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2009年中考精品:数学压轴题汇编(含解题过程)第四部分


——2009 年中考数学压轴题汇编 含解题过程 年中考数学压轴题汇编(含解题过程 含解题过程) 冲刺 2010 —— 第四部分
(2009 年湖南省益阳市 20.阅读材料: 湖南省益阳市)

如图 12-1, 过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂 直的三条直线, 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的 "水 平宽"(a),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫 △ABC 的"铅垂高(h)".我们可得出一种计算三角形面 B 积的新方法: S ABC

A h

铅垂高 C

1 = ah ,即三角形面积等于水平宽 2

水平宽 a 图 12-1

与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB= 说明理由.

9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请 8 y
C B D 1 O 1 A x

20.解:(1)设抛物线的解析式为: y1 = a ( x 1) 2 + 4 1 分 把 A(3,0)代入解析式求得 a = 1 所以 y1 = ( x 1) 2 + 4 = x 2 + 2 x + 3 3 分 设直线 AB 的解析式为: y 2 = kx + b 由 y1 = x 2 + 2 x + 3 求得 B 点的坐标为 (0,3) 4 分 把 A(3,0) , B (0,3) 代入 y 2 = kx + b 中 解得: k = 1, b = 3 所以 y 2 = x + 3 6 分 (2)因为 C 点坐标为(1,4) 所以当 x=1时,y1=4,y2=2

图 12-2

所以 CD=4-2=2 8 分

S CAB =

1 × 3 × 2 = 3 (平方单位) 10 分 2
2 2

(3)假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,△PAB 的铅垂高为 h, 则 h = y1 y 2 = ( x + 2 x + 3) ( x + 3) = x + 3 x 12 分 由 S△PAB= 得:

9 S△CAB 8

1 9 × 3 × ( x 2 + 3x) = × 3 2 8
2

化简得: 4 x 12 x + 9 = 0 解得, x = 将x =

3 2

3 代入 y1 = x 2 + 2 x + 3 中, 2 3 15 解得 P 点坐标为 ( , ) 14 分 2 4

年陕西省) (本题满分 12 分) (2009 年陕西省)25. 问题探究 (1)请在图①的正方形 ABCD 内,画出使 ∠APB = 90° .. P ,并说明理由. 的一个点 ,画出使 ∠APB = 60° .. 的所有的点 P ,并说明理 (2)请在图②的正方形 ABCD 内(含边) 由. 问题解决 (3)如图③,现在一块矩形钢板 ABCD,AB = 4,BC = 3 .工人师傅想用它裁出两块全 等的,面积最大的 △ APB 和 △CP′D 钢板,且 ∠APB = ∠CP′D = 60° .请你在图③中画 出符合要求的点 P 和 P′ ,并求出 △ APB 的面积(结果保留根号) . D C D C D C

A ①

B

A

B ② (第 25 题图)

A



B

25. (本题满分 12 分) 解: (1)如图①, 连接 AC,BD 交于点 P ,则 ∠APB = 90° . ∴ 点 P 为所求. (3 分) (2)如图②,画法如下: 1)以 AB 为边在正方形内作等边 △ ABP ;

D P E D A ①G D AE
P′

C

B P C PO C F B

O ③ A B (第 25 题答案图)

2)作 △ ABP 的外接圆 ⊙O ,分别与 AD,BC 交于点 E,F .

∵ 在 ⊙O 中,弦 AB 所对的 APB 上的圆周角均为 60° ,

∴ EF 上的所有点均为所求的点 P . (7 分)
(3)如图③,画法如下: 1)连接 AC ; 2)以 AB 为边作等边 △ ABE ; 3)作等边 △ ABE 的外接圆 ⊙O ,交 AC 于点 P ; 4)在 AC 上截取 AP′ = CP . 则点 P,P′ 为所求. (9 分) (评卷时,作图准确,无画法的不扣分) 过点 B 作 BG ⊥ AC ,交 AC 于点 G . ∵ 在 Rt△ ABC 中, AB = 4,BC = 3 .

