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江苏省常州市溧阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷


2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.命题“有的质数是偶数”的否定为 . 2.经过点(1,2)且焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 .

3.已知函数 f(x)=

,则 f′(1)=



4. “f′(x0)=0”是“可导函数 y=f(x)在点 x=x0 处有极值”的 分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要” )

条件(选填“充

5.曲线

+

=1(9<k<25)的焦距为



6.命题: “存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 7. 在区间上的最大值是 .

2



8.设 p:|4x﹣3|≤1,q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 数 a 的取值范围是 .

2

9.已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= .

x,它的一个焦点在抛物

线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程是
3

10.已知函数 f(x)=x +ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是



11.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为椭圆的两个焦点,其余四个顶点在椭圆上, 则该椭圆的离心率为 .

12.设函数 f(x)=g(x)+x ,若曲线 y=g(x)在点(1,g(x) )处的切线方程为 y=2x+1, 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 (写出一般式)

2

13.若椭圆

+

=1(a>b>0)的中心,右焦点,右顶点及右准线与 x 轴的交点依次为 O,F,

G,H,则|

|的最大值为



14.已知函数 f(x)=

(a 为常数,e 为自然对数的底数)的图

象在点 A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围 是 .

二.解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.已知 a>0,命题 p:? x>0,x+ ≥2 恒成立,命题 q:? k∈R,直线 kx﹣y+2=0 与椭圆
2

x+

=1 有公共点,求使得 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题的实数 a 的取值范围.

16.已知实数 a≠0,函数 f(x)=ax(x﹣2) (x∈R) . (1)若函数 f(x)有极大值 32,求实数 a 的值; (2)若对? x∈,不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2

17.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|:|A1F1|=2:1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 在直线 l 上运动,求∠F1PF2 的最大值、

18.两城市 A 和 B 相距 20km,现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造

垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为

城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平 方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数 为 k,当垃圾处理厂建在 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

(1)将 y 表示成 x 的函数; (2)判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若

存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

19. 给定椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) , 称圆心在原点 O, 半径是

的圆为椭圆 C 的 “准

圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F( ,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆 C 上的两相异点,且 BD ⊥x 轴,求 ? 的取值范围;

(3)证明:如果在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P,过点 P 作直线 l1,l2,使得 l1,l2 与椭 圆 C 都只有一个交点,那么 l1,l2 互相垂直.

20.已知函数 f(x)= x +alnx,g(x)=(a+1)x,a≠﹣1. (Ⅰ)若函数 f(x) ,g(x)在区间上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范 围; (Ⅱ)若 a∈(1,e](e=2.71828…) ,设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,求证:当 x1,x2∈时,不 等式|F(x1)﹣F(x2)|<1 成立.

2

2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.命题“有的质数是偶数”的否定为 所有质数都是奇数 . 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“有的质数是偶数”的否定为:所有质数都是奇数. 故答案为:所有质数都是奇数 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2.经过点(1,2)且焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y =4x . 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出抛物线的标准方程,代入点的坐标,即可求得结论. 解答: 解:由题意,抛物线的开口向右,设方程为 y =2px(p>0) ,则 将(1,2)代入抛物线方程可得 4=2p,∴p=2 ∴抛物线的标准方程为 y =4x 2 故答案为:y =4x 点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题.
2 2 2

3.已知函数 f(x)=

,则 f′(1)=



考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 首先对函数求导,然后代入 1 计算导数值. 解答: 解:由已知 f′(x)=( )′=(x﹣1+ )′=1﹣ ,

所以 f′(1)=1﹣

=1﹣ = ;

故答案为: . 点评: 本题考查了导数的求法以及求导数值;关键是熟练掌握导数公式,正确运用.

4. “f′(x0)=0”是“可导函数 y=f(x)在点 x=x0 处有极值”的 既不充分又不必要 条件 (选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要” ) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据函数在极值点的导数等于零,可得充分性成立.再由导数等于零的点不一定是极 值点可得必要性不成立,从而得出结论. 解答: 解: “定义在 R 上的可导函数在 x=x0 处取得极值” ,不能推出“f′(x0)=0”成立, 例如 f(x)=|x|在 x=0 处有极小值为 0,但 f(x)在 x=0 处不可导, 故充分性不成立. 但由于导数等于零的点不一定是极值点,如函数 y=x 在 x=0 处得导数等于零,但函数在 x=0 处无极值, 故由“f′(x0)=0” ,不能退出“定义在 R 上的可导函数在 x=x0 处取得极值”成立, 即必要性不成立, 故答案为:既不充分也不必要条件. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,函数的导数等于零的点与函数 的极值点的关系,属于基础题.
3

5.曲线

+

=1(9<k<25)的焦距为 8 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定曲线 + =1 (9<k<25) 表示双曲线, 且 a =25﹣k, b =k﹣9, 利用 c =a +b ,
2 2 2 2 2

可得曲线

+

=1(9<k<25)的焦距.

