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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第二章 函数2.6


第 6 讲 二次函数、幂函数 基础巩固 1.“a=0”是“函数 f(x)=x2+ax 在区间(0,+∞)上是增函数”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由“函数 f(x)=x2+ax 在区间(0,+∞)上是增函数”可知,对称轴 x=-≤0,即 a≥0,所以“a=0”是“函 数 f(x)=x2+ax 在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件. 2.函数 f(x)=x3 与函数 y=的图象( ) A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 【答案】D 【解析】∵函数 f(x)=x3 与 y=互为反函数, ∴它们的图象关于直线 y=x 对称. 3.如果函数 f(x)=x 2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么( ) A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2) 【答案】D 【解析】由 f(1+x)=f(-x)知函数 f(x)的图象关于直线 x=对称,又抛物线开口向上,结合图象可知 f(0)<f(2)<f(-2). 4.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】∵a>b>c,且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0.结合题中图象可知应选 D. 5.若函数 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值( ) A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.与 m 有关 【答案】B 【解析】方法一:∵函数 f( x)=x2-x+a 的对称轴为 x=, 而-m,m+1 关于对称,∴f(m+1)=f(-m)<0. 方法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0. 故 f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0. 6.如果幂函数 y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则 m 的取值是( ) A.-1≤m≤2 B.m=1 或 m=2 C.m= 2 D.m=1 【答案】B 【解析】∵幂函数 y=(m2-3m+3)中的系数 m2-3m+3=1, ∴m=2 或 1. 又 y=(m2-3m+3)的图象不过原点, ∴m2-m-2≤0,即-1≤m≤2. 故 m=2 或 1. 7.(2013 届·山东泰安阶段检测)已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( )

A.a≤2 或 a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤-3 或 a≥-2 D.-3≤a≤-2 【答案】A 【解析】由于二次函数的开口向上,对称轴为 x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数,则需所给区间在对称轴 的同一侧,即 a≤2 或 a≥3. 8.(2012·浙江温州测试)已知函数 f(x)=若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】函数 f(x)=的图象如图. 由图可知函数 f(x)在 R 上为增函数. ∵f(2-a2)>f(a), ∴2-a2>a,解得-2<a<1. 9.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 . 【答案】 1≤m≤2 【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2 ,∴其对称轴方程为 x=1.∵f(1)=2,∴m≥1.又由 f(x)max=x2-2x+3 =3 得 x=2 或 x=0(舍),故 m 的取值范围为 1≤m≤2. 10.对于函数 y=x2,y=有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图 象关于直线 y=x 对称;④ 两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0),(1,1);⑥两个函数的图象都是抛物 线型. 其中正确说法的序号是 . 【答案】①②⑤⑥ 【解析】从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较. 11.已知幂函数 f(x)=为奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(m∈N*,m≥2). (1)求 f(x); ( 2)比较 f(-2 013)与 f(-2)的大小. 【解】(1)∵函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴m2-m-3<0. 解得<m<. 又∵m∈N*,且 m≥2,∴m=2. 故 f(x)=x-1,符合题意. (2)∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(-2 013)=-f(2 013)=-, f(-2)=-f(2)=-. ∵->-, ∴f(-2013)>f(-2). 12.已知二次函数 f(x)的图象过 A(-1,0),B(3,0),C(1,-8)三点. (1)求 f(x) 的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 【解】(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),解得 a=2. 故 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (2)f(x)=2(x-1)2-8, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图象(图略)知

f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0. (3)由图象(图略)知,f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1 或 x≥3}. 13.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使函数 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求函数 f(|x|)的单调区间. 【解】(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∵x∈[-4,6], ∴函数 f(x)在区间[-4,2]上单调递减,在区间[2,6]上单调递增. 故函数 f(x)的最小值是 f(2)=-1. 又 f(-4)=35,f(6)=15,故函数 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a, 因此,要使 f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)∵当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时函数 f(|x|)的定义域为 x∈[-6,6], 且 f(|x|)= 故函数 f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 拓展延伸 14.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=求 F(2)+F(-2)的值. (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 【解】(1)由已知 c=1,f(-1)=a-b+c=0,且-=-1,解得 a=1,b=2. 于是知 f(x)=(x+1)2. 因此 F(x)= 故 F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)由题意知 f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在 x∈(0,1]上恒成立, 即 b≤-x 且 b≥--x 在 x∈(0,1]上恒成立, 根据单调性可得 y=-x 的最小值为0, y=--x 的最大值为-2,所以-2≤b≤0.



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