∴ AC = AB 2 + BC 2 = 5 .
AB i BC 12 = . (10 分) AC 5 在 Rt△ ABG 中, AB = 4 , 16 ∴ AG = AB 2 BG 2 = . 5 , 在 Rt△BPG 中, ∠BPA = 60° ∴ BG =

∴ PG =

BG 12 3 4 3 = × = . tan 60° 5 3 5 16 4 3 + . 5 5

∴ AP = AG + PG =

∴ S△ APB =

1 1 16 4 3 12 96 + 24 3 . (12 分) AP i BG = × + × = 2 2 5 5 5 25

年宁德市) (本题满分 13 分)如图,已知抛物线 C1: y = a ( x + 2 ) 5 的 (福建 2009 年宁德市)26.
2

顶点为 P,与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,点 B 的横坐标是 1. (1)求P点坐标及a的值; (4分) (2)如图(1) ,抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移后 的抛物线记为 C3,C3 的顶点为 M,当点 P,M 关于点 B 成中心对称时,求 C3 的解析式; (4 分) (3)如图(2) ,点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛 物线 C4.抛物线 C4 的顶点为 N,与 x 轴相交于 E,F 两点(点 E 在点 F 的左边) ,当以点 P, N,F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点 Q 的坐标. 分) (5

C1

y M B O P 图 图(1)1 x

C1

C1

y

y B

NM

A

A

H B Q O O E P P 图2 图(2)

A

G

F x

x

C2

C3 C4

C2

C3

图(1)

26. (本题满分 13 分) 2 解: (1)由抛物线 C1: y = a (x + 2 ) 5 得 顶点 P 的为(-2,-5) ………2 分 ∵点 B(1,0)在抛物线 C1 上 ∴ 0 = a (1 + 2)2 5 5 ………4 分 解得,a= 9 (2)连接 PM,作 PH⊥x 轴于 H,作 MG⊥x 轴于 G ∵点 P,M 关于点 B 成中心对称 ∴PM 过点 B,且 PB=MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG=PH=5,BG=BH=3 ∴顶点 M 的坐标为(4,5) ………6 分 抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到,抛物线 C3 由 C2 平移得到 ∴抛物线 C3 的表达式为 y =

5 ( x 4 )2 + 5 9

………8 分

(3)∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到 ∴顶点 N,P 关于点 Q 成中心对称 由(2)得点 N 的纵坐标为 5 设点 N 坐标为(m,5) ………9 分 y 作 PH⊥x 轴于 H,作 NG⊥x 轴于 G C1 作 PK⊥NG 于 K N ∵旋转中心 Q 在 x 轴上 H B Q ∴EF=AB=2BH=6 G A ∴FG=3,点 F 坐标为(m+3,0) E O F x H 坐标为(2,0) 坐标为(m,-5) ,K , K 根据勾股定理得 P 2 2 2 2 C4 PN =NK +PK =m +4m+104 2 2 2 2 PF =PH +HF =m +10m+50 图(2) NF2=52+32=34 ………10 分 44 19 ①当∠PNF=90时,PN2+ NF2=PF2,解得 m= ,∴Q 点坐标为( ,0) 3 3 10 2 ②当∠PFN=90时,PF2+ NF2=PN2,解得 m= ,∴Q 点坐标为( ,0) 3 3 ③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90 19 2 综上所得,当 Q 点坐标为( ,0)或( ,0)时,以点 P,N,F 为顶点 3 3 的三角形是直角三角形. ………13 分

年贵州安顺市) (本题满分 12 分) (2009 年贵州安顺市)27, 如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0),E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3).
(1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.

27.(本题满分 12 分) ( 解: (1)(5′) ∵抛物线与 y 轴交于点(0,3) , ∴设抛物线解析式为 y = ax 2 + bx + 3( a ≠ 0) 根据题意,得 (1′)

a b + 3 = 0 a = 1 ,解得 9a + 3b + 3 = 0 b = 2

∴抛物线的解析式为 y = x 2 + 2 x + 3 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) (2′) 设对称轴与 x 轴的交点为 F ∴四边形 ABDE 的面积= S ABO + S梯形BOFD + S DFE

1 1 1 AO BO + ( BO + DF ) OF + EF DF 2 2 2 1 1 1 = × 1× 3 + (3 + 4) × 1 + × 2 × 4 =9 2 2 2
= (3)(2′)相似 如图,BD= BG + DG = 1 + 1 =
2 2 2 2

(5′)

2 ;∴BE= BO 2 + OE 2 = 32 + 32 = 3 2

DE= DF + EF =
2 2

22 + 42 = 2 5 ∴ BD 2 + BE 2 = 20 , DE 2 = 20 即: BD 2 + BE 2 = DE 2 ,所以 BDE 是直角三角形 AO BO 2 ∴ ∠AOB = ∠DBE = 90° ,且 = = , BD BE 2 ∴ AOB ∽ DBE (2′)
y = x 2 + ax + a 2 .

