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江苏省苏州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.设集合 A={x|x﹣1>1},B={x|x<3},则 A∩B= 2.已知复数 z= (i 为虚数单位) ,则|z|的值是

. .

3.若双曲线

的离心率为 2,则 a 等于



4.函数

的定义域为

. .

5. f x) =ex+2x 1) 函数 ( (e 是自然对数的底数) 的图象在点 (0, 处的切线方程是 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 27a3﹣a6=0,则 = .

7.“a=1”是“直线 l1:ax+y+1=0,l2: (a+2)x﹣3y﹣2=0 垂直”的 分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一) 8.已知 cos(α+ )= ,则 sin(α﹣ )的值是 .

条件. (填“充

9. 4) B 6) 求过两点 A (0, , (4, 且圆心在直线 x﹣2y﹣2=0 上的圆的标准方程



10.已知函数 f(x)=

,若 f(f(﹣2) )>f(k) ,则实数 k 的取值范

围为 . 11.已知经过点 A(﹣3,﹣2)的直线与抛物线 C:x2=8y 在第二象限相切于点 B,记抛物 线 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率是 . 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosA= ,sinC=2cosB,且 a=4,则△ABC 的面积是 . 2 13. n, 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣n (n∈N*) , 若存在正整数 m, 满足 am2﹣4=4 (Sn+10) , 则 m+n 的值是 . 14.若实数 a,b 满足 a= +2 ,则 a 的最大值是 .

二.解答题 15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (1)求证:A1B∥平面 AFC; (2)求证:平面 A1B1CD⊥平面 AFC.

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16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个对称 轴之间的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 sinα﹣f(α)= ,求 的值.

17.已知数列{an}为公差不为零的等差数列,其前 n 项和为 Sn,满足 S5﹣2a2=25,且 a1, a4,a13 恰为等比数列{bn}的前三项 (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 Tn 是数列{ }的前 n 项和,是否存在 k∈N*,使得等式 1﹣2Tk= 成立,

若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 18. 如图, 某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、 上部是圆锥的封闭型组合体存储设备, 该组合体总高度为 8 米,圆柱的底面半径为 4 米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制 作圆柱侧面和底面的造价均为每平米 2 百元, 制作圆锥侧面的造价为每平米 4 百元, 设制作 该存储设备的总费用为 y 百元. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设 OO1=h(米) ,将 y 表示成 h 的函数关系式; ②设∠SDO1=θ(rad) ,将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你选用其中的一个函数关系式,求制作该存储设备总费用的最小值.

19.如图,已知椭圆 M: (1)求椭圆 M 的标准方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且经过过点 P(2,1) .

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(2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆 M 上异于顶点的任意两点,直线 OA,OB 的斜 率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ . ①求 x12+x22 的值; ②设点 B 关于 x 轴的对称点为 C(点 C,A 不重合) ,试求直线 AC 的斜率.

20.已知函数 f(x)=ex﹣cx﹣c(c 为常数,e 是自然对数的底数) ,f′(x)是函数 y=f(x) 的导函数. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 c>1 时,试求证: ①对任意的 x>0,不等式 f(lnc+x)>f(lnc﹣x)恒成立; ②函数 y=f(x)有两个相异的零点.

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2015-2016 学年江苏省苏州市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.设集合 A={x|x﹣1>1},B={x|x<3},则 A∩B= {x|2<x<3} . 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,再由 B,求出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:x﹣1>1,即 A={x|x>2}, ∵B={x|x<3}, ∴A∩B={x|2<x<3}. 故答案为:{x|2<x<3}

2.已知复数 z=

(i 为虚数单位) ,则|z|的值是 5 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的计算公式求解. 【解答】解:∵z= = = .

∴|z|= 故答案为:5.

=5.

3.若双曲线

的离心率为 2,则 a 等于 1 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先求出 b2=3,再由离心率为 【解答】解:由 解得 a=1. 故答案:1.

