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2019版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测试卷 新人教A版选修2-2

第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测试卷(三) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 i 为虚数单位,则复数 z=5i(3-4i)在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 考点 复数的乘除法运算法则 题点 运算结果与点的对应 答案 A 2.“复数 z 是实数”的充分不必要条件为( A.|z|=z C.z 是实数 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 A 解析 由|z|=z 可知 z 必为实数, 但由 z 为实数不一定得出|z|=z, 如 z=-2, 此时|z|≠z, 故“|z|=z”是“z 为实数”的充分不必要条件. 3.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 a+i=2-bi,则(a+bi) 等于( A.3-4i C.4-3i 考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 答案 A 解析 ∵a,b∈R,a+i=2-bi, ∴a=2,b=-1, ∴(a+bi) =(2-i) =3-4i.
2 2 2 2

)

B.第二象限 D.第四象限

)

B.z= z D.z+ z 是实数

)

B.3+4i D.4+3i

z
4.若复数 z 满足 A.-1-i =i,其中 i 是虚数单位,则 z 等于( 1-i B.1+i )

1

C.1-i 考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数 答案 C 解析

D.-1+i

z =(1-i)i=-i2+i=1+i,z=1-i.
)
2

5.下列各式的运算结果为纯虚数的是( A.(1+i)
2

B.i (1-i)
2

C.i(1+i)

D.i(1+i)

考点 复数的乘除法运算法则 题点 复数的乘除法运算法则 答案 A 解析 A 项,(1+i) =1+2i+i =2i,是纯虚数; B 项,i (1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数; C 项,i(1+i) =i(1+2i+i )=2i =-2,不是纯虚数; D 项,i(1+i)=i+i =-1+i,不是纯虚数. 故选 A. → → → 6.在复平面内,O 是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,i 为虚数单 → 位,那么BC对应的复数为( A.4+7i C.4-4i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 C → → → → → → → → → 解析 因为OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,BC=OC-OB=OC-(OA+AB), → 所以BC对应的复数为 3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i. 1 3 7.已知复数 z=- + i,i 为虚数单位,则 z +|z|等于( 2 2 1 3 A.- - i 2 2 1 3 C. + i 2 2 考点 复数加减法的运算法则 题点 复数加减法的运算法则
2
2 2 2 2 2 2 2

) B.1+3i D.-1+6i

)

1 3 B.- + i 2 2 1 3 D. - i 2 2

答案 D 1 3 解析 因为 z=- + i, 2 2 1 3 所以 z +|z|=- - i+ 2 2 1 3 = - i. 2 2 8.已知 i 是虚数单位,若 z(i+1)=i,则|z|等于( A.1 3 2 B. 2 2 1 2 )

?-1?2+? 3?2 ? 2? ? ? ? ? ?2?

C.

D.

考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 B 解析 ∵z(i+1)=i,∴z= 则|z|= 2 . 2
2 016

i i?1-i? 1 = = (1+i), i+1 2 2

9.已知复数 z 满足(1-i)z=i A. 1 2

(其中 i 为虚数单位),则 z 的虚部为( 1 B.- 2 1 D.- i 2

)

1 C. i 2 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 B 解析 ∵i =1,∴i
4 2 016

=(i ) =1,

4 504

1 1+i 1 1 1 ∴z= = ,则 z = - i,∴ z 的虚部为- . 1-i 2 2 2 2 2 2 10.已知关于复数 z= 的四个命题:p1:|z|=2,p2:z =2i,p3:z 的共轭复数为 1+i, 1+i

p4:z 在复平面内对应的点位于第四象限.其中的真命题为(
A.p2,p3 C.p2,p4 考点 复数的乘除法运算法则 B.p1,p4 D.p3,p4

)

3

题点 乘除法的综合应用 答案 D 2 2?1-i? 解析 z= = =1-i, 1+i ?1+i??1-i?

p1:|z|= 1+?-1?2= 2. p2:z2=(1-i)2=-2i. p3:z 的共轭复数为 1+i,真命题. p4:z 在复平面内对应点的坐标为(1,-1),位于第四象限,真命题.故选 D.
11.已知复数 z1=2+i,z2 在复平面内对应的点在直线 x=1 上,且满足 z 1·z2 是实数,则

z2 等于(
1 A.1- i 2 1 C. +i 2

) 1 B.1+ i 2 1 D. -i 2

考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的综合应用 答案 B 解析 由 z1=2+i,得 z 1=2-i, 由 z2 在复平面内对应的点在直线 x=1 上, 可设 z2=1+bi(b∈R), 则 z 1·z2=(2-i)·(1+bi)=2+b+(2b-1)i. 1 又 z 1·z2 为实数,所以 2b-1=0,b= . 2 1 所以 z2=1+ i. 2 12.如果复数 z 满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是( A.1 C.2 考点 复数几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决距离、角、面积 答案 A 解析 设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z -2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数 z 的几何意义为线段 Z1Z2,如图所示,问题转化为:动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动,求 ZZ3 的最小值.
4

)

B. 2 D. 5

因此作 Z3Z0⊥Z1Z2 于 Z0,则 Z3 与 Z0 的距离即为所求的最小值,|Z0Z3|=1.故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 i 是虚数单位,若

a+3i
i

=b+i(a,b∈R),则 ab 的值为________.

