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近五年安徽文科高考数学试卷及答案 2


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 I 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致. 2. 答第 I 卷时, 每小题选出答案后, 用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第 II 卷时,必须用 0.5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上 书写.在试题卷上作答无 ..... ........ 效 . . 4.考试结束,监考员将试题和答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
球的体积公式

n(n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) 12 ? 22 ? ? ? n 2 ? 6 1? 2 ?? ? n ?

V?

4 3 πR 3
其中 R 表示球的半径

13 ? 23 ? ? ? n3 ?

n2 (n ? 1)2 4

第 I 卷(选择题共 55 分) 一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? (
2 2

?

?

?

?



A. ?3?

B. ?1?

C. ? )

D. ??1?

2.椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为(

A.

3 2

B.

3 4

C.

2 2

D.

2 3


3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 1 , a3 ? 3 ,则 S4 ? ( A. 12 B. 10 C. 8 4.下列函数中,反函数是其自身的函数为( D. 6 )
3

? ?) A. f ( x) ? x , x ?[0,
2

B. f ( x) ? x ,x ? (??, ? ?)

C. f ( x) ? ex ,x ? (??, ? ?)

D. f ( x) ?

1 ? ?) , x ? (0, x

5. 若圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 A. ?2 或 2 B.

2 , 则 a 的值为 ( 2



1 3 或 C. 2 或 0 D. ?2 或 0 2 2 6.设 t , m , n 均为直线,其中 m ,n 在平面 ? 内,则“ l ? ? ”是“ l ? m 且 l ? n ”的
( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )

y

3 x ?1 2 3 3 B. y ? ? x ? 1 2 2 3 C. y ? ? x ? 1 2
A. y ? D. y ? 1 ? x ?1

( 0 ≤x≤ 2 ) (0 ≤ x ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2)

3 2

O

1

2

x

第 7 题图

8.设 a ? 1 ,且 m ? log a( a2 ? 1) , n ? log a (a ? 1) , p ? loga (2a) ,则 m,n,p 的大小关 系为( ) A. n ? m ? p B. m ? p ? n C. m ? n ? p D. p ? m ? n

?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 9.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ≤ 0 上,点 Q 在曲线 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上,那么 PQ 的 ? 2 y ? 1≥ 0 ?
最小值为( A. ) B.

3 2

4 ?1 5

C. 2 2 ?1

D. 2 ? 1

10 .把边长为

2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在


A,B,C,D 四点所在的球面上, B 与 D 两点之间的球面距离为( π π A. 2π C. π B. D. 2 3

11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程

f ( x) ? 0 在闭区间 [?T,T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
A.0 B.1 C.3 D.5



2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安微卷)

数学(文科)
第 II 卷(非选择题共 95 分) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答,在试题卷上书写作答无效 ... ........... 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 12 .已知 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )( a1 ? a3 ? a5) 的 值等于 .

13.在四面体 O ? ABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的 中点,则 OE ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(用 a,b,c 表示) . (写出

14.在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 15.函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 所有正确结论的编号 ) . .. ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是 3?

11 π 对称; 12

? 2π ? , 0 ? 对称; ? 3 ? ? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C . 3

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移

三、解答题:本大题共 6 小题,共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分) 解不等式 ( 3x ?1 ?1)(sin x ? 2) ? 0 . 17. (本小题满分 14 分) 如图, 在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正 方形,四边形 A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方形, DD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , DD1 ? 平面 ABCD , DD1 ? 2 . (Ⅰ)求证: A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面. (Ⅱ)求证:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BDD1 ; (Ⅲ)求二面角 A ? BB1 ? C 的大小(用反三角函数值表示) 18. (本小题满分 14 分) 设 F 是抛物线 G : x ? 4 y 的焦点.
2

D1 A1

C1 B1

D

C

A

B

? 4) 作抛物线 G 的切线,求切线方程; (I)过点 P(0,

(II)设 A,B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA?FB ? 0 ,延长 AF , BF 分别交 抛物线 G 于点 C,D ,求四边形 ABCD 面积的最小值. 19. (本小题满分 13 分) 在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混入了两 只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔,让蝇 子一只一只地往外飞,直到 两只苍蝇都飞出,再关闭小孔. .. (I)求笼内恰好剩下 ....1 只果蝇的概率; (II)求笼内至少剩下 ....5 只果蝇的概率. 20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

??? ? ??? ?

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R , 2 2

其中 t ≤1 ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式;

, 内的单调性并求极值. (II)讨论 g (t ) 在区间 (?11)
21. (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1 ,以后每年交 ? 是一个公差为 纳的数目均比上一年增加 d (d ? 0) ,因此,历年所交纳的储备金数目 a1,a2,
d 的等差数列. 与此同时, 国家给予优惠的计息政策, 不仅采用固定利率, 而且计算复利. 这 r ( r ? 0) 就是说,如果固定年利率为 ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金就变为

a1 (1 ? r )n?1 ,第二年所交纳的储备金就变为 a2 (1 ? r )n?2 , ?? .以 Tn 表示到第 n 年末所累计

的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn?1 (n ≥ 2) 的递推关系式; (Ⅱ)求证: Tn ? An ? Bn ,其中 ? An ? 是一个等比数列, ?Bn ? 是一个等差数列.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(文史)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识的基本运算.每小题 5 分,满分 55 分. 1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C 11.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 12. ?256 三、解答题 13.

1 1 1 a? b? c 2 4 4

14.

3 11

15.①②③

16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本 小题满分 10 分. 解:因为对任意 x ? R , sin x ? 2 ? 0 ,所以原不等式等价于 3x ?1 ?1 ? 0 . 即 3x ?1 ? 1 , ?1 ? 3 x ? 1 ? 1 , 0 ? 3 x ? 2 ,故解为 0 ? x ? 所以原不等式的解集为 ? x 0 ? x ?

2 . 3

? ?

2? ?. 3?

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角 等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本 小题满分 14 分. 解法 1(向量法) : 以 D 为原点,以 DA ,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系

D ? xyz 如图,

D1 z A1

C1 B1

D

C

y
B

A

x

则有 A(2, 0,, 0) B(2, 2,, 0) C(0, 2,, 0) A1 (1 , 0,, 2) B1 (11 , ,, 2) C1(0, 1 ,, 2) D1(0, 0, 2) . (Ⅰ)证明:∵ AC , ,, 0) AC ? (?2, 2,, 0) D1B1 ? (11 , ,, 0) DB ? (2, 2, 0) . 1 1 ? (?11

???? ?

??? ?

?????

??? ?