解答: 解:∵9<k<25 ∴25﹣k>0,9﹣k<0, ∴曲线
2 2 2

+

=1(9<k<25)表示双曲线,且 a =25﹣k,b =k﹣9,

2

2

∴c =a +b =16, ∴c=4, ∴曲线 + =1(9<k<25)的焦距为 2c=8,

故答案为:8. 点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

6.命题: “存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.

2



分析: 将条件转化为 x +ax﹣4a≥0 恒成立,必须△≤0,从而解出实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:命题: “存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题, 2 即 x +ax﹣4a≥0 恒成立,必须△≤0, 2 即:a +16a≤0,解得﹣16≤a≤0, 故实数 a 的取值范围为. 故答案为: . 点评: 本题考查一元二次不等式的应用,注意联系对应的二次函数的图象特征,体现了等价 转化的数学思想,属中档题.

2

7.

在区间上的最大值是 0



考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数的最值. 解答: 解:求导函数可得:f′(x)=x ﹣x=x(x﹣1) 令 f′(x)>0,可得 x<0 或 x>1;令 f′(x)<0,可得 0<x<1; ∵x∈ ∴函数在上单调增,在上单调减 ∴x=0 时,函数取得极大值,且为最大值 ∴ 在区间上的最大值是 0
2

故答案为:0 点评: 本题考查利用导数求函数的最值,解题的关键是利用导数确定函数的单调性,最大值 在极大值点处或端点取得. 8.设 p:|4x﹣3|≤1,q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 数 a 的取值范围是 . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 分别求出关于 p,q 的解集,根据 p? q,得到不等式组,解出即可. 解答: 解:∵p:{x| ≤x≤1},q:{x|a≤x≤a+1}, 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p? q, ∴ ,解得:0≤a≤ ,
2

故答案为: . 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了集合之间的关系,是一道基础题.

9.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y=

x,它的一个焦点在抛物

线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程是

2



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线标准方程易得其准线方程 6,可得双曲线的左焦点,此时由双曲线的性质 a +b =c 可得 a、b 的一个方程;再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程得 a、b 的另一个 方程.那么只需解 a、b 的方程组,问题即可解决. 解答: 解:因为抛物线 y =48x 的准线方程为 x=﹣12, 则由题意知,点 F(﹣12,0)是双曲线的左焦点, 所以 a +b =c =144, 又双曲线的一条渐近线方程是 y= 所以 =
2 2 2 2 2 2 2 2

x,


2

解得 a =36,b =108, 所以双曲线的方程为 .

故答案为:


2

点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,确定 c 和 a 的值,是解 题的关键. 10.已知函数 f(x)=x +ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 a<0 . 考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 题目中条件: “在 R 上有两个极值点” ,利用导数的意义.即导函数有两个零点.从而 转化为二次函数 f′(x)=0 的根的问题,利用根的判别式大于零解决即可. 解答: 解:由题意,f′(x)=3x +a, 3 ∵f(x)=ax +x 恰有有两个极值点, ∴方程 f′(x)=0 必有两个不等根, ∴△>0,即 0﹣12a>0, ∴a<0. 故答案为:a<0. 点评: 本题主要考查函数的导数、极值等基础知识,三次函数的单调性可借助于导函数(二 次函数)来分析.
2 3

11.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为椭圆的两个焦点,其余四个顶点在椭圆上, 则该椭圆的离心率为 ﹣1 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先连接 AE,则 AE⊥DE.设 AD=2c,则可求得 DE 和 AE,进而由椭圆的定义知 AE|+|ED|= c+c 求得 a,最后根据离心率公式求得答案. 解答: 解:连接 AE,则 AE⊥DE.设|AD|=2c,则|DE|=c,|AE|= c. 椭圆定义,得 2a=|AE|+|ED|= c+c, 所以 e= = ﹣1,