(2009 贵州省黔东南苗族侗族自治州 26, 贵州省黔东南苗族侗族自治州) (12 分)已知二次函数

(1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点. (2) a<0, 设 当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时, 求出此二次函数的解析式. (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A,B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△

PAB 的面积为

3 13 ,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由. 2

26 题,解(1)因为△= a 2 4(a 2) = (a 2) 2 + 4 > 0
所以不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点.…………(2 分) (2) x1, 2 是 y = x + ax + a 2 = 0 的两个根, x1 + x 2 = a ,x1 x 2 = a 2 , 设 x 则
2

因两交点的距离是 13 ,所以 | x1 x2 |= 即: ( x1 x 2 ) = 13
2

( x1 x2 ) 2 = 13 .…………(4 分)

2 变形为: ( x1 + x 2 ) 4 x1 x 2 = 13 ……………………………………(5 分)

所以: ( a ) 2 4( a 2) = 13 整理得: (a 5)( a + 1) = 0 解方程得: a = 5或 1 又因为:a<0 所以:a=-1 所以:此二次函数的解析式为 y = x 2 x 3 …………………………(6 分) (3)设点 P 的坐标为 ( xo , y 0 ) ,因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13 , 所以:AB= 13 ……………………………………………………………………(8 分)

所以:S△PAB=

1 13 AB | y0 |= 2 2

所以:

13 | y 0 | 13 = 2 2

即: | y 0 |= 3 ,则 y 0 = ±3 …………………………………(10 分) 当 y 0 = 3 时, x0 xo 3 = 3 ,即 ( x0 3)( xo + 2) = 0
2

解此方程得: x0 =-2 或 3 当 y 0 = 3 时, x0 xo 3 = 3 ,即 x0 ( xo 1) = 0
2

解此方程得: x0 =0 或 1……………………………………(11 分) 综上所述,所以存在这样的 P 点,P 点坐标是(-2,3), (3,3), (0, -3)或(1, -3).…(12

分)

年江苏省) 28. 如图, 已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点 D (3, 0) (2009 年江苏省) (本题满分 12 分) 和点 E (0, .动点 C 从点 M (5, 出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动, 4) 0) 与此同时, 动点 P 从点 D 出发, 也以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动. 设 运动时间为 t 秒. (1)请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标; (2)以点 C 为圆心,

1 t 个单位长度为半径的 ⊙C 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的 2
y

左侧) ,连接 PA,PB. ①当 ⊙C 与射线 DE 有公共点时,求 t 的取值范围; ②当 △PAB 为等腰三角形时,求 t 的值. E

P O DA C BM x

28.解: (1) C (5 t, , P 3 t, t . (2 分) 0) (2)①当 ⊙C 的圆心 C 由点 M ( 5,) 向左运动,使点 A 到点 D 并随 ⊙C 继续向左运动时, 0



3 4 5 5

3 4 t ≤ 3 ,即 t ≥ . 2 3 当点 C 在点 D 左侧时,过点 C 作 CF ⊥ 射线 DE ,垂足为 F ,则由 ∠CDF = ∠EDO , CF 3 (5 t ) 4t 8 得 △CDF ∽△EDO ,则 = .解得 CF = . 4 5 5 1 4t 8 1 16 由 CF ≤ t ,即 ≤ t ,解得 t ≤ . 2 5 2 3 4 16 ∴ 当 ⊙C 与射线 DE 有公共点时, t 的取值范围为 ≤ t ≤ . (5 分) 3 3
有5 ②当 PA = AB 时,过 P 作 PQ ⊥ x 轴,垂足为 Q ,有 PA2 = PQ 2 + AQ 2