??? ? ???? ? ??? ? ????? ∴ AC ? 2 AC , DB ? 2D1B1 . 1 1
??? ? ???? ? ??? ? ????? ∴ AC 与 AC 1 1 平行, DB 与 D 1B 1 平行,
BD 共面. 于是 AC 1 1 与 AC 共面, B1 D 1与
(Ⅱ)证明: DD· · AC ? (2, 2, 0) · (?2, 2, 0) ? 0 , , 0, 2) · (?2, 2, 0) ? 0 , DB 1 AC ? (0

???? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ∴DD1 ? AC , DB ? AC .

DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线.
∴ AC ? 平面 B1BDD1 .

又平面 A 1 ACC1 过 AC .

∴ 平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BDD1 .
(Ⅲ)解: AA , 0,, 2) BB1 ? (?1 , ?1 ,, 2) CC1 ? (0, ?1 , 2) . 1 ? (?1 设 n ? ( x1,y1,z1 ) 为平面 A 1 ABB 1 的法向量,

????

????

???? ?

???? ???? n · AA1 ? ? x1 ? 2z1 ? 0 , n · BB1 ? ?x1 ? y1 ? 2z1 ? 0 .
于是 y1 ? 0 ,取 z1 ? 1,则 x1 ? 2 , n ? (2, 0, 1) . 设 m ? ( x2,y2,z2 ) 为平面 B1BCC1 的法向量,

???? ???? ? m · BB1 ? ?x2 ? y2 ? 2z2 ? 0 , m · CC1 ? ? y2 ? 2z2 ? 0 .
2, 1) . 于是 x2 ? 0 ,取 z2 ? 1 ,则 y2 ? 2 , m ? (0,

cos m,n ?

m ·n 1 ? . m n 5

1 ∴ 二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 π ? arccos . 5
解法 2(综合法) : (Ⅰ)证明:∵ D1D ? 平面 A1B1C1D1 , D1D ? 平面 ABCD .

D1 A1

C1 B1

∴ D1D ? DA , D1D ? DC ,平面 A1B1C1D1 ∥平面 ABCD .
于是 C1D1 ∥CD , D1 A 1 ∥ DA . A

D

F

M
C

E

O
B

,DC 的中点,连结 EF,A1E,C1F , 设 E,F 分别为 DA
有A ,C1F ∥ D1D,DE ? 1 ,DF ? 1. 1E ∥ D 1D

∴ A1E ∥C1F ,
于是 AC 1 1 ∥ EF . 由 DE ? DF ? 1 ,得 EF ∥ AC , 故 AC 1 1 ∥ AC , AC 1 1 与 AC 共面. 过点 B1 作 B1O ? 平面 ABCD 于点 O , 则 B1O ∥A1E,B1O ∥C1F ,连结 OE,OF ,

于是 OE ∥B1 A1 , OF ∥B1C1 ,∴ OE ? OF .

∵ B1 A1 ? A1D1 ,∴ OE ? AD . ∵ B1C1 ? C1D1 ,∴ OF ? CD .
所以点 O 在 BD 上,故 D1B1 与 DB 共面. (Ⅱ)证明:∵ D1D ? 平面 ABCD ,∴ D1D ? AC , 又 BD ? AC (正方形的对角线互相垂直) ,

D1D 与 BD 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线,
∴ AC ? 平面 B1BDD1 .
∴ 平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BDD1 . 又平面 A 1 ACC1 过 AC ,
(Ⅲ)解:∵ 直线 DB 是直线 B1B 在平面 ABCD 上的射影, AC ? DB , 根据三垂线定理,有 AC ? B1B . 过点 A 在平面 ABB1 A 内作 AM ? B1B 于 M ,连结 MC,MO , 则 B1B ? 平面 AMC , 于是 B1B ? MC,B1B ? MO , 所以, ?AMC 是二面角 A ? B1B ? C 的一个平面角. 根据勾股定理,有 A ,C1C ? 5 ,B1B ? 6 . 1A ? 5

∵OM ? B1B ,有 OM ?

B1O · OB 2 10 10 2 , BM ? , AM ? , CM ? . ? B1 B 3 3 3 3

cos ?AMC ?

1 AM 2 ? CM 2 ? AC 2 1 ? ? , ?AMC ? π ? arccos , 5 2 AM · CM 5

二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 π ? arccos

1 . 5

18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与 抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小 题满分 14 分. 解: (I)设切点 Q ? x0,0 ? .由 y ? ?

? ?

x2 ? 4?

x x ,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 ,故所求切线 2 2

方程为 y ?

2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) . 4 2

即y?

x0 x2 x? 4 . 2 4

? ?) 在切线上. 因为点 P(0,
2 x0 2 所以 ?4 ? ? , x0 ? 16 , x0 ? ?4 . 4

所求切线方程为 y ? ?2 x ? 4 . (II)设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) . 由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k ? 0 .

1) ,所以直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 . 因直线 AC 过焦点 F (0,
点 A,C 的坐标满足方程组 ? 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,
2

? y ? kx ? 1,
2 ? x ? 4 y,

由根与系数的关系知 ?

? x1 ? x2 ? 4k, ? x1 x2 ? ?4.

AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ? k 2 ) .
因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ?

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 . k k

? ? 1 ?2 ? 4(1 ? k 2 ) 同理可求得 BD ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? . 2 ? ? k? ? k ? ?

S ABCD ?

1 8(1 ? k 2 )2 1 AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ≥ 32 . 2 2 k k

当 k ? 1 时,等号成立.所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32 . 19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识 分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分 13 分.

1, ?, 6) . 解:以 Ak 表示恰剩下 k 只果蝇的事件 (k ? 0, 1, ?, 6) . 以 Bm 表示至少剩下 m 只果蝇的事件 (m ? 0,
可以有多种不同的计算 P( Ak ) 的方法.

方法 1(组合模式) :当事件 Ak 发生时,第 8 ? k 只飞出的蝇子是苍蝇,且在前 7 ? k 只飞出 的蝇子中有 1 只是苍蝇,所以 P( Ak ) ?
1 C7 7?k ?k . ? 2 C8 28

方法 2(排列模式) :当事件 Ak 发生时,共飞走 8 ? k 只蝇子,其中第 8 ? k 只飞出的蝇子是
6? k 苍蝇,哪一只?有两种不同可能.在前 7 ? k 只飞出的蝇子中有 6 ? k 只是果蝇,有 C8 种

不 同 的 选 择 可 能 , 还 需 考 虑 这 7?k 只 蝇 子 的 排 列 顺 序 . 所 以

P( Ak ) ?

1 6? k C2 ? C6 (7 ? k )! 7 ? k . ? 8? k A8 28

由上式立得 P( A1 ) ?

6 3 ? ; 28 14 3 . 28

P( B3 ) ? P( A5 ? A6 ) ? P( A5 ) ? P( A6 ) ?

20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项 式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最 值等问题的综合能力.本小题满分 14 分. 解: (I)我们有

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3

? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
由于 (sin x ? t )2 ≥ 0 , t ≤1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
(II)我们有 g?(t ) ? 12t ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ?1), ??? t ? 1 .
2

列表如下:

t
g ?(t )
g (t )

?? ? ? ? ? ?1, 2? ?

