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含有一个未知数,且未知数最高次数为2的 不等式。

一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的不等式,称为一元二次不等式。 常见形式: 1, ax ? bx ? c >0(a>0) 2 2, ax ? bx ? c <0(a>0) 2 3, ax ? bx ? c >0(a<0) 2 4, ax ? bx+c <0(a<0)
2

回顾:一元一次不等式的解法 画图——求根——定范围

根据一次函数y=2x-8的图象,填空:
当x =4 时,y=0;

当x >4 时,y>0;解2x-8>0
当x <4 时,y<0.

1. 已知函数y=x2-5x (1)画出函数的图像 (2)当x取何值时,y=0; y 当x取何值是,y>0; 当x取何值时,y<0 ?

0
2

5

x

y ? x ? 5x

二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象:
y

ax ? bx ? c ? 0
2
?

?x | x ? x1 或 x ? x2 ?
大于取两边
2

x1 0

x2

x

ax ? bx ? c ? 0

?x | x1 ? x ? x2 ?
小于取中间

a>0 ,? >0

画图 (a) ——求根 (△) ——定范围 对于ax2+bx+c>0(a≠0)
①由a的正负定开口画出对应函数y=ax2+bx+c的 图象; ②求对应方程ax2+bx+c=0的根;

③由不等式ax2+bx+c>0的“不等号>”选择x轴上 方图象,写出对应的x的范围。

求根 (△) ——画图 (a) ——定范围 例1:求不等式x2-4x+3>0的解集.
【练习】解不等式:(1)3x2-7x≤ 10 (2)3x2+5x> 0
【注】①化为一般式ax2+bx+c>0(a≠0); ②三个“二次”形式上的统一.

求根 (△) ——画图 (a) ——定范围 例2:求不等式4x2-4x+1>0的解集.
【练习】解不等式 x2-x+1<0
【注】①化为一般式ax2+bx+c>0(a≠0); ②三个“二次”形式上的统一.

求根 (△) ——画图 (a) ——定范围
判别式 ?=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c ?>0 y ??0 y ?<0

y

(a>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0

x1

x2

x

x1=x2

x

x

有两个相异的 实根x1,x2 x1<x2

有两个相等实根 x1=x2

没有实根

ax2+bx+c>0 {x|x>x2或x<x1} 的解集 ax2+bx+c<0 的解集
{x|x1<x<x2}

b {x|x≠ ? } 2a
?

R ?

若ax2+bx+c=0(a>0)有两不等实根x1<x2 1、对于ax2+bx+c 0(a>0),则取两边;

> 对于ax2+bx+c<0(a>0),则取中间.

2、不等式ax2+bx+c>0解区间端点恰好是对 应方程的根; 若方根有“一根”或 “无根”,则用 “图象法” 解不等式,应注意“三个二次”形式上的统一.

1.求函数y ? x ? 4 x ? 9的定义域.
2

2.若关于x的一元二次方程x2-(m+1)xm=0有两个不等实根,求m的取值范围.
? 1 1? 3. 若不等式ax ? bx ? 2 ? 0的解集是? x ? ? x ? ? 3? ? 2 则a ? -12 , b ? -2 .
2

例3:解不等式 ? x ? 2x ? 3 ? 0
2

化正x ? 2 x ? 3 ? 0
2

解一元二次不等式的基本步骤
(1)化正——把二次项系数化成正数;
(2)求根——解对应一元二次方程; (3)定范围——根据对应的二次函数的 大致图象及不等号的方向,写出解集.

探究: 若不等式x ? x ? a ? 0的解集是R,
2

则实数a的取值范围为

a?

;1

4

对于不等式恒成立问题, 主要考虑六条图象,通过 交点数△和开口方向a去 刻画.

例: 设函数f(x)= mx 2 - mx - 1. (1)若mx 2 - mx - 1> 0的解集是φ,求m的取值范围; (2)对于x ?[1,3],f(x)< -m + 5恒成立,求m的取值范围;

[?4,0]

1 2 3 g ( x) ? m( x ? ) ? m ? 6 ? 0, x ? [1,3] 2 4 m ? 0时,?6 ? 0恒成立

m ? 0时, g (3) ? 0即可 m ? 0时, g (1) ? 0即可

6 m? 7

注:最高次项系数未定时,分”等于0”和 ”不等于0” 两种情况.

