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广西柳铁一中2010届高考模拟冲刺文科数学试题


柳铁一中数学(文科)2010 年高考模拟冲刺试题
第Ⅰ卷 选择题:( :(本卷共 小题, 一,选择题:(本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知 A = x 2 ≤ x ≤ 7 , B = x m + 1 < x < 2m 1 ≠ ,若 A ∪ B = A ,则(

{

}

{

}

)

(A) 3 ≤ m ≤ 4 (B) 3 < m < 4 (C) 2 < m < 4 (D) 2 < m ≤ 4 2.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从到会教师中随机挑选一人表演 节目.如果每位教师被选到的概率相等,而且选到男教师的概率为 会的教师共有( (A) 360 人 ) (B) 240 人

9 ,那么参加这次联欢 20
(D) 120 人

(C) 144 人
1 2

3.已知函数① y = 3x ;② y = ln x ;③ y = x 1 ;④ y = x .则下列函数图像(在第一象限 部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是( )

Y 1 O 1 O

Y 1 O

Y 1 O

Y

1

X

1

X

1

X

1

X

(A) ②①③④ (B)②③①④ (C) ④①③② (D) ④③①② 4.设 a, b ∈ R ,则" a + b = 1 "是" 4ab ≤ 1 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不是充分条件也不是必要条件 2 5.为使关于 x 的不等式|x-1|+|x-2|≤a +a+1(a∈R)的解集在 R 上为空集, a 的取值 则 R 范围是( ) A.(0, 1) B.(-1, 0) C.(1, 2) D.(-∞, -1)
10 6.设函数 f ( x) = C 20 x ,集合 A = { 10 , 9 , 8 , , 9 , 10 } ,判断 f (x) 在 A 上的奇偶性为

(

) (A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数 (D)既是奇函数又是偶函数

7.将函数 y = cos x 的最小值为( (A) )



4π 的图象向左平移 φ (φ > 0) 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 3
(B)

π
6

π
3

(C)

2π 3

(D)

4π 3
( )

8.已知 | a |= 2,| b |= 6, a (b a ) = 2 ,则 | a λ b | 的最小值为 (A)4 (B) 2 3 (C)2

(D) 3

9.对于 n ∈ N * ,抛物线 y = n 2 + n x 2 (2n + 1)x + 1 与 x 轴相交于 An,Bn 两点,以 An Bn 表示

(

)

该两点间的距离,则 A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 + + A2009 B2009 的值是( (A)
2007 2008

)

(B)
2

2008 2007
2

(C)

2008 2009

(D)

2009 2010

10.若 P ( a, b) 是双曲线 x 4 y = m( m ≠ 0) 上一点,且满足 a 2b > 0, a + 2b > 0 ,则该 点 P 一定位于双曲线( ) (A)右支上 (B)上支上

(C)右支上或上支上

(D)不能确定

11.若函数 f ( x ) 的导函数 f ′( x ) = x 2 4 x + 3 ,则函数 f ( x + 1) 的单调递减区间是( A.(0,2) B.(1,3) C.(-4,-2) D.(-3,-1)

)

12.



f (n )





n 2 +1 n ∈ N *

(

)















,



14 2 + 1 = 197 ,1 + 9 + 7 = 17 , f (14 ) = 17 ,
记 f1 (n ) = f (n ), f 2 (n ) = f [ f1 (n )], , f k +1 (n ) = f [ f k (n )], k ∈ N ,则 f 2010 (8) 的值是(
*

)

(A)3

(B)5

(C)8

(D)11

第Ⅱ卷 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.(注意:在 填空题: 小题, 注意: 注意 .... 试题卷上作答无效) ........
13.已知 2 x
2 的展开式的第 7 项为 21 ,则 x 的值为 2 4
9

. .

14.已知圆 x 2 + y 2 + 4 x + 3 = 0 与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0 ) 的准线相切,则 p = 15.数列 {an } 满足递推式 an = 3an 1 + 3 1(n ≥ 2 ) ,又 a1 = 5 ,则使得
n

列的实数 λ =

an + λ 为等差数 3n

.

