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1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)(2)


[读教材· 填要点] 1.绝对值的几何意义

(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点A到 原点 的
距离.

(2)对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分
别为A、B,那么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的 距离 ,即线段AB的 长度 .

2.绝对值三角不等式
(1)如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时, 等号成立. (2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a,b换成向量a, b,则它的几何意义是 三角形两边之和大于第三边 . 3.三个实数的绝对值不等式 如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.

[小问题· 大思维]

1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系?
提示:|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么? 提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;不等式|a|-

|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立
的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3.绝对值不等式|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何解释是什么? 提示:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C, 当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;当点B 不在点A,C之间时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.

[研一题] [例 1] (1)以下四个命题:
①若 a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|; ②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1; x 2 ③若|x|<2,|y|>3,则|y|< ; 3 |A|+|B| 1 ④若 AB≠0,则 lg ≥ ( lg|A|+lg|B|). 2 2 其中正确的命题有 A.4 个 C.2 个 B.3 个 D.1 个 ( )

|a+b| (2)不等式 ≥1 成立的充要条件是________. |a|-|b|
[解析] 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要

条件等问题.解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理,结 合不等式的性质、基本定理等一一验证;解答问题(2)应分|a| >|b|与|a|<|b|两类讨论. (1)|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a| =|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确; 1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确;

1 1 |y|>3,∴ < . |y| 3 |x| 2 又∵|x|<2,∴ < .③正确; |y| 3 |A|+|B| 2 1 2 ( ) = (|A| +|B|2+2|A||B|), 2 4 1 ≥ (2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|, 4 |A|+|B| ∴2lg ≥lg|A||B|. 2 |A|+|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|+lg|B|),④正确. 2 2

(2)当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0, ∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|. |a+b| ∴必有 ≥1. |a|-|b| |a+b| 即|a|>|b|是 ≥1 成立的充分条件. |a|-|b| |a+b| 当 ≥1 时,由|a+b|>0, |a|-|b| 必有|a|-|b|>0. |a+b| 即|a|>|b|,故|a|>|b|是 ≥1 成立的必要条件. |a|-|b| 故所求为:|a|>|b|.

[答案] (1)A

(2)|a|>|b

[悟一法] (1)定理|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是:

三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于
第三边. (2)对| 定理的构 a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的诠释: 大小 特征 等号成立的条件 成部分 关系 中间部分为|a+b|时, ab≤0 , 且|a|≥|b|时,左边的等号成 立 ; 中 间 部 分 为 | a - b| 时 ,

左端

可能是

≤中间
部分

|a|-|b| 负的

ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等
号成立.

定理的构 成部分

特征

大小 关系

等号成立的条件
用“+”连接时,ab≥0,右端取 等号,ab≤0,且|a|≥|b|时,左

中间部分 肯定是 ≥左端 端取等号;用“-”连接时, |a± | b 非负的 ≤右端 ab≥0 ,

且|a|≥|b|时,左端取等号,

ab≤0,右端取等号.
右端|a| 是非
+|b| 负的

≥中间
部分

中间部分为|a+b|时,ab≥0,等 号成立;中间部分为|a-b|时,

ab≤0,等号成立.

[通一类] 1.(1)若x<5,n∈N+,则下列不等式: n n ①|xlg |<5|lg |; n+1 n+1
n n ②|x|lg <5lg ; n+1 n+1 n n ③xlg <5|lg |; n+1 n+1 n n ④|x|lg <5|lg |. n+1 n+1 其中,能够成立的有________.

|a|-|b| |a|+|b| (2)已知|a|≠|b|,m= ,n= ,则 m,n 之间的 |a-b| |a+b| 大小关系是 A.m>n B.m<n D.m≤n ( )

n 解析:(1)∵0< <1. n+1 n ∴lg <0. n+1

C.m=n

由 x<5,并不能确定|x|与 5 的关系, n ∴可以否定①②③,而|x|lg <0,④成立. n+1

(2)∵|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|, |a|-|b| |a-b| ∴m= ≤ =1, |a-b| |a-b| |a|+|b| |a|+|b| n= ≥ =1, |a+b| |a|+|b| ∴m≤1≤n.

答案:(1)④

(2)D

[研一题]
[例 2] 已知 a,b∈R 且 a≠0, |a2-b2| |a| |b| 求证: ≥ - . 2|a| 2 2

[精讲详析]

本题的特点是绝对值符号较多,直接去掉

绝对值符号较困难.从所证的不等式可以看出,不等式的左
边为非负值,而不等式右边的符号不定.如果不等式右边非 正,这时不等式显然成立;当不等式右边为正值时,有|a|> |b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手,结合作差比较法, 可以使问题得以解决.

①若|a|>|b|, |a+b||a-b| 左边= 2|a| |a+b||a-b| |a+b||a-b| = ≥ |a+b+a-b| |a+b|+|a-b| = . 1 1 + |a+b| |a-b| 1

1 1 1 1 ∵ ≤ , ≤ , |a+b| |a|-|b| |a-b| |a|-|b| 1 1 2 ∴ + ≤ . |a+b| |a-b| |a|-|b|

|a|-|b| ∴左边≥ =右边. 2 ②若|a|<|b|, 左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立. ③若|a|=|b|,原不等式显然成立. 综上可知原不等式成立.

[悟一法] 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较

简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转
化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定 理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项 证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式, 往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,

或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

[通一类] 2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1, 求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

证明:|f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|· |x +a-1|<|x+a-1| =|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1| ≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).

[研一题]
[例3] 已知a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b

+4|≤4.
求|a|+|b|的最大值. [精讲详析] 本题考查绝对值三角不等式的应 用.解答本题可先求出|a+b|,|a-b|的最值,再通过|a| +|b|与它们相等时进行讨论求出最大值.

|a+b|=|(a+b+1)-1|
≤|a+b+1|+|1-1|≤2, |a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|

≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5 ≤3+2×4+5=16. ①若 ab≥0,则|a|+|b|=|a+b|≤2; ②若 ab<0,则|a|+|b|=|a-b|≤16.
?a+b+1=1 ? 而当? ?a+2b+4=-4 ?

,即 a=8,b=-8 时,

|a|+|b|取得最大值,且|a|+|b|=|a-b|=16.

[悟一法] (1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,本题直

接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用|a+b|,|a-b|的最值,
及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理, 达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已. (2)求y=|x+m|+|x+n|和y=|x+m|-|x+n|的最值,其主 要方法有: ①借助绝对值的定义,即零点分段; ②利用绝对值几何意义;

③利用绝对值不等式性质定理.

[通一类] 3.(1)求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值;(2)求函
数y=|x-4|+|x-3|的最小值. 解:(1)法一:||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. ∴ymax=4,ymin=-4.

法二:把函数看作分段函数. ?4,x<-1, ? y=|x-3|-|x+1|=?2-2x,-1≤x≤3, ?-4,x>3. ? ∴-4≤y≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. (2)|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1 ∴ymin=1.

本课时主要考查绝对值三角不等式的应用,2012年 江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中 的应用,是高考模拟的一个新亮点.

[考题印证]
1 (2012· 江苏高考)已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y| 3 1 5 < ,求证:|y|< . 6 18

[命题立意]

本题综合考查不等式的性质和绝对值三角

不等式的的应用.

[证明] +|2x-y|,

因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|

1 1 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 2 1 5 从而 3|y|< + = , 3 6 6 5 所以|y|< . 18

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