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江苏省盐城市2015届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案


盐城市 2015 届高三年级第一学期期中考试

数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上. 1. 若集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ?0, ?1? ,则 A
a b 2.命题“若 a ? b , 则 2 ? 2 ”的否命题为

B?
▲ . .



.

3.函数 f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期为
?



4.若幂函数 f ( x) ? x (? ? Q) 的图象过点 (2,

2 ) ,则 ? = 2
▲ .





5.若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , a4 ? 9 ,则 a6 ?

6.若 a , b 均为单位向量,且 a ? (a ? 2b) ,则 a , b 的夹角大小为 7.若函数 f ( x) ?



.

2 x ?1 ? m 是奇函数,则 m ? 2x ? 1



.

8.已知点 P 是函数 f ( x) ? cos x(0 ? x ? 为 ▲ .

?
3

) 图象上一点,则曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线斜率的最小值

9.在等差数列 {an } 中, Sn 是其前 n 项和,若 S7 =S5 +4 ,则 S9 ? S3 = 10.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 a ? 4 ,



.

b ? 3 , A ? 2 B ,则 sin B =



.

A

11. 如图, 在等腰 ?ABC 中,AB =AC ,M 为 BC 中点, 点D 、

D
E B M
第 11 题

E 分别在边

AB 、 AC 上 , 且 A D =

1 2


D B , AE =3EC , 若
.

C

?DME ? 90 ,则 cos A =

12.若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 在 (0, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是
2



.

13. 设函数 y ? x ? 3? 2
2

n?1

x ? 2 ? 4n?1 (n ? N * ) 的图象在 x 轴上截得的线段长为 dn ,记数列 ?dn ? 的前 n
m ? n2

项和为 Sn , 若存在正整数 n , 使 得 log 2 ? Sn ? 1?

? 18 成 立 , 则实数 m 的最小值为



.

14.已知函数 f ( x) ? ?

?? | x3 ? 2 x 2 ? x | ( x ? 1) ? ln x
▲ .

( x ? 1)

,若命题“ ?t ? R ,且 t ? 0 ,使得 f (t ) ? kt ”是假命题,

则实数 k 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? a cos ?x 满足 f (0) ? 3 ,且 f ( x ) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ? . (1)求 a 与 ? 的值; (2)若 f (? ) ? 1, ? ? (?

? ?

5? , ) ,求 cos(? ? ) 的值. 2 2 12

17. (本小题满分 14 分) 设△ ABC 的面积为 S ,且 2 S ? 3 AB ? AC ? 0 . (1)求角 A 的大小; (2)若 | BC |? 3 ,且角 B 不是最小角,求 S 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 如 图 是 一 块 镀 锌 铁 皮 的 边 角 料 ABCD , 其 中 AB, CD, DA 都 是 线 段 , 曲 线 段 BC 是 抛 物 线 的一部分, 且 点 B 是 该 抛 物 线 的 顶 点 ,BA 所 在 直 线 是 该 抛 物 线 的 对 称 轴 . 经 测 量 ,AB ? 2 米 , AD ? 3 米 , A B ? A D, 点 C 到 AD, AB 的 距 离 C H, C R 的 长 均 为 1 米 .现 要 用 这 块 边 角 料 裁 一 个 矩 形 AEFG ( 其 中 点 F 在 曲 线 段 BC 或 线 段 CD 上 , 点 E 在 线 段 AD 上 , 点 G 在 线 段 AB 上 ) . 设 BG 的 长 为 x 米 , 矩 形 AEFG 的 面 积 为 S 平 方 米 . (1)将 S 表 示 为 x 的 函 数 ; (2)当 x 为 多 少 米 时 , S 取 得 最 大 值 , 最 大 值 是 多 少 ? D

C F

H E

B

G

R

A

第 18 题

19. (本小题满分 16 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) . (1)若 ?an ? 是等差数列,求 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 ? 1 . ① 当 a2 ? 1 时,试求 S100 ; ② 若数列 ?an ? 为递增数列,且 S3k ? 225 ,试求满足条件的所有正整数 k 的值.