?

1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?
?

1 2
0
极小值 g ? ?

?1 ? 1? ? , ?2 ?

?
?

0
极大值 g ? ?

?
?1? ?2?
?

? 1? ? ? 2?

?

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 , ?

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? 1? 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 ? 和? , 2? ?2 ? ? 2 2?

?1? ? ?? g ? ? ? 2 ,极大值为 g ? ? ? ? 4 . ?2? ? 2?
21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提 取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满 分 14 分. 解: (Ⅰ)我们有 Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? an (n ≥ 2) . (Ⅱ) T1 ? a1 ,对 n ≥ 2 反复使用上述关系式,得

Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? an ? Tn?2 (1 ? r )2 ? an?1 (1 ? r ) ? an ? ? ? a1 (1 ? r)n?1 ? a2 (1? r )n?2 ??? an?1 (1? r ) ? an ,
在①式两端同乘 1 ? r ,得 ①

(1 ? r)Tn ? a1 (1 ? r )n ? a2 (1 ? r )n?1 ? ?? an?1 (1? r )2 ? an (1? r )
② ? ①,得 rTn ? a1 (1 ? r )n ? d[(1 ? r)n?1 ? (1 ? r)n?2 ? ?? (1 ? r)] ? an



d [(1 ? r ) n ? 1 ? r ] ? a1 (1 ? r ) n ? an . r ar?d ar?d d n 即 Tn ? 1 2 (1 ? r ) ? n ? 1 2 . r r r ar?d ar?d d n 如果记 An ? 1 2 (1 ? r ) , Bn ? ? 1 2 ? n , r r r ?
则 Tn ? An ? Bn . 其 中 ? An ? 是 以

a1 r ? d (1? r ) 为 首 项 , 以 1 ? r (r ? 0)为 公 比 的 等 比 数 列 ; ?Bn ? 是 以 r2 a r? d d d ? 1 2 ? 为首项, ? 为公差的等差数列. r r r

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第

2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致. 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3. 答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效. 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径 球的体积公式

V?

4 3 πR 3

P( A?B) ? P( A)?P( B)

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1) .若 A 为位全体正实数的集合, B ? ??2, ?1,1, 2? 则下列结论正确的是( A. A ? B ? ?2, ?1 ? C. A ? B ? (0, ??) )

?

B. (?R A) ? B ? (??,0) D. (?R A) ? B ? ?2, ?1 ?

?

解: ?R A 是全体非正数的集合即负数和 0,所以 (?R A) ? B ? ?2, ?1 ? (2) .若 AB ? (2,4) , AC ? (1,3) , 则 BC ? ( A. (1,1)

?

??? ?

??? ?

??? ?

) D. (-3,-7)

B. (-1,-1) C. (3,7)

??? ? ??? ? ??? ? 解:向量基本运算 BC ? AC ? AB ? (1,3) ? (2, 4) ? (?1, ?1)
(3) .已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n )

‖? , m‖ ? , 则?‖ ? D. 若m

解:定理:垂直于一个平面的两条直线互相平行,故选 B。

(4) . a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的(
2



A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解:当 ? ? 2 2 ? 4a ? 0 ,得 a<1 时方程有根。a<0 时, x1 x 2 ? 时,方程根为 x ? ?1 ,所以选 B

1 ? 0 ,方程有负根,又 a=1 a


(5) .在三角形 ABC 中, AB ? 5, AC ? 3, BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为( A.

2? 3

B.

5? 6

C.

3? 4

D.

? 3

解:由余弦定理 cos ?BAC ?

2? 52 ? 32 ? 72 1 ? ? , ?BAC ? 3 2? 5? 3 2

(6) .函数 f ( x) ? ( x ?1)2 ? 1( x ? 0) 的反函数为 A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 2) B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 2)

解:由原函数定义域是反函数的值域, f ?1 ( x) ? 0 ,排除 B,D 两个;又原函数 x 不能取 1,

f ( x) 不能取 1,故反函数定义域不包括 1,选 C .(直接求解也容易)
(7) .设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? ?? a8 x8 , 则 a0, a1 ,?, a8 中奇数的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 )

i 0 8 解:由题知 ai ? C8 (i ? 0,1,2,?8) ,逐个验证知 C8 ? C8 ? 1,其它为偶数,选 A。

(8) .函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ? 解: y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
B. x ? ?



?
6

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

?
3

) 的对称轴方程为 2 x ?

?

3

? k? ?

?
2

,即 x ? )

k? ? ? ? , k ? 0, x ? 2 12 12

(9) .设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x
B.有最小值

C.是增函数

D.是减函数

1 1 1 解:∵ x ? 0 ∴ ?2 x ? 0, ? ? 0 , f ( x) ? 2 x ? ? 1 ? ?[(?2 x) ? (? )] ? 1 ,由基本不等式 x x x

1 1 f ( x) ? ?[(?2 x) ? (? )] ? 1 ? ?2 (?2 x)(? ) ? 1 ? ?2 2 ? 1 有最大值,选 A x x

(10)若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范 )A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [ ?

围为(

3 3 , ] 3 3

D. ( ?

3 3 , ) 3 3

解:解:设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有 公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径 d ? 得 4k ? k ? 1, k ?
2 2 2

2k ? 4k k 2 ?1

? 1,

1 ,选择 C 3

另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确。

?x ? 0 ? (11) 若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变 ?y ? x ? 2 ?
化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( )A.

3 4

B.1

C.

7 4

D.5

解:如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形。 (阴影部分面积比 1 大,比 S? OAB ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 小,故选 C,不需要算出来) 2

(12)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前 排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )
2 6 A. C8 A6 2 2 B. C8 A3 2 2 C. C8 A6 2 2 D. C8 A5

2 解:从后排 8 人中选 2 人共 C8 种选法,这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变,

则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人,有 5 种插法;余下的一人则要插入前排 5 人的空挡,有
2 6 种插法,故为 A6 ;综上知选 C。

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学(文科)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. ...................... 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. (13) .函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



解:由题知: log2 ( x ? 1) ? 0, x ? 1 ? 0且x ? 1 ? 0 , | x ? 2 | ?1 ? 0 ;解得:x≥3. (14) .已知双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率是 3 。则 n = n 12 ? n

解: a2 ? n, b2 ? 12 ? n, c2 ? a2 ? b2 ? 12 ,离心率 e ? (15) 在数列 {an } 在中, an ? 4n ? 数, 则 ab ?

c 12 ? ? 3 ,所以 n ? 4 a n

5 * , a1 ? a2 ? ?an ? an2 ? bn , n ? N ,其中 a , b 为常 2

3 5 n( ? 4n ? ) 3 5 2 ? 2n 2 ? n 。 解:∵ a n ? 4n ? , ∴ a1 ? , 从而 S n ? 2 2 2 2 2 1 ∴a=2, b ? ? ,则 ab ? ?1 2
(16)已知点 A, B, C , D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是 解:如图,易得 BC ?