故答案为: ﹣1. 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.特别是椭圆定义的应用. 12.设函数 f(x)=g(x)+x ,若曲线 y=g(x)在点(1,g(x) )处的切线方程为 y=2x+1, 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 6x﹣y﹣2=0 (写出一般式) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先根据曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程求出 g'(1)与 g(1) ,再通过 求 f'(1)求出切线的斜率,以及切点坐标,即可求出切线方程. 解答: 解:∵曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 y=2x+1, ∴g'(1)=2,g(1)=3 ∵f(x)=g(x )+x ,∴f'(x)=g'(x )×2x+2x 即 f'(1)=g'(1)×2+2=6,f(1)=g(1)+1=4 ∴切点坐标为(1,4) ,斜率为 6 ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 6x﹣y﹣2=0 故答案为:6x﹣y﹣2=0 点评: 本题主要考查了导数的几何意义,以及如何求切线方程,题目比较新颖,属于基础题.
2 2 2 2

13.若椭圆

+

=1(a>b>0)的中心,右焦点,右顶点及右准线与 x 轴的交点依次为 O,F,

G,H,则|

|的最大值为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的标准方程,结合焦点坐标和准线方程的公式,可得|FG|=a﹣c,|OH|=
2



所以|

|=

=( ﹣ ) + ,根据 ∈(0,1) ,可求出结论.

解答: 解:∵椭圆方程为

+

=1(a>b>0) ,

∴椭圆的右焦点是 F(c,0) ,右顶点是 G(a,0) ,右准线方程为 x= 由此可得 H( ,0) ,|FG|=a﹣c,|OH|=
2

,其中 c =a ﹣b .

2

2

2



∴|

|=

=( ﹣ ) + ,

∵ ∈(0,1) , ∴当且仅当 = 时,| 故答案为 . 点评: 本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程,求线段比值的最大值,着重考查了椭圆的基本 概念的简单性质,属于基础题. |的最大值为 .

14.已知函数 f(x)=

(a 为常数,e 为自然对数的底数)的图

象在点 A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用导数的几何意义求出切线方程,利用分段函数与切线有三个不同的交点,得到当 x<1 时,切线和二次函数有两个不同的交点,利用二次函数根的分布建立不等式关系,即可 求得 a 的取值范围. 解答: 解:当 x≥1,函数 f(x)的导数,f'(x)= ,则 f'(e)= , 则在 A(e,1)处的切线方程为 y﹣1= (x﹣e) ,即 y= 当 x≥1 时,切线和函数 f(x)=lnx 有且只有一个交点, ∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点, .

则当 x<1 时,函数 f(x)=

=

,有两个不同的交点,

即(x+2) (x﹣a)=x,在 x<1 时,有两个不同的根, 设 g(x)=(x+2) (x﹣a)﹣x=x +(1﹣a)x﹣2a,
2

则满足











解得



, . .

即实数 a 的取值范围是 故答案为:

点评: 不同主要考查导数的几何意义,以及函数交点问题,利用二次函数的根的分布是解决 本题的关键.考查学生分析问题的能力,综合性较强. 二.解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.已知 a>0,命题 p:? x>0,x+ ≥2 恒成立,命题 q:? k∈R,直线 kx﹣y+2=0 与椭圆
2

x+

=1 有公共点,求使得 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题的实数 a 的取值范围.

考点: 复合命题的真假. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 根据基本不等式,以及通过方程判断直线和椭圆交点情况方法即可求出命题 p,q 下 a 的取值范围.根据 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,知道 p 真 q 假,或 p 假 q 真,求出这两种 情况下 a 的取值范围再求并集即可. 解答: 解:命题 p:因为 a>0 时,对? x>0,x+ 2 ,a≥1;
2 2 2 2

,则:

命题 q:由

得: (k +a )x +4kx+4﹣a =0 则:

△=4a (a +k ﹣4)≥0,即 a ≥﹣k +4; 2 而﹣k +4 在 R 上的最大值为 4; 2 ∴a ≥4,∵a>0,∴解得 a≥2; p∨q 为真命题,p∧q 为假命题时,p,q 一真一假; ∴(1)若 p 真 q 假,则: ∴1≤a<2; (2)若 p 假 q 真,则: ∴a∈? ; 综上可得,a 的取值范围是,不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围. ; ;