16.关于正四棱锥 P ABCD ,给出下列命题: ①异面直线 PA, BD 所成的角为直角; ③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角; 角; 其中正确的命题序号是____________ ②侧面为锐角三角形; ④相邻两侧面所成的二面角为钝

小题, 解答应写出文字说明, 三,解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证 解答题: 明过程或演算步骤. 明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: 注意 ............ 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 c = a + b ab .
2 2 2

(Ⅰ)若 tan A tan B =

3 (1 + tan A tan B ) ,求角 B ; 3

(Ⅱ)设 m = (sin A,1) , n = (3, cos 2 A) ,试求 m n 的最大值.

18. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: 注意 ............ "上海世博会"将于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日在上海举行.世博会"中国馆贵宾厅" 作为接待中外贵宾的重要场所, 陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄, 海纳百川的重要文化载 体,为此,上海世博会事物协调局将举办"中国 2010 年上海世博会'中国馆贵宾厅'艺 术品方案征集"活动.某地美术馆从馆藏的中国画,书法,油画,陶艺作品中各选一件代表 作参与应征,假设代表作中中国画,书法,油画入选"中国馆贵宾厅"的概率均为 陶艺入选"中国馆贵宾厅"的概率为

1 , 4

1 " 3

(Ⅰ)求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选"中国馆贵宾厅"的概率. (Ⅱ)求该地美术馆选送的四件代表作中至多有两件作品入选"中国馆贵宾厅"的概率

注意: 19. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ............
( 如 图 , 直 角 △BCD 所 在 的 平 面 垂 直 于 正 △ABC 所 在 的 平 面 , PA⊥ 平 面 ABC , DC = BC = 2 PA , E 为 DB 的中点, (Ⅰ)证明:AE⊥BC; (Ⅱ)线段 BC 上是否存在一点 F 使得 PF 与面 DBC 所成的角 为 60° ,若存在,试确定点 F 的位置,若不存在,说明理由.

D

E P C F A B

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: 注意

............

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 = (Ⅰ)求数列 {S n } 的通项公式;

4 n , (4 1)a n = 3 4 n 1 S n 3

(Ⅱ)设 bn =

n , 求为数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 3an

21. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: 注意

............
2 2

已知函数 f ( x) = x + 2 x + x 4, g ( x) = ax + x 8( a > 2)
3

(1)求函数 f (x ) 的极值; (2)若对任意的 x ∈ [0,+∞) ,都有 f ( x ) ≥ g ( x ) ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意:

............

已知双曲线

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的右顶点为 A,右焦点为 F,右准线与 x 轴交于点 B, a2 b2

且与一条渐近线交于点 C,点 O 为坐标原点,又 | OA |= 2 | OB | , OA OC = 2 过点 F 的直线 与双曲线右支交于点 M,N,点 P 为点 M 关于 x 轴的对称点. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)证明:B,P,N 三点共线;

答案: 答案: 一.DDDAB

ABDDA AC 2 或 6;

1 二. ; 3
三.解答题



1 ; 2

(1)(2)(3)(4)

17 c = a + b ab cos C =
2 2 2

a 2 + b2 c2 1 π = C = ,…….2 分 2ab 2 3

(1) 由 tan A tan B =

3 3 (1 + tan A tan B ) tan( A B ) = 3 3

2π 2π π < A B < ∴ A B = …….4 分 3 3 6 2π π ∴ B = …….5 分 又∵ A + B = 3 4 3 2 17 (2) m n =3sinA+ cos2A=-2(sinA- ) + …….8 分 4 8 2π 17 ∵ A ∈ (0, ) sin A ∈ (0,1] m n 的最大值为 …….10 分 3 8 1 3 2 1 3 3 1 27 1 0 ………………………….6 分 18.(1) P1 = C 3 ( )( ) (1 ) + C 3 ( ) = 4 4 3 4 3 64

(2) P2 = P + C3 ( )( ) 1
1

1 3 4 4

2

1 1 3 1 3 2 15 + C32 ( ) 2 ( )(1 ) + ( )3 ( ) = ………….12 分 3 4 4 3 4 3 16

19.证明:(I)取 BC 的中点 O,连接 EO,AO, EO//DC 所以 EO⊥BC ………………………………………………………………….…1 分 因为 ABC 为等边三角形,所以 BC⊥AO ……………………………………………3 分 所以 BC⊥面 AEO,故 BC⊥AE …………………………………………………………4 分 (II)方法一:连接 PE,因为面 BCD⊥面 ABC,DC⊥BC 所以 DC⊥面 ABC,而 EO