20. (本小题满分 16 分)

已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? x ? m , m ? R .
x

(1)若曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? g ? x ? 相切,求实数 m 的值;

(2)记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求 h ? x ? 在 ?0, 1? 上的最大值; (3)当 m ? 0 时,试比较 e
f ? x ? 2?

与 g ? x ? 的大小.

盐城市 2015 届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.

?0,1, ?1?
3 2

2. 若 a ? b , 则 2 ? 2
a

b

3. 11.

?
1 5

4. ?

1 2

5. 27

6. 13. 13

? 3

7. 2 14. ( ,1)

8. ?

9. 12

10.

5 3

12. [?4, 0]

1 e

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内. ……………2 分 f (0) ? 3 ,? sin 0 ? a cos0 ? 3 ,解得 a ? 3 , ? ……………4 分 ? f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 2sin(? x ? ) , 3 f ( x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ? , 2? ,? ? ? 1 . ……………6 分 ? T ? 2? ? ? ? 1 (2) f (? ) ? 1,? sin(? ? ) ? , ……………8 分 3 2 ? ? ? ? 5? ? ? ? ? ? (? , ) ,? ? ? ? (? , ) ,? ? ? ? ,即 ? ? ? , ……………10 分 2 2 3 6 6 3 6 6 5? 7? 7? ? ? ? cos( ? ) , ,又 cos ? cos(? ? ) ? cos 12 12 12 3 4 5? ? ? ? ? 2? 6 . …………14 分 ? cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? 12 3 4 3 4 4 2 16.解: (1)由 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? (1,3) , …………2 分 2 2 2 , 2) ,即 B ? ( , 2) , …………4 分 又函数 y ? 在区间 (0, m) 上单调递减,所以 y ? ( x ?1 m ?1 m ?1 15.解: (1)

2 3 (2)首先要求 m ? 0 ,

当 m ? 2 时, B ? ( , 2) ,所以 A

B ? (1, 2) .

…………6 分 …………8 分

而“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,所以 B ? A ,即 ( 从而

2 , 2) ? (1,3) , …………10 分 m ?1
…………12 分 …………14 分

2 ? 1, m ?1 解得 0 ? m ? 1 . 17.解: (1)设 ?ABC 中角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,由 2 S ? 3 AB ? AC ? 0 ,
1 得 2 ? bc sin A ? 3bc cos A ? 0 ,即 sin A ? 3 cos A ? 0 , 2 所以 tan A ? ? 3 , 2? 又 A ? (0, ? ) ,所以 A ? . 3
(2)因为 BC ? 3 ,所以 a ? 3 , 由正弦定理,得

…………2 分 …………4 分 …………6 分

3 b c , ? ? 2? sin B sin C sin 3

所以 b ? 2sin B, c ? 2sin C , …………8 分 1 ? 从而 S ? bc sin A ? 3 sin B sin C ? 3 sin B sin( ? B ) …………10 分 2 3 3 1 3 1 ? cos 2 B 3 ? 3 ? 3 sin B( cos B ? sin B) ? 3( sin 2 B ? )? sin(2 B ? ) ? , …………12 分 2 2 4 4 2 6 4 ? ? ? ? 5? 3 又 B ? ( , ), 2 B ? ? ( , ) ,所以 S ? (0, …………14 分 ). 6 3 6 2 6 4 (说明:用余弦定理处理的,仿此给分) 18.解: (1)以点 B 为坐标原点, BA 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系. …………2 分 设曲线段 BC 所在抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 将点 C (1,1) 代入,得 2 p ? 1 , 即曲线段 BC 的方程为 y ? D …………4 分 …………6 分 C F …………8 分
1 3

x (0 ? x ? 1) . 又由点 C (1,1), D(2,3) 得线段 CD 的方程 为 y ? 2 x ? 1(1 ? x ? 2) . 而 GA ? 2 ? x , ? x (2 ? x), 0 ? x ? 1, ? 所以 S ? ? ? ?(2 x ? 1)(2 ? x), 1 ? x ? 2.
1 2

y

H E A

(2)①当 0 ? x ? 1 时,因为 S ? x (2 ? x) ? 2 x 2 ? x 2 , 所以 S ? ? x
?