(2 13) 2 ? 62 ? 4 , BD ? 82 ? 62 ? 2 7 ,

∴CD ? 12 ,则此球内接长方体三条棱长为 AB、BC、CD(CD
的 对 边 与 CD 等 长 ), 从 而 球 外 接 圆 的 直 径 为

2 R ? 62 ? 42 ? ( 12) 2 ? 8 , R=4 则 BC 与球心构成的大圆如图,
因为△OBC 为正三角形,则 B,C 两点间的球面距离是

4? 。 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

, ] 上的值域 12 2

? ?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? s i n (x2?
(2)? x ? [?

?
6

)

∴周期T ?

? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
3

? ?

?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

(18) . (本小题满分 12 分) 在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片印有一个汉 字的拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. (Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张,测试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽 取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。 (Ⅱ)若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张,求这三张卡片上,拼音带有 后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。 解: (1) 每次测试中, 被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上, 拼音带有后鼻音 “g” 的概率为

3 ,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的, 10

因而所求的概率为

3 3 3 27 ? ? ? 10 10 10 1000

(2)设 Ai (i ? 1, 2,3) 表示所抽取的三张卡片中,恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事 件,且其相应的概率为 P( Ai ), 则

P( A2 ) ?
因而所求概率为

1 2 C7 C3 7 ? 3 C10 40

,

P( A3 ) ?

3 C3 1 ? 3 C10 120

7 1 11 P( A ( A P( 3A ) ? ? ? 2 ? A 3) ? P 2 )? 40 120 60
(19) . (本小题满分 12 分 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱 形, ?ABC ? 点。 (Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中

M

A
解:方法一(综合法) (1)? CD‖ AB,

D C

B

∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
作 AP ? CD于P, 连接 MP

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

O

?
4

,∴ DP =

2 2

M

∵MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,
DP 1 ? ∴ cos ?MDP ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3
A B

Q D P C

? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3

∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等, (2)∵ AB‖ 平面OCD,
连接 OP,过点 A 作 AQ ? OP 于点 Q,

∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,

∵ AQ ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?
2 2

1 3 2 ? 2 2



AP ? DP ?

2 2? OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y , z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 ,0), D( ? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) , 2 2 2
z O M

(1)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,

??? ? ???? ? 2 2 ∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ? ???? ? AB?MD 1 ? , ∴c o ? s ? ??? ,?? ? ???? ? ? ∴ 3 AB ? MD 2
∴ AB 与 MD 所成角的大小为

? 3
x B

A C

D P y

??? ? ???? 2 2 2 (2) ∵OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 2 2 2

∴ 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? OD ? 0

??? ?

????

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2
取z ?

2 ,解得 n ? (0,4, 2) ??? ?

设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,

??? ? OB ? n 2 ??? ? ? . ∵OB ? ( 1, 0 ?, ,2 ∴ ) d? n 3
所以点 B 到平面 OCD 的距离为 (20) . (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 3

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ) 已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立, 求实数 x 的取值范围。 解: (1) f ' ( x) ? ax2 ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,所以 f ' (1) ? 0 即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0,∴ a ? 1 (2) 方法一 由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 设 g (a) ? a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a ) 为单调递增函数

( a ? R)
所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0
2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0 , 于是 x 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0?

?

方法二 由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

即 a( x ? 2) ? x ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

于是 a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 a ? (0, ?? ) 对任意 都成立,即 x2 ? 2 x2 ? 2

∴ ?2 ? x ? 0 , 于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0?
(21) . (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a0 ? a, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中 a , c 为实数,且 c ? 0 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式

(Ⅱ)设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2
*

(Ⅲ)若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,证明 0 ? c ? 1 解 (1) 方法一:

∵an?1 ?1 ? c(an ?1)
∴ 当 a ? 1 时, ?an ?1?是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列。
n?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。 ∴an ?1 ? (a ?1 ) c

∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。
方法二 由 题 设 得 : 当

n?2





n? an ?1 ? c an?1 ? ( ? c2 an? ? 1 ?2 ? ?)cn? a ? 1 ? ( a? c 1

1

)

1

(

1

∴an ? (a ?1)cn?1 ?1
n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。
∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。
(2)

1 ? n( ) n 2 1 1 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2( ) 2 ? ? ? n( ) n 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 ∴ Sn ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n 2
由(1)得 bn ? n(1 ? a) c
n ?1

(3) 由(1)知 an ? (a ?1)c 若 0 ? (a ?1)c
n?1

n?1

?1

? 1 ? 1 ,则 0 ? (1 ? a)cn?1 ? 1
∴ 0 ? c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 1? a

∵0 ? a1 ? a ? 1,
由c
n ?1

? 0 对任意 n ? N * 成立,知 c ? 0 。下面证 c ? 1 ,用反证法
x
n ?1

方法一:假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c



于无穷大

∴cn ?1 ?

1 * 不能对 n ? N 恒成立,导致矛盾。∴ c ? 1 。 1? a ∴0 ? c ? 1 1 1 n ?1 n ?1 方法二:假设 c ? 1 ,∵ c ? ,∴ log c c ? log c 1? a 1? a 1 (n ? N * ) 恒成立 即 n ? 1 ? log c (*) 1? a

∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴ c ? 1
∴0 ? c ? 1
(22) . (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 其相应于焦点 F (2, 0) 的准线方程为 x ? 4 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知过点 F1 (?2,0) 倾斜角为 ? 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,求证:

AB ?

4 2 ; 2 ? COS 2?

( Ⅲ ) 过 点 F1 (?2,0) 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 分 别 交 椭 圆 C 于 A, B 和 D, E , 求

AB ? DE
的最小值 解 : (1)由题意得:

?c ? 2 ? 2 ?a 2 ? 8 ?a ? ? 4 ∴ ? ? 2 ? ?b ? 4 ?c 2 2 2 ? ?a ? b ? c
∴ 椭圆 C 的方程为
(2)方法一: 由(1)知 F1 (?2,0) 是椭圆 C 的左焦点,离心率 e ? 设 l 为椭圆的左准线。则 l : x ? ?4 作 AA 1 ? l 于A 1 , BB 1 ? l 于B 1 , l 与 x 轴交于点 H(如图)

x2 y 2 ? ?1 8 4

2 2

∵ 点 A 在椭圆上

∴ AF1 ?

2 AA1 2 2 ( FH1 ? AF1 cos ? ) 2 2 AF1 cos ? 2

?

? 2?
∴ AF1 ?

2 2 ? cos ? 2 2 ? cos ?

同理 BF1 ?

∴ AB ? AF1 ? BF1 ?
方法二: 当? ?