1 DC 2

所以 EO PA,故四边形 APEO 为矩形 …………………………………………7 分 易证 PE⊥面 BCD,连接 EF,则 ∠ PFE 为 PF 与面 DBC 所成的角,即 ∠ PFE= 60° …9 分 在 Rt△ PEF 中,因为 PE =AO=

3 1 BC,故 EF= BC, 2 2

因为 BC=DC,所以 EF=

1 DC,又 E 为 BD 的中点, 2

所以 F 为 BC 的中点……………………………………………………………………..12 分 方法二:以 BC 的中点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴, OE 所在的直线为 z 轴建立空间坐标系,不妨设 BC=2,则 P ( 3, 0,1) ,设 F (0, y , 0) ,



PF = ( 3, y, 1) ,………………………………………………………………………7 分
而平面 BCD 的一个法向量 n = (1, 0, 0) ,则由

PF n PF n

=

3 ,………………………………………………………………………..9 分 2

解得 y=0,故 F 为 BC 的中点.……………………………………………………..12 20.(1) n ≥ 2 时, a n = S n S n 1

(4 n 1)an = 3 4 n 1 S n (4 n 1)( S n S n 1 ) = 3 4 n 1 S n (4 n 1 1) S n = (4 n 1) S n1

∴ 数列 {

Sn } 是公比为 1 的等比数列 4 1
n



Sn S 4 4 = 1 = S n = (4 n 1) …………………………..6 分 4 1 3 9 9
n

(2)∴ S n =

4 n 4n n (4 1) 代入 (4 n 1)an = 3 4 n 1 S n an = bn = n 9 3 4

∴Tn =

n 1 2 3 + 2 + 3 ++ n 4 4 4 4 1 1 2 3 n Tn = 2 + 3 + 4 + + n +1 4 4 4 4 4 3 4 1 1 1 1 n 1 1 n + 2 + 3 + + n n +1 = n +1 1 n 4 4 4 4 4 3 3 4 4

两式相减得 Tn =

∴Tn =

4 4 + 3n ……………………..12 分 9 9 4n

21.(1) f ′( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1

,令 f ′( x) = 0 x1 = 1 或 x 2 =

1 3 112 27

判断单调性后得 x = 1 , f (x ) 取得极大值为-4,当 x = 时, f (x ) 取得极小值为 (2) F ( x ) = f ( x ) g ( x ) = x 3 + ( 2 a ) x 2 + 4 当 x ∈ [0,+∞) , F ( x ) ≥ 0 恒成立 [ F ( x) min ] ≥ 0, x ∈ [0,+∞)

1 3

∵ F ′( x) = 3 x 2 + (4 2a ) x = 0 x = 0 或 x =

2a 4 3

∵a > 2


2a 4 2a 4 > x > 0 时, F ′( x) < 0 ; 当 < x 时, F ′( x) > 0 3 3 2a 4 ∴[ F ( x) min ] = F ( )≥0a≤5 3 ∴2 < a ≤ 5
22. ((Ⅰ)A(a,0),B(

2a 4 >0 3

a2 a2 a = (1) ,0) ,由 | OA |= 2 | OB | c c 2

a2 x= 2 2 c C ( a , ab ) ,∴ OA OC = 2 a = 2 (2) 由 c c c y = b x a
解(1)(2)得 a=2,c=4

∴ 双曲线方程为

x2 y2 =1 4 12

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,B(1,0),F(4,0),设直线 l 的方程为 x=ty+4

x2 y2 =1 (3t 2 1) y 2 + 24ty + 36 = 0 4 12 x = ty + 4 24t y1 + y 2 = 3t 2 1 设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 P ( x1 , y1 ) ∴ y y = 36 1 2 3t 2 1

∴ BP = ( x1 1, y1 ), BN = ( x2 1, y2 ) ( x1 1) y2 ( x2 1)( y1 ) = x1 y2 + x2 y1 ( y1 + y2 ) = (ty1 + 4) y2 + (ty2 + 4) y1 ( y1 + y2 ) = 2ty1 y2 + 3( y1 + y2 ) = 2t 36 24 +3 2 =0 2 3t 1 3t 1

所以向量 BP 与 BN 共线,即 B,P,N 三点共线;


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