B

G R

x

2 3 1 2 ? 3x ,由 S ? ? 0 ,得 x ? , ? x2 ? 3 2 2 x

…………10 分

当 x ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递增;

2 3

2 4 6 时, Smax ? ; 3 9 5 2 9 ②当 1 ? x ? 2 时,因为 S ? (2 x ? 1)(2 ? x) ? ?2( x ? ) ? , 4 8
当 x ? ( ,1) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递减,所以当 x ?

2 3

…………12 分

5 9 时, S max ? ; …………14 分 4 8 5 9 9 4 6 综上,因为 ? ,所以当 x ? 米时, S max ? 平方米. …………16 分 4 8 8 9 (说明:本题也可以按其它方式建系,如以点 A 为坐标原点, AD 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,
所以当 x ? 仿此给分) 19.解: (1)由等差数列求和公式 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n , 2 2 2 d d d d d d ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 1) 2 ? (a1 ? )(n ? 1) ? n 2 ? (a1 ? )n ? (n ? 1) 2 ? (a1 ? )(n ? 1) 2 2 2 2 2 2 d d ? (3n 2 ? 2) ? 3(a1 ? )n, ……………2 分 2 2 d d 3d 2 d n ? 3(a1 ? )n ? d ? 3n 2 ? 2 , ? (3n 2 ? 2) ? 3(a1 ? )n ? 2 2 2 2 3d d ? 3, a1 ? , d ? 2 ,解得 d ? 2, a1 ? 1 ,? an ? 2n ? 1; ……………4 分 ? 2 2
(说明:也可以设 Sn ? an2 ? bn ;或令 n ? 2, n ? 3 ,先求出首项 a1 与公差 d ) (2)由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2) , 得 Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 3(n ? 1)2 ? 2 , ……………6 分

? an ? an?1 ? an?2 ? 6n ? 3(n ? 2) , ? S100 ? a1 ? (a2 ? a3 ? a4 ) ? (a5 ? a6 ? a7 ) ?
1 ? 1 ? (6 ? 2 ? 3 ? 6 ? 98 ? 3) ? 33 ? 10000 . 2
(说明:用 a2 ? 1 ,利用分组方法求和,类似给分.) (3)设 a2 ? x ,由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2) ,得 S1 ? S2 ? S3 ? 14 与 S2 ? S3 ? S4 ? 29 ,

? (a 98 ?a 99 ?a 100 )
………………8 分

? 3a1 ? 2a2 ? a3 ? 14 ,? a3 ? 11 ? 2 x , ? 3a1 ? 3a2 ? 2a3 ? a4 ? 29 ,? a4 ? x ? 4 ,
又 Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 3(n ? 1)2 ? 2 ,? an ? an?1 ? an?2 ? 6n ? 3(n ? 2) , ……………10 分

? an?1 ? an ? an?1 ? 6n ? 3(n ? 3) , 相减得 an?2 ? an?1 ? 6(n ? 3) , ? a5 ? a2 ? 6 ? x ? 6 , 数列 ?an ? 为递增数列,
7 11 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,解得 ? x ? , 3 3
由 S3k ? a1 ? a2 ? a3 ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? (a7 ? a8 ? a9 ) ? ……………12 分