,得到 a 的值. ,而离心率 e= ,

=1 可知虚轴 b=

4.函数

的定义域为 [1,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】首先由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解对数不等式即可得到原函数的定义 域. 【解答】解:由 log2(2x﹣1)≥0,得 2x﹣1≥1,解得 x≥1.
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所以原函数的定义域为[1,+∞) . 故答案为[1,+∞) . 5. =ex+2x 1) 函数 f (x) (e 是自然对数的底数) 的图象在点 (0, 处的切线方程是 y=3x+1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求得函数的导数,由导数的几何意义,可得切线的斜率,运用直线的斜截式方程, 计算即可得到所求切线的方程. 【解答】解:函数 f(x)=ex+2x 的导数为 f′(x)=ex+2, 可得 f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为 k=e0+2=3, 即有图象在点(0,1)处的切线方程为 y=3x+1. 故答案为:y=3x+1.

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 27a3﹣a6=0,则

=

28 .

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】设出等比数列的首项和公比,由已知求出公比,代入等比数列的前 n 项和得答案. 【解答】解:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 由 27a3﹣a6=0,得 27a3﹣a3q3=0,即 q=3,



=



故答案为:28. 7.“a=1”是“直线 l1:ax+y+1=0,l2: (a+2)x﹣3y﹣2=0 垂直”的 充分不必要 条件. (填“充 分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】先根据两直线垂直,求出 a 的值,即可判断. 【解答】解:∵直线 l1:ax+y+1=0 和 l2: (a+2)x﹣3y﹣2=0 垂直, ∴a(a+2)﹣3=0, 解得 a=﹣3,或 a=1, 故实数“a=1”是“直线 l1:ax+y+1=0,l2: (a+2)x﹣3y﹣2=0 垂直的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要.

8.已知 cos(α+

)= ,则 sin(α﹣

)的值是



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】利用诱导公式化简所求,结合已知即可计算得解. 【解答】解:∵cos(α+ )= ,

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∴sin(α﹣ (α

)=sin(α﹣

+



)=sin(α



)=﹣sin[



)]=cos(α+

)= .

故答案为: .

9.求过两点 A(0,4) ,B(4,6)且圆心在直线 x﹣2y﹣2=0 上的圆的标准方程 (x﹣4) 2 2 +(y﹣1) =25 . 【考点】圆的标准方程. 【分析】由圆心在直线 x﹣2y﹣2=0 上,可设圆心坐标为(2b+2,b) ,再根据圆心到两点 A (0,4) 、B(4,6)的距离相等,求出 b 的值,可得圆心坐标和半径,从而求得圆的标准 方程. 【解答】解:由于圆心在直线 x﹣2y﹣2=0 上,可设圆心坐标为(2b+2,b) , 2 2 再根据圆过两点 A(0,4) ,B(4,6) ,可得[(2b+2)﹣0] +(b﹣4) =[(2b+2)﹣4]2+ (b﹣6)2, 解得 b=1,可得圆心为(4,1) ,半径为 故所求的圆的方程为(x﹣4)2+(y﹣1)2=25, 故答案为: (x﹣4)2+(y﹣1)2=25. =5,

10.已知函数 f(x)=

,若 f(f(﹣2) )>f(k) ,则实数 k 的取值范

围为

<k<4 .

【考点】分段函数的应用. 【分析】求出 f(f(﹣2) )的值,根据分段函数的表达式,解不等式即可得到结论. 【解答】解:f(﹣2)= 则不等式等价为 f(k)<9, 若 k<0,由 ,解得 log , ,f(4)=(4﹣1)2=32=9,

若 k≥0,由(k﹣1)2<9,解得﹣2<k<4,此时 0≤k<4, 综上: 故答案为: <k<4, <k<4

11.已知经过点 A(﹣3,﹣2)的直线与抛物线 C:x2=8y 在第二象限相切于点 B,记抛物 线 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率是 ﹣ 【考点】抛物线的简单性质.
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【分析】设 B(m,

) (m<0) ,求得函数的导数,可得切线的斜率,再由两点的斜率公

式,解方程可得 m,即有 B 的坐标,运用两点的斜率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:设 B(m, 由 y= 的导数为 y′= , ) (m<0) ,

可得切线的斜率为 , ,化为 m2+6m﹣16=0,

即有 =

解得 m=﹣8(2 舍去) , 可得 B(﹣8,8) ,又 F(0,2) , 则直线 BF 的斜率是 故答案为:﹣ . =﹣ .