2

2

2

2

2

考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)求出 f(x)的导函数,令导函数等于 0 求出此时 x 的值,因为函数有极大值 32, 把求得的 x 值代入函数解析式 f(x)中求出函数值,让函数值等于 32 列出关于 a 的方程,求 出方程的解即可得到 a 的值; (2)根据(1)求出的导函数等于 0 时 x 的值,分 a 大于 0 和 a 小于 0,在闭区间上,分区间 判断导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性分别得到函数 f(x)的最大值, 让 f(x)的最大值小于 分别列出关于 a 的不等式,分别求出不等式的解集即可得到实数 a

的取值范围,求出的 a 的范围的并集即可得到所有满足题意的 a 的范围. 解答: 解: (1)∵f(x)=ax(x﹣2) =ax ﹣4ax +4ax, ∴ 令 f′(x)=0,解得 ∴ 或 x=2.
2 2 3 2

. ,

∵f(x)=ax(x﹣2) (x∈R)有极大值 32,又 f(2)=0.

∴f(x)在 ∴ (2)由

时取得极大值, . 知: 上是增函数,在 . 恒成立. , 上是减函数.

当 a>0 时,函数 f(x)在 此时, 又对? x∈,不等式 ∴ ∴ 得 .

当 a<0 时,函数 f(x)在 又 f(﹣2)=﹣32a,f(1)=a, 此时,ymax=f(﹣2)=﹣32a. 又对? x∈,不等式 ∴ ∴ 得 . ,

上是减函数,在

上是增函数.

恒成立.

故所求实数的取值范围是



点评: 此题考查学生会利用导数研究函数的极值,掌握函数恒成立时所满足的条件,是一道 综合题. 17.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|:|A1F1|=2:1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 在直线 l 上运动,求∠F1PF2 的最大值、

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.

专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ) 设椭圆方程为 , 半焦距为 c, 由题意能够导出 a=2, b= ,

c=1,故椭圆方程为



(Ⅱ)设 P(﹣4,y0) ,y0≠0 设直线 PF1 的斜率 k1=

,直线 PF2 的斜率 k2=

,由题设

知∠F1PF 为锐角.由此能导出∠F1PF2 的最大值为



解答: 解: (Ⅰ)设椭圆方程为

,半焦距为 c,



由题意,



,∴a=2,b=

,c=1,故椭圆方程为



(Ⅱ)设 P(﹣4,y0) ,y0≠0 设直线 PF1 的斜率 k1= ∵ ,∴∠F1PF 为锐角.

,直线 PF2 的斜率 k2=









,即

时,tan∠F1PF2 取到最大值, .

此时∠F1PF2 最大,故∠F1PF2 的最大值为

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细求解.

18.两城市 A 和 B 相距 20km,现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造

垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为 城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平 方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数 为 k,当垃圾处理厂建在 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

(1)将 y 表示成 x 的函数; (2)判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若

存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据“垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比 例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k, ”建立 函数模型: ,再根据当 时,y=0.065,求得参数 k.

(2)总影响度最小,即为:求

的最小值时的状态.令

t=x +320,将函数转化为:

2

,再用基本不等式求解.

解答: 解: (1)由题意得 又∵当 ∴k=9 ∴ 时,y=0.065,



(7 分)

(2) 令 t=x +320∈(320,720) , 则
2



,当且仅当

时,等号成立. (14 分)

∴弧

上存在一点,该点到城 A 的距离为

时,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B

的总影响度最小为 0.0625. (16 分) 点评: 本题主要考查函数模型的建立和应用,主要涉及了换元法,基本不等式法和转化思想 的考查.

19. 给定椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) , 称圆心在原点 O, 半径是

的圆为椭圆 C 的 “准

圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F( ,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆 C 上的两相异点,且 BD ⊥x 轴,求 ? 的取值范围;

(3)证明:如果在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P,过点 P 作直线 l1,l2,使得 l1,l2 与椭 圆 C 都只有一个交点,那么 l1,l2 互相垂直.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意知 c= 圆”方程. (2)由题意,可设 B(m,n) ,D(m,﹣n) 坐标为(2,0) ,利用数量积运算可得 数的单调性即可得出. (3)设 P(s,t) ,则 s +t =4.对 s,t 分类讨论:当 时,t=±1;当 时, 设过 P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k,则直线 l 方程为 y﹣t=k(x﹣s) , 代入椭圆 C 方程可得 x +3 =3,利用△=0,再利用根与系数的关系证明 k1? k2=﹣1,即可. 解答: 解: (1)由题意知 c= 故椭圆 C 的方程为
2 2 2 2 2 2

,且

=

,可得 b=1.即可得出椭圆 C 的方程与其“准

,可得 =(m﹣2) ﹣n =
2 2

=1.又 A 点 ,再利用二次函

?