考点 复数四则运算的综合应用 题点 与混合运算有关的方程问题 答案 -3 解析 ∵

a+3i
i

=b+i,∴a+3i=(b+i)i,
?a=-1, ? ?b=3, ?

则 a+3i=-1+bi,可得?

∴ab=-3.

3+i 14.已知复数 z= ,i 为虚数单位, z 是 z 的共轭复数,则 z· z =________. 2 ?1- 3i? 考点 共轭复数的定义与应用 题点 与共轭复数有关的综合问题 答案 1 4

1 1 解析 z=- ( 3-i),|z|= , 4 2 1 2 ∴z· z =|z| = . 4 15.已知 m,n∈R,若 log2(m -3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,复数 z=m+ni 的对应点在 直线 x+y-2=0 上,则|z|=________. 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 2 5 解析 由纯虚数的定义知 log2?m -3m-3?=0, ? ? ?log2?m-2?≠0, ? ?m-2>0,
2 2

解得 m=4,所以 z=4+ni. 因为 z 的对应点在直线 x+y-2=0 上, 所以 4+n-2=0,所以 n=-2. 所以 z=4-2i, 所以|z|= 4 +?-2? =2 5.
2 2

5

16.下列说法中正确的是________.(填序号)
?2x-1=y, ? ①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x∈R,y∈?CR,则必有? ?1=-?3-y?; ?

②2+i>1+i; ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数; ④若一个数是实数,则其虚部不存在; 1 3 ⑤若 z= ,则 z +1 对应的点在复平面内的第一象限. i 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 ⑤
?2x-1=y, ? 解析 由 y∈?CR,知 y 是虚数,则? ?1=-?3-y?, ?

不成立,故①错误;两个不全为实数的

复数不能比较大小,故②错误;原点也在虚轴上,表示实数 0,故③错误;实数的虚部为 0, 1 3 故④错误;⑤中 z +1= 3+1=i+1,对应点在第一象限,故⑤正确. i 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)设复数 z=lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i,当 m 为何值时, (1)z 是实数?(2)z 是纯虚数? 考点 复数的概念 题点 由复数的分类求未知数 解
?m -2m-2>0, ? (1)要使复数 z 为实数,需满足? 2 ?m +3m+2=0, ?
2 2 2

解得 m=-2 或-1. 即当 m=-2 或-1 时,z 是实数.
? ?m -2m-2=1, (2)要使复数 z 为纯虚数,需满足? 2 ?m +3m+2≠0, ?
2

解得 m=3. 即当 m=3 时,z 是纯虚数. ?1-i? +3?1+i? 18.(12 分)已知复数 z= . 2-i
2

(1)求 z 的共轭复数 z ; (2)若 az+b=1-i,求实数 a,b 的值. 考点 复数四则运算的综合应用

6

题点 与混合运算有关的方程问题 -2i+3+3i 3+i 解 (1)因为 z= = =1+i, 2-i 2-i 所以 z =1-i. (2)由题意得 a(1+i)+b=1-i, 即 a+b+ai=1-i. 解得 a=-1,b=2. 19.(12 分)已知复数 z1 满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中 i 为虚数单位,a∈R, 若|z1- z 2|<|z1|,求 a 的取值范围. 考点 转化与化归思想在复数中的应用 题点 转化与化归思想的应用 -1+5i 解 因为 z1= =2+3i, 1+i

z2=a-2-i, z 2=a-2+i,
所以|z1- z 2|=|(2+3i)-(a-2+i)| =|4-a+2i|= ?4-a? +4,
2

又因为|z1|= 13,|z1- z 2|<|z1|, 所以 ?4-a? +4< 13,
2

所以 a -8a+7<0, 解得 1<a<7. 所以 a 的取值范围是(1,7). 20.(12 分)已知 z1=m + (1)求实数 m 的值; (2)求 z1· z 2 的值. 考点 复数加减法的运算法则 题点 复数加减法的综合应用 解 (1)z1+z2=(m +2m-3)+?
2 2 2

2

1

m+1

1 i,z2=(2m-3)+ i,m∈R, i 为虚数单位,且 z1+z2 是纯虚数. 2

? 1 +1?i, ? ?m+1 2?
则 m=1.

m +2m-3=0, ? ? ∵z1+z2 是纯虚数,∴? 1 1 ?m+1+2≠0, ?

7

1 1 (2)由(1)得 z1=1+ i,z2=-1+ i, 2 2 1 则 z 2=-1- i, 2 1 ? ? 1 ?? ∴z1· z 2=?1+ i??-1- i? 2 ? ? 2 ?? 3 ? 1 ?2 ?3 ? =-?1+ i? =-? +i?=- -i. 4 ? 2 ? ?4 ? 21.(12 分)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且

z1·z2 是实数,求 z2.
考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的综合应用 解 ∵(z1-2)(1+i)=1-i, 1-i ?1-i? -2i ∴z1-2= = = =-i, 1+i ?1+i??1-i? 2
2

∴z1=2-i. 设 z2=a+2i(a∈R), 则 z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. 又∵z1·z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i. 22.(12 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z ,z-z 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决距离、角、面积问题 解 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a -b +2abi, 由题意得 a +b =2 且 2ab=2, 解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z =2i,z-z =1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=1. 当 z=-1-i 时,z =2i,z-z =-1-3i, 所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以 S△ABC=1.综上,△ABC 的面积为 1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8

9



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