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosA= ,sinC=2cosB,且 a=4,则△ABC 的面积是 8 . 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】利用两角和的正弦函数公式化简 sinC=2cosB 即可得出 sinB,cosB,从而得出 sinC, 利用正弦定理求出 b,代入面积公式即可得出三角形的面积. 【解答】解:∵cosA= ,∴sinA= , ∵sinC=sin(A+B)=2cosB,∴sinAcosB+cosAsinB=2cosB, ∴ cosB+ sinB=2cosB,即 sinB=2cosB,∴tanB=2. ∴sinB= ,cosB= ,∴sinC=2cosB= .

由正弦定理得:

,即

,∴b=2



∴S△ ABC= absinC= 故答案为:8.

=8.

13. n, 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2﹣n (n∈N*) , 若存在正整数 m, 满足 am2﹣4=4 (Sn+10) , 则 m+n 的值是 23 . 【考点】数列的求和. 【分析】由已知数列的前 n 项和球星数列的首项和公差,然后将 am2﹣4=4(Sn+10)整理成 关于 m,n 的等式,在正整数的范围内求值.
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【解答】解:数列{an}的前 n 项和 Sn=n2﹣n,所以数列为等差数列,首项为 0,公差为 2, 所以 am2﹣4=4(Sn+10) ,化简为(m﹣1)2=n(n﹣1)+11,m,n 为正整数, 经验证,当 m=12,n=11 时,等式成立,故 m+n=23. 故答案为:23.

14.若实数 a,b 满足 a=

+2

,则 a 的最大值是 20 .

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【分析】 用换元法, 设 +2 =x, =y, y≥0; 则 x≥0, 求出 b 与 a 的解析式, 由 a=

得出 y 与 x 的关系式,再根据其几何意义求出 a 的最大值. =x, =y,且 x≥0,y≥0;

【解答】解:设

∴b=x2,4a﹣b=y2,即 a=

=



∴a=

+2

可化为

=y+2x,

即(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,其中 x≥0,y≥0; 又(x﹣4)2+(y﹣2)2=20 表示以(4,2)为圆心,以 2 ∴a= =

为半径的圆的一部分;

表示圆上点到原点距离平方的 ,如图所示;

∴a 的最大值是 ×(2r)2=r2=20 故答案为:20. 二.解答题 15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (1)求证:A1B∥平面 AFC; (2)求证:平面 A1B1CD⊥平面 AFC.

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【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 【分析】 (1)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 FO,要证 A1B∥平面 AFC,只需证明直线 A1B 平行平面 AFC 内的直线 FO 即可; (2)要证平面 A1B1CD⊥平面 AFC,只需证明平面 A1B1CD 内的直线 B1D 垂直平面 AFC 即可. 【解答】证明: (1)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 FO, 则点 O 是 BD 的中点. ∵点 F 为 A1D 的中点,∴A1B∥FO. 又 A1B?平面 AFC,FO? 平面 AFC, ∴A1B∥平面 AFC. (2)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 连接 B1D.∵AC⊥BD,AC⊥BB1, ∴AC⊥平面 B1BD,AC⊥B1D. 又∵CD⊥平面 A1ADD1,AF? 平面 A1ADD1, ∴CD⊥AF.又∵AF⊥A1D, ∴AF⊥平面 A1B1CD. ∵AC⊥B1D,∴B1D⊥平面 AFC. 而 B1D? 平面 A1B1CD, ∴平面 A1B1CD⊥平面 AFC.

16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个对称 π 轴之间的距离为 . (1)求 f(x)的解析式; (2)若 sinα﹣f(α)= ,求 的值.

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【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】 (1)由周期求得 ω=1,根据函数 f(x)为偶函数,求得 φ= 的解析式. (2)由 sinα﹣f(α)= ,求得 2sinαcosα= ,再利用两角差的正弦公式、二倍角公式化简 要求的式子为 2sinαcosα,从而得出结论. 【解答】解: (1)由题意函数图象上相邻的两个对称轴之间的距离为 π,可得函数的周期为 2π= ,求得 ω=1. ,k∈z, ,从而求得 f(x)

再根据函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,可得 φ=kπ+ ∴φ= ,f(x)=sin(x+ )=cosx.