,且

=

,可得 b=1.

=1.

其“准圆”方程为 x +y =4. (2)由题意,可设 B(m,n) ,D(m,﹣n) 则 =1. ,

又 A 点坐标为(2,0) , 故 =(m﹣2,n) , =(m﹣2,﹣n) .

故 又 ∴

?

=(m﹣2) ﹣n =m ﹣4m+4﹣ <m ,故 ∈

2

2

2

= ,



?

的取值范围是
2 2

(3)设 P(s,t) ,则 s +t =4. ①当 时,t=±1,此时两条直线 l1,l2 中一条斜率不存在,另一条斜率为 0, ∴l1⊥l2. ②当 时,设过 P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 方程为 y﹣t=k(x﹣s) ,代入椭圆 C 方程可得 x +3 =3,即(3k +1)x +6k(t﹣ks)x+3(t﹣ks) ﹣3=0(*) , 2 2 2 由△=36k (t﹣ks) ﹣4(3k +1)=0, 2 2 2 2 可得(3﹣s )k +2stk+1﹣t =0,其中 3﹣s ≠0. 设 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是上述方程的两个根. 故 k1? k2= = =﹣1,即 l1⊥l2.
2 2 2 2 2

综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P,都有 l1⊥l2. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得判 别式及其根与系数的关系、准线垂直与斜率关系、数量积运算性质、二次函数的单调性,考 查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
2

20.已知函数 f(x)= x +alnx,g(x)=(a+1)x,a≠﹣1. (Ⅰ)若函数 f(x) ,g(x)在区间上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范 围; (Ⅱ)若 a∈(1,e](e=2.71828…) ,设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,求证:当 x1,x2∈时,不 等式|F(x1)﹣F(x2)|<1 成立. 考点: 数列与不等式的综合;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由题意得 f′(x) ? g′(x)=(x+ ) (a+1)=
2

?(a+1)≥0,当 x∈时,



恒成立,求得﹣x 的最值,即可得出结论;
2

(Ⅱ)由题意得 F(x)=f(x)﹣g(x)= x +alnx﹣(a+1)x,利用导数研究函数的单调性 及极值、最值,即可得出结论. 解答: 解: (I)f′(x)=x+ ,g′(x)=a+1, ∵f(x) ,g(x)在区间上都为单调函数,且它们的单调性相同,

∴f′(x) ? g′(x)=(x+ ) (a+1)= ∵x∈,∴(a+1) (a+x )≥0, ∴当 x∈时,
2 2

?(a+1)≥0,



恒成立,

∵﹣9≤﹣x ≤﹣1,∴a>﹣1 或 a≤﹣9. (Ⅱ)∵F(x)=f(x)﹣g(x)= x +alnx﹣(a+1)x, ∴F′(x)=x+ ﹣(a+1)= ,
2

∵F(x)定义域是(0,+∞) ,a∈(1,e],即 a>1, ∴F(x)在(0,1)是增函数,在(1,a)是减函数,在(a,+∞)是增函数 ∴当 x=1 时,F(x)取极大值 M=F(1)=﹣a﹣ , 当 x=a 时,F(x)取极小值 m=F(a)=alna﹣ a ﹣a, ∵x1,x2∈,∴|F(x1)﹣F(x2)|≤|M﹣m|=M﹣m, 设 G(a)=M﹣m= a ﹣alna﹣ ,则 G′(a)=a﹣lna﹣1, ∴G″(a)=1﹣ ,∵a∈(1,e],∴G″(a)>0, ∴G′(a)=a﹣lna﹣1,在 a∈(1,e]是增函数,∴G′(a)>G′(1)=0, ∴G(a)= a ﹣alna﹣ ,在 a∈(1,e]也是增函数
2 2 2

∴G(a)≤G(e) ,即 G(a)≤

=

﹣1,



=

﹣1<

﹣1=1,

∴G(a)=M﹣m<1, ∴当 x1,x2∈时,不等式|F(x1)﹣F(x2)|<成立. 点评: 本题考查导数在求函数单调性中的运用,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答, 注意公式的合理选用.



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