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3.4.1-基本不等式(使用)


基本不等式

D

a ?b
2

2

1、正方形ABCD的

b
G H

F E

a ?b 面积S=_____
2

2

C

2、四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =__
3、S与S’有什么

样的不等关系?
B

S___>__S′

问:那么它们有相等的情况吗?

一、重要不等式: 如果a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b 时取“=”) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2
当a ? b时, ( a ? b) ? 0 ? 2 2 ? a ? b ? 2ab ? 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0?
2

1.定理适用范围: a, b ? R 2.取“=”的条件: a ? b

基本不等式: a?b + 如果a, b∈R ,那么 ? ab (当且仅当a=b 时,式中等号成立)
2 2 证明: ( a ) ? ( b ) ?2 a b ∵

2

∴a ? b ? 2 ab
a?b ? ab 即: 2
a?b ? ab 当且仅当a=b时 2

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;

文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

注意:1.适用的范围:a, b 为非负数. 2.ab与a+b必须有一个为定值 3.等号成立的前提条件,是存在正 数a,b,使两边相等

几何方法证明: 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? OD=______ CD=______ OD_____CD

D
A a OC b B

E

③OD与CD的大小关系怎样?

填表比较:

a ? b ? 2ab
2 2

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

a>0,b>0

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

b a 例1.已知ab>0,求证: ? ≥ 2 ,并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明:因为ab>0,所以 ? 0, ? 0 , a b

根据均值不等式得
b a 当且仅当 ? 时,即a2=b2时式中等号 a b 成立,
b a b a ? ≥2 ? ? 2 a b a b

b a 即 ? ≥2 a b

因为ab>0,即a,b同号,所以式中等号成 立的条件是a=b.

例2.(1)一个矩形的面积为100m2,问 这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周 长最短?最短周长是多少? (2)已知矩形的周长是36m,问这个矩 形的长、宽各为多少时,矩形的面积最大? 最大面积是多少?

解:(1)设矩形的长、宽分别为x(m), y(m),依题意有xy=100(m2),
x? y ≥ xy 因为x>0,y>0,所以, 2

因此,即2(x+y)≥40。

当且仅当x=y时,式中等号成立, 此时x=y=10。 因此,当这个矩形的长与宽都是10m时, 它的周长最短,最短周长是40m.

(2)设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),

依题意有2(x+y)=36,即x+y=18,
x? y 因为x>0,y>0,所以, xy ≤ 2

因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方,得xy≤81, 当且仅当x=y时,式中等号成立, 此时x=y=9,

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

?2 x 2 ? x ? 3 例3.求函数 f ( x) ? ( x ? 0) x

的最大

值,及此时x的值。
3 解: f ( x) ? 1 ? (2 x ? ) ,因为x>0, x
3 3 所以 2 x ? ≥ 2 2 x ? ? 2 6 x x 3 得 ?(2 x ? )≤ -2 6 x

因此f(x)≤ 1 ? 2 6

当且仅当 号成立。

3 2x ? x

3 ,即 x ? 2
2

时,式中等

由于x>0,所以

6 x? 2

,式中等号成立,
6 ,此时 x ? 2

因此 f ( x)max ? 1 ? 2 6



1 1.已知函数 f ( x) ? x ? ,求函数的 x 最小值和此时x的取值.

练习:下面几道题的解答可能有错,如 果错了,那么错在哪里?

运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.

3 ( x ? 2) , 2.已知函数 f ( x) ? x ? x?2 求函数的最小值.

用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? (0, ] sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

练习题: 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值, 并说明此时x,y的值. 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值. 最小值为8
2 3.已知x<0,求函数 f ( x) ? x ? 的最大值. x

1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u ? ? x y

?2 2

的最小值.

3? 2 2

5. 若 0<x< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大 值. 6. 若 0<x ,
1 求函数 y=12x+ 3 x 的最小值.

1 2



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