)( x ? k ) ? <0? <0?? x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2 ?( x ? 3)( x ? k ) < 0

当 k > 3 时,得 3 < x < k 。 当 1 < k < 3 时,得 k < x < 3 。 当 k = 3 时,得 x ∈ φ 。 综 上得当 k > 3 时,得 {x 3 < x < k } 。 当 1 < k < 3 时,得 x k < x < 3} 。 当 k = 3 时,得 x ∈ φ 。 18.解: f ( x ) = (1 ?

{

sin x π π )(1 + 2 sin 2 x cos + 2 cos 2 x sin ) cos x 4 4 sin x = (1 ? )(2 sin x cos x + 2 cos 2 x) = 2(cos x ? sin x)(cos x + sin x) cos x = 2 cos 2 x

① 定义域为 {x | x ≠ kπ + ②单调增区间为 ( kπ ?

π

π
2

2

, k ∈ Z } Q 2 x ≠ 2kπ + π ,2 cos 2 x ≠ ?2, 值域为(?2,2]
w.w.^w. k. s.5.u.c.#o@m

, k π ], k ∈ Z

19 . ① tan C = ? tan( A + B ) = ? ②Q C =

3π ,AB 边最大,即 | AB |= 17 4

tan A + tan B 3π = ?1 ,又 0 < C < π ,∴C = 1 ? tan A tan B 4

Q tan A < tan B, A, B为锐角, A < B ∴

角 A 最小,BC 边最小

1 ? 17 ?tan A = 由? 且 A 为锐角得 sin A = 4 17 ?sin 2 A + cos 2 A = 1 ?
由正弦定理得 BC = AB
w.w.^ w. k.s.5. u.c.#o@m

sin A = 2 ,最小边为 2 sin C

20.解: (1)直线 l 如果通过第一、二、三或第一、三、四象限时, ?AOB 面积逐渐增大, 即这时的面积函数为增函数,不存在最值。因此只考虑与 x, y 轴正向相交的 情况,此时斜率 k < 0 。 设 l : y ? 1 = k ( x ? 2) 则 A( 2 ?

1 ,0), B (0,1 ? 2k ) k

∴S =

1 1 1? 1 (1 ? 2k )(2 ? ) = ?4 + (?4k + )] ≥ 4 2 k 2? ?k 1 1 ,即 k = ? 时等号成立。 2 ?k

当且仅当 ? 4k = 故 l : y ?1 = ?

1 ( x ? 2) ,即 x + 2 y ? 4 = 0 。 2

(2) MA ? MB = 当且仅当 k =
2

1 1 + 1 ? 4 + 4k 2 = 2 k 2 + 2 + 2 ≥ 4 2 k k

1 ,即 k = ±1 时等号成立。 k2

∴l : x ? y ?1 = 0 或 x + y ? 3 = 0
数学驿站 www.maths168.com 21.解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,则: a2 = a1 + d , a5 = a1 + 4d , ∵ a2 = 6 , a5 = 18 ,∴ ?
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?a1 + d = 6 ,∴ a1 = 2, d = 4 . ?a1 + 4d = 18

∴ an = 2 + 4( n ? 1) = 4n ? 2 . (Ⅱ)当 n = 1 时, b1 = T1 ,由 T1 +

1 2 b1 = 1 ,得 b1 = . 2 3 1 1 当 n ≥ 2 时,Q Tn = 1 ? bn , Tn ?1 = 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn = (bn ?1 ? bn ) . 2 2 1 ∴ bn = bn ?1 . 3

2 1 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 2 1 n ?1 1 n (Ⅲ)由(2)可知: bn = ? ( ) = 2 ? ( ) . 3 3 3 1 n 1 n ∴ cn = an ? bn = (4n ? 2) ? 2 ? ( ) = (8n ? 4) ? ( ) . 3 3
∴ {bn } 是以
w.w.^w. k.s.5.u.c.# o@m



1 1 1 1 S n = c1 + c2 + L + cn ?1 + cn = 4 × ( ) + 12 × ( )2 + L + (8n ? 12) × ( ) n ?1 + (8n ? 4) × ( ) n . 3 3 3 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n +1 ∴ S n = 4 × ( ) + 12 × ( ) + L + (8n ? 12) × ( ) + (8n ? 4) × ( ) . 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n +1 ∴ S n ? S n = S n = 4 × + 8 × ( ) + 8 × ( ) + L + 8 × ( ) ? (8n ? 4) × ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 n ?1 ( ) ? [1 ? ( ) ] 4 1 3 = + 8× 3 ? (8n ? 4) × ( ) n +1 1 3 3 1? 3 8 1 1 = ? 4 × ( ) n ?1 ? (8n ? 4) × ( ) n +1 3 3 3 1 n ∴ S n = 4 ? 4( n + 1) ? ( ) 3
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22.解(1)依题意可设椭圆方程为

x2 + y 2 = 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a2
x2 故所求椭圆的方程为 + y2 = 1 3

a2 ?1 + 2 2 2

=3

解得 a = 3
2

? y = kx + m ? (2) P 为弦 MN 的中点, ? x 2 设 由 得 (3k 2 + 1) x 2 + 6mkx + 3( m 2 ? 1) = 0 + y2 = 1 ? ?3
由于直线与椭圆有两个交点,∴ ? > 0, 即 m < 3k + 1
2 2



∴ xp =
∴ k Ap =

xM + x N 3mk =? 2 2 3k + 1
yp +1 xp =? m + 3k 2 + 1 3mk

从而 y p = kx p + m =

m 3k 2 + 1

又 AM = AN ,∴ AP ⊥ MN ,则

?

m + 3k 2 + 1 1 =? 3mk k
2

即 2m = 3k + 1
2



把②代入①得 2m > m

解得 0 < m < 2

由②得

k2 =

2m ? 1 > 0 解得 3

m>

1 2

.故所求 m 的取范围是(

1 ,2 ) 2


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