=

16 2 3 3 t + 5 t 3+ t . 25 2 5

2

29 2 18 t t + 4 = t 2 ,即 9t 2 72t + 80 = 0 . 20 5 4 20 . (7 分) 解得 t1 = ,t2 = 3 3 当 PA = PB 时,有 PC ⊥ AB , 3 ∴ 5 t = 3 t .解得 t3 = 5 . (9 分) 5 当 PB = AB 时,有 ∴

y

E

P

16 1 3 PB = PQ + BQ = t 2 + 5 t 3 + t . 25 2 5
2 2 2

2

F OA Q C D B

M

x

13 2 2 t + t + 4 = t 2 ,即 7t 2 8t 80 = 0 . 20 5 20 (不合题意,舍去) (11 分) . 解得 t4 = 4,t5 = 7 4 20 ∴ 当 △PAB 是等腰三角形时, t = ,或 t = 4 ,或 t = 5 ,或 t = . (12 分) 3 3 ∴
(2009 浙江省杭州市 24. (本小题满分 12 分) 浙江省杭州市)

已知平行于 x 轴的直线 y = a ( a ≠ 0) 与函数 y = x 和函数 y = 和点 B,又有定点 P(2,0) . (1)若 a > 0 ,且 tan∠POB=

1 的图象分别交于点 A x

1 ,求线段 AB 的长; 9 8 ,且在它的对 3

(2)在过 A,B 两点且顶点在直线 y = x 上的抛物线中,已知线段 AB= 称轴左边时,y 随着 x 的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式; (3)已知经过 A,B,P 三点的抛物线,平移后能得到 y = AB 的距离.

9 2 x 的图象,求点 P 到直线 5

年台州市) 如图, 24. 已知直线 (2009 年台州市) . 为边向上作

交坐标轴于 A,B 两点, 以线段 AB

正方形 ABCD ,过点 A,D, 的抛物线与直线另一个交点为 E . C (1)请直接写出点 C , D 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑,直至顶点 D 落在 x 轴上 时停止.设正方形落在 x 轴下方部分的面积为 S ,求 S 关于滑行时间 t 的函数关 系式,并写出相应自变量 t 的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时 D 停止,求抛物线上 C , E 两 点间的抛物线弧所扫过的面积.

y

x

(第 24 题)

1 y = x +1 2

24. 14 分) . ( (1) C (3, 2), D (1, 3) ;…………………………………………………2 分 (2)设抛物线为 y = ax 2 + bx + c ,抛物线过 (0, 1), (3, 2), (1, 3) ,

5 a = 6 , c = 1, 17 , …………………………………………………2 分 a + b + c = 3, 解得 b = 6 9a + 3b + c = 2. c = 1.
∴y=

5 2 17 x + x + 1 .……………………………………………………………1 分 6 6
(3)①当点 A 运动到点 F 时, t = 1, 当 0 < t ≤ 1 时,如图 1, ∵ ∠OFA = ∠GFB ' , tan ∠OFA = ∴ tan ∠GFB' =

OA 1 = , OF 2

GB' GB' 1 5 = = , ∴ GB ' = t, FB' 2 5t 2

图1

∴ S FB 'G =

1 1 5t 5 2 FB '×GB ' = × 5t × = t ;……2 分 2 2 2 4

②当点 C 运动到 x 轴上时, t = 2 , 当 1 < t ≤ 2 时,如图 2,

A ' B ' = AB = 2 2 + 12 = 5,

图2

∴ A' F =

5t 5 , ∴ A' G = 5t , 2 1 2

5t 5 , 2

∵ B' H =

∴ S梯形A ' B ' HG = (A ' G + B ' H ) × A ' B '

= =

1 5t 5 5t ( + )× 5 2 2 2 5 5 t ;…………(2 分) 2 4

③当点 D 运动到 x 轴上时, t = 3 , 当 2 < t ≤ 3 时,如图 3, ∵ A' G =

5t 5 , 2 5 5t 5 3 5 5t = , 2 2

∴ GD ' = ∵ S AOF =

图3

1 × 1 × 2 = 1, OA = 1 , 2 AOF ∽ GD ' H



S GD 'H GD' 2 =( ) , S AOF OA
3 5 5t 2 ) , 2
2

∴ S GD 'H = (

∴ S五边形GA ' B 'C ' H = 5) ( ( = (解法不同的按踩分点给分)

3 5 5t 2 ) 2

5 2 15 25 t + t . ……… 分) (2 4 2 4

(4)∵ t = 3 , BB ' = AA' = 3 5 , ∴ S阴影 = S矩形BB 'C 'C = S矩形AA ' D ' D = AD × AA' = 5 × 3 5 = 15 .……………………………………………………………(1 分) ………………………………………………(2 分)

D' C' A'

图4

B'

浙江丽水市 丽水市) (2009 年浙江丽水市)24. 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图,C,D 两点的坐标分 别为(4,0),(0,3).现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发,点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动, 点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动,设运动时间为 t 秒.