2 2 4 2 。 ? ? 2 2 ? cos ? 2 ? cos ? 2 ? cos ?

?
2

时,记 k ? tan ? ,则 AB : y ? k ( x ? 2)

将其代入方程

x2 ? 2 y 2 ? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8(k 2 ?1) ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是此二次方程的两个根.

∴ x1 ? x2 ? ?

8k 2 8(k 2 ? 1) , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 2 AB? ( 1 x? 2 x)2 ? ( 1 y? y ? ( 1 ? 2k ) ( 2) 1x ? 2x ) ?

(1 ?2 k )1[x( ? 2 2x
................(1)

) ?

1

x 42 x

]

?8k 2 2 32(k 2 ? 1) 4 2(1 ? k 2 ) ? (1 ? k 2 )[( ) ? ] ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
∵k 2 ? tan 2 ? , 代入(1)式得
当? ?

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

........................(2)

?
2

时, AB ? 2 2

仍满足(2)式。

∴ AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

(3)设直线 AB 的倾斜角为 ? ,由于 DE ? AB, 由(2)可得

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

, DE ?

4 2 2 ? sin 2 ?

A B ? D E?

4 2 4 2 12 2 12 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 ? c o s? ? 2 s i? n ?2 s ?i n ? c o2s? 1 s i 2 n ?2 4
3? 16 2 时, AB ? DE 取得最小值 4 3

当? ?

?
4

或? ?

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学文科
一:选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1、 i 是虚数单位, i(1 ? i) 等于 (A) 1 ? i 答案:选 D 解析: i(1 ? i) ? i ? i ? ?1 ? i
2

(B) ?1 ? i

(C) 1 ? i

(D) ?1 ? i

(2)若集合 A={x∣(2x+1) (x-3)<0} , (A) {1,2,3,} 答案:选 B (B) {1,2, }

B ? ?x ? N? x ? 5 ,

则 A∩B 是

(C) {4,5}

(D) {1,2,3,4,5}

A ? {x | ?
解析:

1 ? x ? 3} 2 , B ? {1, 2,3, 4,5} ,∴ A ? B ? {1, 2}

(3)不等式组

?x ? 0 ? ?x ? 3y ? 4 ?3 x ? y ? 4 ?

所表示的平面区域的面积等于

3 (A) .2

2 (B). 3

4 (C). 3

3 (D). 4

y

B

答案:选 C 解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

C O

A x

?x ? 3y ? 4 4 ? 3 x ? y ? 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, 3 )
1 4 4 (4 ? ) ? 1 ? 3 3。 ∴S△ABC= 2

(4) “ a ? c >b+d ”是“ a >b 且 c>d ”的 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:选 A

解析: 由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d, 而由 a ? c >b+d 不能推出 a >b 且 c>d, 可举反例。 (5)已知

{an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,则 a20 等于
(B) 1 (C) 3 (D 7

(A)-1 答案:选 B 解析: 由

a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 , a ?a ?a 3a ? 99 即 a4 ? 33 由 2 4 6 =99 得 4

a ? a4 ? (20 ? 4) ? (?2) ? 33 ? 32 ? 1 。 ∴ d ? ?2 , 20
6 (6)下列曲线中离心率为 2 的是
x2 y 2 ? ?1 2 4 (A) .
答案:选 B

x2 y 2 ? ?1 4 2 (B) .

x2 y 2 ? ?1 4 6 (C) .

x2 y 2 ? ?1 4 10 (D) .

e?
解析;由

b2 3 b2 1 6 c2 3 ? ,1 ? ? , ? a 2 2 a 2 2 , ? a 2 ? 2b2 ,观察各选项即得。 2 得 a2 2

( 7 ) 直 线 l 过 点 ( - 1 , 2 ) 且 与 直 线 2x - 3y + 4=0 垂 直 , 则 l 的 方 程 是 (A)3x+2y-1=0 (B)3x+2y+7=0 (C)2x-3y+5=0 (D) 2x-3y+8=0 答案:选 A

解析:

kl ? ?

3 3 y ? 2 ? ? ( x ? 1) 2 ,∴ l 的方程为 2 ,即 3x ? 2 y ? 1 ? 0
2

(8) a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图象可能是

答案:选 C 解析: x ? b时y ? 0; x ? b时y ? 0

f ( x) ?
(9) .设函数 取值范围是(A) . 答案:选 D

? 5? ? sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? tan ? / ?0, ? 3 2 ,其中 ? ? ? 12 ? ,则导数 f (1) 的
(B). ?

, ? ??2

? 2, 3 ? ?

(C) ?

? 3, 2? ?

(D ?

? 2, 2? ?

f / (1) ? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) f ( x ) ? sin ? x ? 3 cos ? x 3 解析: ,∴
/ 2

?

∴ 2 ? f (1) ? 2 。
/

(10)考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连成 三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于

(A) .1

1 (B). 2

1 (C) 3

(D)0

答案:选 A 解析:不妨设上下面的中心为 A、B 左右面的中心为 C、D 前后面的中心为 E、F 如图所示。 从中任选 3 个点连成三角形可分两类: ?B 一是相对面的中心两点及被这两个面所夹四个面中心的 任意一面的中心,构成的是等腰直角三角形,此时剩下 ?F C 的 3 个点也连成一个与其全等的三角形。 ?D ? ?E 二是所选 3 个点所在的平面中没有任何两个面是相对面 即此三个面彼此相邻,此时构成的是正三角形, ?A 同时剩下的 3 个点也构成正三角形。故所求概率是 1。 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 (11)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是_______ 开始 答案: (0, ?1, 0) 解析:设 M (0, y, 0) ,则由 | MA |?| MB | 得

a ?1

1 ? y 2 ? 4 ? 1 ? ( y ? 3) 2 ? 1
即 M 的坐标是 (0, ?1, 0)

,解得 y ? ?1 否

a ? 2a ? 1 a ? 100 ?
是 输 出

(12)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______ 答案:127 解析:由程序框图知,循环体被执行后 a 的值依次为 3、7、15、31、 63、127,故输出的结果是 127。

a
结束

(13)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是________

3 答案: 4
解析:从长度为 2、3、4、5 的四条线段中任意趣出 3 条共有 4 种不同的取法,其中可构成

p?
三角形的有(2,3,4) , (2,4,5) , (3,4,5)三种,故所求概率

3 4

(14) 在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 若 AC = ? AE + ? AF , 其中 ? , ? ? R ,则 ? + ? _____ . A D E C F B

????

??? ?

??? ?