? (a 3k ?2 ?a 3k ?1 ?a 3k ) ,

1 ? S3k ? 12 ? x ? (6 ? 4 ? 3 ? 6(3k ? 2) ? 3)(k ? 1) , 2

? S3k ? 9k 2 ? x ? 3 ? 225 ,
7 11 ? x ? 9k 2 ? 222 ? ( , ) ,解得 k ? 5 . 3 3

……………14 分 ……………16 分
x

20.解: (1)设曲线 f ? x ? ? ex 与 g ? x ? ? x ? m 相切于点 P ? x0 , y0 ? ,由 f ? ? x ? ? e x ,知 e 0 =1 , 解得 x0 ? 0 , 又可求得点 P 为 ? 0, 1? ,所以代入 g ? x ? ? x ? m ,得 m ? ?1 . (2)因为 h ? x ? ? ? x ? m ? e x ,所以 h? ? x ? ? ex ? ? x ? m? ex ? ? x ? (m ?1) ? ex , x ?[0,1] . ①当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,此时 h ? x ? 在 ?0, 1? 上单调递增, 所以 h ? x ?max ? h ?1? ? ?1 ? m? e ; ……………6 分 ……………2 分 ……………4 分

②当 0 ? m ? 1 ? 1 即 1 ? m ? 2 时,当 x ? ? 0,m ?1? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减, 当 x ? ? m ?1,1? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增, h ? 0? ? ?m , h ?1? ? ?1 ? m? e .

e ? m ? 2 时, h ? x ?max ? h ? 0? ? ?m ; e ?1 e (ii) 当 ?m ? ?1 ? m? e ,即 1 ? m ? 时, h ? x ?max ? h ?1? ? ?1 ? m? e ; e ?1
(i)当 ?m ? ?1 ? m? e ,即

……………8 分

③当 m ? 1 ? 1 , 即 m ? 2 时,h? ? x ? ? 0 , 此时 h ? x ? 在 ?0, 所以 h ? x ?min ? h ? 0? ? ?m . 1? 上单调递减, 综上,当 m ?

e e 时, h ? x ?max ? ?1 ? m? e ;当 m ? 时, h ? x ?max ? ?m . e ?1 e ?1
f ? x ? 2?

……………10 分

(3)当 m ? 0 时, e

=ee , g ? x ? ? x ,
x?2

①当 x ? 0 时,显然 e ②当 x ? 0 时, ln e 记函数 ? ? x ? =e
x?2

f ? x ?2?

? g ? x? ;
x?2

f ? x ? 2?

=lnee

? ex?2 , ln g ? x ? ? ln x ,

1 ? e x ? ln x , ……………12 分 2 e 1 1 1 x x?2 则 ? ? ? x ? = 2 ? e ? ? e ? ,可知 ?? ? x ? 在 ? 0,+?? 上单调递增,又由 ? ? ?1? ? 0 ,?? ? 2? ? 0 知, e x x ? ln x ?

?? ? x ? 在 ? 0,+?? 上有唯一实根 x0 ,且1 ? x0 ? 2 ,则 ? ? ? x0 ? =e x ?2 ?
0

1 1 , ? 0 ,即 e x0 ? 2 ? ( ? ) x0 x0

当 x ? ? 0, x0 ? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递减;当 x ? ? x0, +?? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递增,

所以 ? ? x ? ? ? ? x0 ? =e 0 结合( ? )式 e
x0 ? 2

x ?2

? ln x0 ,

……………14 分

?

1 ,知 x0 ? 2 ? ? ln x0 , x0
2

x 2 ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1? 1 ? x0 ? 2= 0 ? ? 0 ,则 ? ? x ? =ex?2 ? ln x ? 0 , 所以 ? ? x ? ? ? ? x0 ? = x0 x0 x0
即e
x ?2

? ln x ,所以 ee
f ? x ?2?

x?2

? x.
……………16 分

综上, e

? g ? x? .

f x ?2 ( 说 明 : 若 学 生 找 出 两 个 函 数 y ? e ? ? 与 y ? g ? x? 图 象 的 一 条 分 隔 线 , 如 y ? x ? 1 , 然 后 去 证

e f ? x?2? ? x ?1 与 x ?1 ? g ? x ? ,且取等号的条件不一致,同样给分)



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