1. 已知不等式x ? ax ? b<0 的解集为
2

{x|2<x<3} ,求 bx ? ax ? 1>0 的解集.
2

2. 已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0 的解集为{x │- 2 <x<3}, 求a-b的值. 3. 已知关于x的不等式mx ? mx ? 1<0的解集为 R, 求实数m的取值范围
2

4.解关于x的不等式x2- 8ax+7a2﹤0 (a∈R)

作业:
1.求下列不等式的解集 2 2 x (1) 4 x ? 4 x >15 (2) ? 3x ? 10 <0 ?3x 2 ? 5x ? 4 ? 0 (3) ?9 ? x ? ? 0 (4) x
2.不等式ax2 ? 5 x ? c ? 0的解集为? x 1 ? x ? 1 ? ? ?

,解不等式 x ? cx ? a<0
2

? 3

2?

3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R 恒成立,求实数a的取值范围.

分式不等式定义
? 分子、分母都是整式,并且分母含有未知 数的不等式叫做分式不等式.
x ?1 试解不等式: ? 0. 3x ? 2

3 分析:当且仅当分子 x ? 1 与分母 x ? 2 同号 时, 上述不等式成立.

因此

? x ? 1 ? 0, ?1? ? 或 ?3x ? 2 ? 0;

? x ? 1 ? 0, ? 2? ? ?3x ? 2 ? 0.

2 不等式组(1)的解集是( , ??) ,不等式组(2)的解集是(??, ?1) 3

2 所以,原不等式的解集为 (??, ?1) ? ( , ??). 3

试解不等式:

x ?1 ? 0. 3x ? 2

分析:当且仅当分子 x ? 1 与分母 3 x ? 2 同号时, 上述不等式成立,而两个数的商与积同号. 因此,上述不等式可转化为 整式不 等式 ? x ?1??3x ? 2? ? 0 所以,原不等式的解集为
2 (??, ?1) ? ( , ??). 3

x ?1 试解不等式: ? 0. 3x ? 2

3 分析:当且仅当分子 x ? 1 与分母 x ? 2 同号 时, 上述不等式成立. ? 因此,上述不等式可转化为

? x ? 1??3x ? 2? ? 0
整式不 等式

解法比较
分类讨论 需要解两个不等式 组,再取这两个不 等式组解集的并集 转化(化归)
通过等价转换,变成 我们熟悉的、已经因 式分解好了整式不等





C



x ?思考:不等式 ? 1 ?的解 0
x ?1 解: ?0 3x ? 2
?

3x ? 2

( x ? 1)(3x ? 2) ? 0

3x ? 2 ? 0
?2 ? ? ??, ?1? ? ? , ?? ? . ?3 ?

所以,原不等式的解集为

?分式不等式 ?分式不等式的等价变形:

f ( x) >0 g ( x) f ( x) ≥0 g ( x)

g(x)>0, ? f(x)·

?

? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0

练习.解下列不等式 (1) ( x ? 4)(x ? 1) ? 0 .
x 2 ? 3x ? 2 ?0 (3) 2 x ? 2x ? 3
x ?3 ?0. (2) x?7
x?3 ?2 (4) 、 x?5

1.4 含绝对值的不等式解法
先看含绝对值的方程 |x|=2
-2 0 2

在数轴上表示如图:
方程的解是:

x=2或x=-2
再看相应不等式 |x|〈2与|x|〉2 在数轴上表示如图:
-2 0 2

不等式|x|〈2的解集是:

{x|-2<x<2}

不等式|x|〉2在数轴上表示如下:
-2 0 2

不等式|x|〉2的解集是:{x|x<-2}?{x|x>2} ={x|x<-2,或x>2} ? 不等式|x|<a(a>0)的解集是 {x|-a<x<a}

? 不等式|x|>a(a>0)的解集是
{x|x>a,或x<-a}

例 解不等式|x-500|≤5
解:由原不等式可得 -5≤x-500≤5

各加上500,得
495≤x≤505

495

500

505

所以,原不等式的解集是
{x|495
≤x ≤

505}

练习:
解下列不等式: (1)|x|<5; (2) 2|x|≤8;

(3)|3x|<12;
(5)|x-2/3|<1/3;

(4) |x+4|>9;
(6)|x/2+1|≥2.

Answer: (1){x|-5<x<5} (3){x|-4<x<4}

(5){x|1/3<x<1}

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