4 答案: 3

???? ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? AC ? AB ? AD, AE ? AD ? AB, AF ? AB ? AD 2 2 解析:如图 ??? ? ??? ? 3 ??? ? ???? 3 ???? ???? 2 ??? ? ??? ? 4 AE ? AF ? ( AB ? AD ) ? AC AC ? ( AE ? AF ) ??? ? 2 2 3 3 ,∴ ,∴
(15)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) 。 ○ 1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ○ 2 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ? BCD 的三条高线的交点; ○ 3 若分别作 ? ABC 和 ? ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ○ 4 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ○ 5 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。 解析:①④⑤ 解析:命题①显然正确,不然 AB 与 CD 共面,四面体不存在了. 命题②不正确, ? BCD 的三条高线的交点固定时,顶点 A 还可以移动. 命题③不正确,任选 AB 上两点作垂足,分别在垂线上取 C , D 可组成四面体。 命题④正确,3 个面组成的曲面面积一定大于一个平面三角形的面积。 命题⑤正确,设 AB 中点为 M , CD 中点为 N ,则

M?

A? B C?D ,N ? 2 2 ,

于是 MN 的中点为

O?

A? B ?C ? D 4 ,同理其它两对棱连线中点也是 O 点。

三.解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答

写在答题卡上的指定区域内。 (16) (本小题满分 12 分)

1 ? 在 ? ABC 中,C-A= 2 , sinB= 3 。
(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积 解:本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。

C?A?
(Ⅰ)由

? ? B ? B 2 A? ? sin A ? sin( ?) ? (cos 2 ,且 C ? A ? ?? B ,∴ 4 2 ,∴ 4 2 2
C

B B sin? ) 2 2 ,

1 1 3 sin 2 A ? (1 ? sin B) ? sin A ? 2 3 ,又 sin A ? 0 ,∴ 3 ∴

AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B sin A

A

B

AC sin A BC ? ? sin B


6? 1 3

3 3 ?3 2
,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3



S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

(17) (本小题满分 12 分) 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验, 两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下 品种 A: 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414, 415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397 397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (I)完成所附的茎叶图 (II)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (III)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论。 解:本小题主要考查茎叶图统计的基本思想方 A B 法,考查分析样本数据、从样本数据中提取基 7 35 本的数字特征、进行统计推断的能力和应用意识。 7 36 3 (Ⅰ)茎叶图如图所示: 5 37 1 4 (Ⅱ)由于每个品种的数据都只有 25 个,样本不大, 8 38 3 5 6 9 2 39 1 2 4 4 5 7 7 5 0 40 0 1 1 3 6 7 5 4 2 41 0 2 5 6

画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅清晰明了地展 示了数据的分布状况,便于比较,没有任何信息 损失,而且可以随时记录新的数据。 (Ⅲ)通过观察茎叶图可以看出: ①品种 A 的亩产平均数(或均值)比品种 B 高; ②品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大, 故品种 A 的亩产稳定性较差。 (18) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 ? 2 ?1 2 b 已知椭圆 a (a>b>0)的离心率为 3 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的
圆与直线 y ? x ? 2 相切, (1)求 a 与 b ; (2)设该椭圆的左,右焦点分别为 垂直, 2 交 1 与点 P .求线段

F1 和 F2 ,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴

l

l

PF1 垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。

解:本小题主要考查椭圆、抛物线的方程,点到直线的距离公式,直线和曲线的位置关系等 基础知识,考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力.

e?
(1)由

2 3 b2 2 b? ? 2 ? 2 2 2 1?1 3 ,又 3 得a ,∴ b ? 2, a ? 3 ,∴ a ? 3, b ? 2 。
2 2

F (?1,0), F2 (1,0) . (2)(方法一)由 c ? a ? b ? 1得 1
设 M ( x, y ), 则 P(1, y ) .由 此轨迹是抛物线. ( 方法二 ) 因为点 M 在线段

MF1 ? MP

,得 ( x ? 1) ? y ? ( x ?1) ? y ? ?4x
2 2 2 2

PF1 的垂直平分线上 ,所以 MF F 1 ? MP , 即 M 到 1 的距离等于

M 到 l1 的 距 离 . 此 轨 迹 是 以 F1 (?1,0) 为 焦 点 、 l1 : x ? 1 为 准 线 的 抛 物 线 , 轨 迹 方 程 为

y 2 ? ?4x
(19) (本小题满分 12 分) 已知数列{

an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 2n ,数列{ bn }的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn an }与{ bn }的通项公式;

(1)求数列{ (2)设

2 cn ? an ? bn ,证明:当且仅当 n≥3 时, cn ?1 < cn

解:本小题主要考查等差数列、等比数列,不等式等有关知识,考查数列的通项与其前 n 项 和之间的关系,考查抽象概括和运算求解能力。 当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时,

a1 ? S1 ? 4

an ? Sn ? Sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n

a1 ? 4 也适合上式,所以数列{ an }的通项公式 an ? 4n
当 n ? 1 时,

b1 ? T1 ? 2 ? b1 ,∴ b1 ? 1

bn 1 ? b ? Tn ? Tn?1 ? 2 ? bn ? (2 ? bn?1 ) ,∴ bn ?1 2 当 n ? 2 时, n
1 1 bn ? ( ) n ?1 { b } b 2 ∴数列 n 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以数列{ n }的通项公式 。

cn?1 (n ? 1)2 1 1 1 n ?1 ? ? (1 ? )2 cn ? an ? bn ? 16n ( ) 2 c 2n 2 n 2 (2)由(1)知 ,∴ n
2 2

cn ?1 cn ?1 9 ? ? ?1 c c 8 当 n ? 1 时, n 2 ? 1 ,当 n ? 2 时 n , cn?1 1 1 1 1 8 ? (1 ? )2 ? (1 ? )2 ? ? 1 c 2 n 2 3 9 当 n ? 3 时, n ,
因此,当且仅当 n≥3 时, (20)本小题满分 13 分 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行, E 和 F 式 l 上的两个不同点, 且 EA=ED, FB=FC, E ? 和 F ? 是平面 ABCD 内的两点, EE ? 和 D E F C

cn ?1 < cn

l

FF ? 都与平面 ABCD 垂直,
(1)证明:直线 E ?F ? 垂直且平分线段 AD: ( 2 ) 若 ∠ EAD= ∠ EAB ? 60 ,EF ? 2, 求 多 面 体
0

E/
A 第 20 题 图 B

F/

ABCDEF 的体积。 解:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间几何体的体 积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力。 由 EA ? ED 且 EE ? 面 ABCD,∴点 E 在线段 AD 的垂直平分线上,
/ /

同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上,又 ABCD 是正方形 ∴线段 BC 的垂直平分线就是线段 AD 的垂直平分线, 即点 E 、 F 都在线段 AD 的垂直平分线,所以直线 E ?F ? 垂直且平分线段 AD。
/ /

/

(2)连接 EB、EC。由题设知,多面体 ABCDEF 可分割成正四棱锥 E-ABCD 和正四面体 E-BCF 两部分。 设 AD 的中点为 M,在 Rt△MEE/中,由于 ME/=1,ME= 3 ,∴EE/= 2