(1)填空:菱形 ABCD 的边长是 ▲ ,面积是 ▲ , 高 BE 的长是 ▲ ; (2)探究下列问题: ①若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度为每秒 2 个
E y D

单位.当点 Q 在线段 BA 上时,求△APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式,以及 S 的最大值; ②若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度变为每秒 k 个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值,使得 △APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四 边 形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形,并求出 k 的值. 24. (本题 12 分) 解: (1)5 , 24,
(第 24 题)
B A O C x

24 …………………………………3 分 5 (2)①由题意,得 AP=t,AQ=10-2t. …………………………………………1 分 如图 1,过点 Q 作 QG⊥AD,垂足为 G,由 QG‖BE 得 QG QA △AQG∽△ABE,∴ , = y BE BA D 48 48t ∴QG= , …………………………1 分 P 5 25 E 1 24 24 5 ∴ S = AP QG = t 2 + G t ( ≤t≤5). 2 25 5 2 x A O C ……1 分 24 5 2 5 Q ∵ S = (t ) + 6 ( ≤t≤5). 25 2 2 B
∴当 t=

5 时,S 最大值为 6.…………………1 分 2

(图1)

② 要使△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形,根据轴对称的性质,只需△APQ 为等腰三角形即可. 当 t=4 秒时,∵点 P 的速度为每秒 1 个单位,∴AP= 4 .………………1 分 以下分两种情况讨论: 第一种情况:当点 Q 在 CB 上时, ∵PQ≥BE>PA,∴只存在点 Q1,使 Q1A=Q1P. 如图 2,过点 Q1 作 Q1M⊥AP, 垂足为点 M, 1M 交 AC 于点 F,则 AM= Q 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得

1 AP = 2 . 2

FM Q1 F OD 3 3 = = = , ∴ FM = , 2 AM CQ1 AO 4 33 ∴ Q1 F = MQ1 FM = . ………………1 分 10
E A

y D P M F O C x

B

Q1
(图2)

4 22 1× t AP , ∴CQ1= QF = .则 = 3 5 k t CQ1 CQ1 11 ∴k = .……………………………1 分 = AP 10 第二种情况:当点 Q 在 BA 上时,存在两点 Q2,Q3,
分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. ①若 AP=AQ2,如图 3,CB+BQ2=10-4=6. 则
y D P

1× t AP CB + BQ2 3 ,∴ k = = .……1 分 = AP 2 k t CB + BQ2 ②若 PA=PQ3, 如图 4,过点 P 作 PN⊥AB, 垂足为 N,
A

AN AP 由△ANP∽△AEB,得 . = AE AB 7 28 , ∴AN= . ∵AE= AB 2 BE 2 = 5 25 56 56 194 ∴AQ3=2AN= , ∴BC+BQ3=10= 25 25 25 CB + BQ3 97 1× t AP 则 .∴ k = . = = AP 50 k t CB + BQ3 ………………………1 分 综上所述,当 t= 4 秒,以所得的等腰三角形 APQ
11 3 沿底边翻折,翻折后得到菱形的 k 值为 或 或 10 2 97 . 50

O

C

x

Q2 B
(图3)

y D P E A N Q3 B
(图4)

O

C

x

(2009 年浙江省嘉兴市 24. 浙江省嘉兴市) 如图, 已知 A, 是线段 MN 上的两点,MN = 4 ,MA = 1 ,MB > 1 . B 以

A 为中心顺时针旋转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M,N 两点重合成一点 C,

构成△ABC,设 AB = x . (1)求 x 的取值范围; (2)若△ABC 为直角三角形,求 x 的值;
M 24. 1)在△ABC 中,∵ AC = 1 , AB = x , BC = 3 x . ( C

(3)探究:△ABC 的最大面积?