1 1 4 2 VE ? ABCD ? S正方形ABCD ? EE / ? ? 22 ? 2 ? 3 3 3 ∴ 1 1 1 2 2 VE ? BCF ? VC ? BEF ? VC ? BEA ? VE ? ABC ? S?ABC ? EE / ? ? ? 22 ? 2 ? 3 3 2 3 又
∴多面体 ABCDEF 的体积为

VE? ABCD ? VE?BCF ? 2 2 。

(21) (本小题满分 14 分)

f ( x) ? x ?
已知函数

2 ? 1 ? a ln x x ,a>0,

(1)讨论 f ( x ) 的单调性;
2 (2)设 a=3,求 f ( x ) 在区间[1, e ]上值域。其中 e=2.71828?是自然对数的底数。

解:本小题主要考查函数的定义域、 值域、 最值, 利用导数研究函数的单调性、极值等知识, 考查分类讨论的思想和运算求解的能力 (1)函数的定义域是 (0, ??) ,导函数
2

f / ( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? x2 x x2

2 设 g ( x) ? x ? ax ? 2, 二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 2 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,

/

∴ f ( x ) 是 (0, ??) 上的单调递增函数。 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根
2

x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? ,0 ? x1 ? x2 2 2

x
f ' ( x)
f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增 ?

x1
0 极大

( x1 , x2 )
单调递减 ?

x2
0 极小

( x2 , ??)
+ 单调递增 ?

此时 f ( x ) 在

(0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) ( , ) 2 2 2 上单调递增,在 上单调递减,在

(

a ? a2 ? 8 , ??) 2 上单调递增。

x ? 1, x 2 ? 2 。 (2)当 a ? 3 时,方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 1
2 由(1)知, f ( x ) 在 [1, 2] 上是减函数,在 [2, e ] 上增函数。

f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln 2是极小值, f (e 2 ) ? e 2 ?


2 ?5 ? 0 e2 2 ? 5] e2 。

所以函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的值域为

2

[2 ? 3ln 2, e 2 ?

绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第Ⅰ卷第 1 至第 2 页, 第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。

参考公式: S 表示底面积,h 表示底面上的高 如果事件 A 与 B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 棱柱体积 V=Sh
1 棱锥体积 V= Sh 3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选

项中.只有一项是符合题目要求的. (1)若 A= ?x | x ?1 ? 0? ,B= ?x | x ? 3 ? 0? ,则 A ? B = (A)(-1,+∞) 答案:C (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)

解析:画数轴易知.

(2)已知 i 2 ? ?1 ,则 i( 1 ? 3i )= (A) 3 ? i 答案:B (B) 3 ? i 解析:直接计算. (C) ? 3 ? i (D) ? 3 ? i

1 1 (3)设向量 a ? (1, 0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 2 2

(A) a ? b (C) a / / b 答案:D

(B) a? b?

2 2

(D) a ? b 与 b 垂直 解析:利用公式计算,采用排除法.

(4)过 点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 答案:A (B)x-2y+1=0 解析:利用点斜式方程.
2

(C)2x+y-2=0

(D)x+2y-1=0

(5)设数列{ a n }的前 n 项和 s n = n ,则 a 8 的值为 (A) 15 答案:A (B) 16 (C) 49 (D)64

解析:利用 a 8 =S8-S7,即前 8 项和减去前 7 项和.

(6)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是

答案:D

解析: 利用开口方向 a、 对称轴的位置、 y 轴上的截距点 c 之间关系,

结合 abc>0 产生矛盾,采用排除法易知.

? 3 ?5 ? 2 ?5 ? 2 ?5 ? ? ? ? ? ? (7)设 a= ? 5 ? ,b= ? 5 ? ,c= ? 5 ? ,则 a,b,c 的大小关系是

2

3

2

(A)a>c>b a 答案:A

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>

解析:利用构造幂函数比较 a、c 再利用构造指数函数比较 b、c.

? 2 x ? y ? 6 ? 0, ? (8)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0, 则目标 函数 z=x+y 的最大值是 ? y ? 0, ?

(A)3 答案:C

(B) 4 解析:画出可行域易求.

(C) 6

(D)8

(9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 (A)372 (B)360 答案:B (C)292 (D)280 解析:可理解为长 8、宽 10、高 2 的长方体和长 6、宽 2、高 8

的长方体组合而成,注意 2×6 重合两次,应减去.

(10) 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个 顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 (A)
3 18 4 18 5 18 6 18

(B)

(C)

(D)

答案:C

解析:所有可能有 6×6,所得的两条直线相互垂直有 5×2.



学(文科)(安徽卷)

第Ⅱ 卷(非选择题共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置· (11)命题“存在 x∈ R,使得 x2+2x+5=0”的否定是 答案:对任何 X∈R,都有 X2+2X+5≠0 解析:依据“存在”的否定为“任何、任意” ,易知. (12)抛物线 y2=8x 的焦点坐标是 答案: (2,0) 解析:利用定义易知.

(13)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x=

答案:12

解析:运算时 X 顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.

(14)某地有居民 100000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普 通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户, 从高收入家庭中以简单随机抽样方式 抽取 l00 户进行调查,发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通 家庭 50 户,高收人家庭 70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为 该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .

答案:5.7% 解析:

50 5000 70 700 5700 = = = 5.7% . , ,易知 990 99000 100 1000 100000

(15) 若 a>0 ,b>0,a+b=2 , 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 a , b 恒 成 立 的 是 . (写出所有正确命题的编号). ② a+ b≤ 2; ③ a2+b2≥2; ④a3+b3≥3;
1 1 ⑤ ? ?2 a b

① ab≤1;

答案:①,③,⑤

解析:①,⑤化简后相同,令 a=b=1 排除② 、易知④ ,再利

a 2 ? b2 a+b 用 易知③ 正确 ? 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. (16)△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C,所对边长分别为 a,b,c,cosA=
12 . 13

??? ? ??? ? (1)求 AB ? AC
(2)若 c-b= 1,求 a 的值. (本小题满分 12 分)本题考查同角三角形函数基本关系,三角形面积公式,向 量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 12 5 12 解:由 cosA=13 ,得 sinA= 1 ? ( )2 =13 . 13 1 又2 bc sinA=30,∴bc=156. ??? ? ??? ? 12 (1) AB ? AC =bc cosA=156·13 =144. 12 (2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-13 )=25, ∴a=5 (17)椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率
e? 1 2.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线的方程.