A

B (第 24 题)

N

1 + x > 3 x ∴ ,解得 1 < x < 2 . 1 + 3 x > x

4 分

(2)①若 AC 为斜边,则 1 = x 2 + (3 x) 2 ,即 x 2 3x + 4 = 0 ,无解. ②若 AB 为斜边,则 x 2 = (3 x) 2 + 1 ,解得 x = ③若 BC 为斜边,则 (3 x) 2 = 1 + x 2 ,解得 x =
5 ,满足 1 < x < 2 . 3 4 ,满足 1 < x < 2 . 3

∴x=

5 4 或x= . 3 3

9 分

(3)在△ABC 中,作 CD ⊥ AB 于 D, 设 CD = h ,△ABC 的面积为 S,则 S = ①若点 D 在线段 AB 上, 则 1 h 2 + (3 x) 2 h 2 = x .
1 xh . 2

C

M

A

D

B

N

(第 24 题-1)

∴ (3 x) 2 h 2 = x 2 2 x 1 h 2 + 1 h 2 ,即 x 1 h 2 = 3x 4 . ∴ x 2 (1 h 2 ) = 9 x 2 24 x + 16 ,即 x 2 h 2 = 8 x 2 + 24 x 16 . ∴S2 = 当x=

4 1 2 2 3 1 x h = 2 x 2 + 6 x 4 = 2 ( x ) 2 + ( ≤ x < 2 ) . 4 2 2 3

11 分

4 3 1 2 时(满足 ≤ x < 2 ) S 2 取最大值 ,从而 S 取最大值 , . 13 分 2 2 2 3

②若点 D 在线段 MA 上, 则 (3 x) 2 h 2 1 h 2 = x . 同理可得, S 2 =
1 2 2 x h = 2 x 2 + 6 x 4 4 M C

4 3 1 = 2 ( x ) 2 + ( 1 < x ≤ ) , 2 2 3
2 易知此时 S < . 2

D A

B

N

(第 24 题-2)

综合①②得,△ABC 的最大面积为 (2009 年浙江省湖州市) 年浙江省湖州市) 24. (本小题 12 分)

2 . 14 分 2

已知抛物线 y = x 2 2 x + a ( a < 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .直线 y = 与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N .
(1)填空:试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标,则 M (

1 x a 分别 2

,

),N (

,

);

(2)如图,将 △ NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴

交于点 D ,连结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积;
(3)在抛物线 y = x 2 x + a ( a < 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点的
2

四边形是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由.
y C N B O D N′ x B N C O x y

(本题 四,自选题: 本题 5 分) 自选题: ( 请注意:本题为自选题,供考生选做,自选题得分将计入本学科总分,但考试总分最多为 请注意:本题为自选题,供考生选做,自选题得分将计入本学科总分,但考试总分最多为 120 分. A B′ 25.若 P 为 △ ABC 所在平面上一点,且 ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120° ,则点 P 叫做 △ ABC 的费马点. , (1)若点 P 为锐角 △ ABC 的费马点,且 ∠ABC = 60° PA = 3,PC = 4 ,则 PB 的值为 C B ________; 第(25)题 (2)如图,在锐角 △ ABC 外侧作等边 △ ACB ′连结 BB ′. 求证: BB ′过 △ ABC 的费马点 P ,且 BB ′= PA + PB + PC .

24.(本小题 12 分) y P1 C N B A M 第(2)题 (1) M (1,a 1),N O D N′ x B A M 备用图 N C O P2 x y

1 4 a, a .……………4 分 3 3 1 4 a, a , 3 3

(2)由题意得点 N 与点 N ′关于 y 轴对称,∴ N ′ 将 N ′的坐标代入 y = x 2 2 x + a 得 a =

1 3

16 2 8 a + a+a, 9 3

9 ∴ a1 = 0 (不合题意,舍去) a2 = .……………2 分 , 4 3 ∴ N 3, ,∴ 点 N 到 y 轴的距离为 3. 4

9 9 3 ∵ A 0, , N ′ 3, ,∴ 直线 AN ′ 的解析式为 y = x , 4 4 4
它与 x 轴的交点为 D ,, 点 D 到 y 轴的距离为 0 ∴

9 4



9 . 4

1 9 1 9 9 189 ∴ S四边形ADCN = S△ ACN + S△ ACD = × × 3 + × × = .……………2 分 2 2 2 2 4 16
(3)当点 P 在 y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN 平行且等于 AC ,