(本小题满分 12 分)本题考查椭圆的定义,椭圆的标准方程及简单几何性质, 直线的点斜式方程与一般方程, 点到直线的距离公式等基础知识,考查解析几何 的基本思想和综合运算能力. 解: (1)设椭圆 E 的方程为
x2 y2 ? ?1 4c 2 3c 2 x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

1 c 1 由 e=2 ,得a =2 ,b2=a2-c2 =3c2. ∴
1 3 ? ? 1 ,解得:c=2, c2 c2

将 A(2,3)代入,有

椭圆 E 的方

程为

x2 y 2 ? ?1 16 12

3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1(-2,0) ,F2(2,0) ,所以直线 AF1 的方程为 y=4 (X+2), 即 3x-4y+6=0. 直线 AF2 的方程为 x=2. 由椭圆 E 的图形知, ∠F1AF2 的角平分线所在直线的斜率为正数. 设 P(x,y)为∠F1AF2 的角平分线所在直线上任一点, 则有
? 3x ? 4 y ? 6 ? ?? x ? 2 ? 5

若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0,其斜率为负,不合题意,舍去. 于是 3x-4y+6=-5x+10,即 2x-y-1=0. 所以∠F1AF2 的角平分线所在直线的方程为 2x-y-1=0.

18、 (本小题满分 13 分) 某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气 污染指数的检测数据如下(主要污 染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75 ,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表; (Ⅱ)作出频率分布直方图; (Ⅲ)根据国家标准,污 染指数在 0~50 之间时,空气质量为优:在 51~100 之间 时,为良;在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. (本小题满分 13 分)本题考查频数,频数及频率分布直方图,考查运用统计知 识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识. 解:(Ⅰ) 频率分布表: 分 组 频 2 1 4 6 10 5 2 数 频 率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30
频率 组距
10 300

[41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111)

415161718191101111

空气污染指数

(Ⅱ)频率分布直方图: (Ⅲ)答对下述两条中的一条即可: 1 (i)该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的15 . 有 26 13 天处于良好的水平,占当月天数的15 . 处于优或良的天数共有 28 天,占当月天

14 数的15 . 说明该市空气质量基本良好. 1 (ii) 轻微污染有 2 天, 占当月天数的15 . 污染指数在 80 以上的接近轻微污染的 17 天数有 15 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的30 ,超过 50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.

(19) (本小题满分 13 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,E F∥ AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB;

(Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积; (本小题满分 13 分)本题考查空间线面平行,线面垂直,面面垂直,体积的计 算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力. (Ⅰ) 证:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点. 连 EG,GH,由于 H 为
1 BC 的中点,故 GH∥AB 且 GH= AB 2 1 AB 2

又 EF∥AB 且 EF=

∴EF∥GH. 且 EF=GH ∴四边形 EFHG 为平行四边形. ∴EG∥FH,而 EG ? 平面 EDB,∴FH∥平面 EDB. (Ⅱ)证:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC. 又 EF∥AB,∴ EF⊥BC. 而 EF⊥FB,∴ EF⊥平面 BFC,∴ EF⊥FH. ∴ AB⊥FH.又 BF=FC H 为 BC 的中点,FH⊥BC.∴ FH⊥平面 ABCD.

∴ FH⊥AC. 又 FH∥EG,∴ AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG∩BD=G, ∴ AC⊥平面 EDB. (Ⅲ)解:∵ EF⊥FB,∠BFC=90°,∴ BF⊥平面 CDEF. ∴ BF 为四面体 B-DEF 的高. 又 BC=AB=2, ∴ BF=FC=

2

1 1 1 VB ? DEF ? . .1. 2. 2 ? 3 2 3

(20) (本小题满分 12 分) 设函数 f (x) = sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2 ? ,求函数 f(x)的单调区间与极值.

(本小题满分 12 分)本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值 的方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解:由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0﹤x﹤2 ? , 知 f '( x) =cosx+sinx+1, 于是 f '( x) =1+ 2 sin(x+ 令 f '( x) =0,从而 sin(x+

? ). 4
3 ? 2 )=,得 x= ? ,或 x= ? . 2 4 2

当 x 变化时, f '( x) ,f(x)变化情况如下表: X (0, ? )

?

(? , -

3 ?) 2

3 ? 2 0 3 ? 2



3 ? ,2 ? ) 2 +

f '( x)

+ 单调递增↗

0

f(x)

? +2

单调递减↘

单调递增↗

3 因此,由上表知 f(x)的单调递增区间是(0, ? )与( ? ,2 ? ) ,单调递减区 2 间是( ? , 3 3 3 ,极小值为 f( ? )= ? ,极大值为 f( ? )= ? +2. ?) 2 2 2

(21) (本小题满分 13 分) 设 c1 ,c 2 ..., c n ,?是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上, 且都与直线 y=
3 x 相切, 对每一个正整数 n,圆 c n 都与圆 c n?1 相互外切, 以rn 表 3

示 c n 的半径,已知 ?r n (Ⅰ)证明: ?r n

? 为递增数列.

? 为等比数列;

?n? ? ? (Ⅱ)设 r 1 =1,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? ?r n ? ?

(本小题满分 13 分)本题考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基 本方法,考查抽象能力以及推理论证能力. 解:(Ⅰ)将直线 y=
3 x 的倾斜角记为 ? , 则有 tan ? = 3

1 3 ,sin ? = . 2 3

设 Cn 的圆心为( ? n ,0) ,则由题意知

1 ?n = sin ? = 2 ?n

,得 ? n = 2 ? n ;同理

?n?1 ? 2? n?1 ,题意知 ?n?1 ? ?n ? ? n ? ? n?1 ? 2? n?1 将 ? n = 2 ? n 代入,解得 rn+1=3rn.
故{ rn }为公比 q=3 的等比数列. (Ⅱ)由于 r1=1,q=3,故 rn=3n-1,从而
1 2 n ? ?? , ?1 ? 2 ?n

n

r

=n· 31? n ,

n

记 Sn=

则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+???+n· 31? n . ②



Sn =1·3-1+2·3-2+???+(n-1) · 31? n +n· 3? n . 3

①-②,得

2 2 1 ? 3? n 2Sn -1 -2 1? n ?n =1+3 +3 +???+ 3 -n· 3 = - n· 3? n = –(n+ )· 3? n 2 3 3 3 3
Sn=

9 1 2 1? n – (n+ )· 3 . 4 2 3

2011 年普通高等学校招生全国统 一考试(安徽卷) 数学(文科)
参考公式:

椎体体积 V ? 若y?

1 Sh ,其中 S 为椎体的底面积,h 为椎体的高。 3

1 n ? ? bx ? a 为回归 , (x 2 ,y 2 )?, (x n ,y n )为样本点, y ? y1 (x 1 ,y 1 ) n i ?1 1 n 1 n 直线,则 x ? ? x1 , y ? ? y1 n i ?1 n i ?1
b?

? ? x1 ? y ?? y1 ? y ?
i ?1

n

?? x ? x ?
i ?1 1

n

?

?x y
i ?1 n

n

1 1 2 i

? nx y ? nx 2
, a ? y ? bx

2

?x
i ?1

a ? y ? bx
说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算。


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