7 4 ∴ 把 N 向上平移 2a 个单位得到 P ,坐标为 a, a ,代入抛物线的解析式, 3 3
得:

7 16 8 a = a2 a + a 3 9 3

3 ∴ a1 = 0 (不舍题意,舍去) a2 = , , 8
1 7 ∴ P , .……………2 分 2 8
当点 P 在 y 轴的右侧时,若 APCN 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分,

∴ OA = OC,OP = ON .
4 1 ∴ P 与 N 关于原点对称,∴ P a, a , 3 3
将 P 点坐标代入抛物线解析式得: a =

1 3

16 2 8 a + a+a, 9 3

∴ a1 = 0 (不合题意,舍去) a2 = ,

15 5 5 ,∴ P , .……………2 分 8 2 8

1 7 5 5 ∴ 存在这样的点 P , 或 P2 , ,能使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平 1 2 8 2 8
行四边形. 自选题( 四,自选题(本题 5 分) 25. (1)2 3 . ……………2 分 (2)证明:在 BB′ 上取点 P ,使 ∠BPC = 120° , ′ 上截取 PE = PC ,连结 CE . 连结 AP ,再在 PB

∵ ∠BPC = 120° , ∴∠EPC = 60° , ∴△PCE 为正三角形,……………1 分 ∴ PC = CE,∠PCE = 60° ∠CEB′ = 120° , ,

A E P B 第(25)题 C

B′

∵△ ACB′ 为正三角形, ∴ AC = B′ C,∠ACB′ = 60° , ∴∠PCA + ∠ACE = ∠ACE + ∠ECB′ = 60° , ∴∠PCA = ∠ECB′ ′, ∴△ ACP ≌△B′ CE . ∴∠APC = ∠B′ CE = 120° PA = EB′ , , ∴∠APB = ∠APC = ∠BPC = 120° , ∴ P 为 △ ABC 的费马点, ∴ BB′ 过 △ ABC 的费马点 P ,且 BB′ = EB′ + PB + PE = PA + PB + PC .……………2 分

(2009 年甘肃省兰州市 甘肃省兰州市)29.(本题满分 9 分)如图①,正方形 ABCD 中,点 A,B 的坐标分别 为(0,10)(8,4) , , 点 C 在第一象限.动点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动, 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为 t 秒. (1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于运动时间 t(秒)的函 数图象如图②所示,请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度; (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标; (4)如果点 P,Q 保持原速度不变,当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时,OP 与 PQ 能否相 等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由.

29. (本题满分 9 分) 解: (1) Q (1,0) 1 分 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度. 2 分 (2) 过点 B 作 BF⊥y 轴于点 F , BE ⊥ x 轴于点 E ,则 BF =8, OF = BE = 4 . ∴ AF = 10 4 = 6 .
y

在 Rt△AFB 中, AB = 8 + 6 = 10
2 2

3分

D

过点 C 作 CG ⊥ x 轴于点 G ,与 FB 的延长线交于点 H .
A M F O N Q P

C

B E

H Gx

∵ ∠ABC = 90°, AB = BC ∴△ABF≌△BCH. ∴ BH = AF = 6, CH = BF = 8 . ∴ OG = FH = 8 + 6 = 14, CG = 8 + 4 = 12 . ∴所求 C 点的坐标为(14,12) . (3) 过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,PN⊥ x 轴于点 N, 则△APM∽△ABF. ∴
AP AM MP = = . AB AF BF
3 5 4 5 ∴ t AM MP = = . 10 6 8

4分

∴ AM = t,PM = t .

∴ PN = OM = 10 t , ON = PM = t .

3 5

4 5

设△OPQ 的面积为 S (平方单位) ∴ S = × (10 t )(1 + t ) = 5 +
1 2 3 5 47 3 t t 2 (0≤ t ≤10) 5 分 10 10

说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
3 ∵ a = <0 10

∴当 t =

47 10 3 2 × ( ) 10

=

47 时, △OPQ 的面积最大. 6 分 6

此时 P 的坐标为(
5 3

94 53 , ) . 7 分 15 10 295 时, 13

(4) 当 t = 或 t =

OP 与 PQ 相等. 9 分

对一个加 1 分,不需写求解过程.



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