(2)∵sinα﹣f(α)= ,即 sinα﹣cosα= . 平方可得 2sinαcosα= ,



=

=

=2sinαcosα= .

17.已知数列{an}为公差不为零的等差数列,其前 n 项和为 Sn,满足 S5﹣2a2=25,且 a1, a4,a13 恰为等比数列{bn}的前三项 (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 Tn 是数列{ }的前 n 项和,是否存在 k∈N*,使得等式 1﹣2Tk= 成立,

若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出; (II)利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) , ∴ ,

解得 a1=3,d=2, ∵b1=a1=3,b2=a4=9, ∴ .

(Ⅱ)由(I)可知:an=3+2(n﹣1)=2n+1.
第 10 页(共 15 页)

, ∴ ∴ 而 , , 成立. 单调递减,得 = , ,

所以不存在 k∈N*,使得等式

18. 如图, 某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、 上部是圆锥的封闭型组合体存储设备, 该组合体总高度为 8 米,圆柱的底面半径为 4 米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制 作圆柱侧面和底面的造价均为每平米 2 百元, 制作圆锥侧面的造价为每平米 4 百元, 设制作 该存储设备的总费用为 y 百元. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设 OO1=h(米) ,将 y 表示成 h 的函数关系式; ②设∠SDO1=θ(rad) ,将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你选用其中的一个函数关系式,求制作该存储设备总费用的最小值.

【考点】不等式的实际应用. 【分析】 (1)分别用 h,θ 表示出圆锥的侧面积,圆柱的侧面积和底面积,得出 y 关于 h(或 θ)的关系式; (2)求导数,判断函数的单调性,利用单调性求出最小值. 【解答】解: (1)①当 OO1=h 时,SO1=8﹣h,SC= S 圆柱底=π×42=16π,S 圆柱侧=2π×4×h=8πh,S 圆锥侧=π×4× ∴y=2(S 圆柱底+S 圆柱侧)+4S 圆锥侧=32π+16πh+16π ②若∠SDO1=θ,则 SO1=4tanθ,SD= ∵OO1≥4,∴0<tanθ≤1.∴0 (h≥4) . = . ,

.∴OO1=8﹣4tanθ. .

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∴S 圆柱底=π×42=16π,S 圆柱侧=2π×4×(8﹣4tanθ)=64π﹣32πtanθ,S 圆锥侧=π×4× = . =160π+64π( ) .

∴y=2(S 圆柱底+S 圆柱侧)+4S 圆锥侧=32π+128π﹣64πtanθ+

(2)选用 y=160π+64π(

) ,则 y′(θ)=64π

<0,

∴y(θ)在(0,

]上是减函数,

∴当

时.y 取得最小值 y(

)=160π+64π×

=96π+64

π.

∴制作该存储设备总费用的最小值为 96π+64

π.

19.如图,已知椭圆 M:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且经过过点 P(2,1) .

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆 M 上异于顶点的任意两点,直线 OA,OB 的斜 率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ . ①求 x12+x22 的值; ②设点 B 关于 x 轴的对称点为 C(点 C,A 不重合) ,试求直线 AC 的斜率.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和 P 的坐标满足椭圆方程,结合 a,b,c 的关系,解方 程可得椭圆方程; (2)①运用直线的斜率公式,可得 k1k2= 足椭圆方程,化简整理即可得到所求值;
2 = (3+4y1y2) ②由题意可得 C (x2, ﹣y2) , 运用椭圆方程可得 y12+y22= , 配方可得 (y1+y2) ,

=﹣ ,两边平方,再由点 A,B 的坐标满

(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2=6+8y1y2,再由直线的斜率公式,化简整理,即可得到所求值.

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【解答】解: (1)由题意可得 e= = 解得 a= ,b= ,



+

=1,a2﹣b2=c2,

可得椭圆标准方程为

+

=1;

(2)①由题意可得 k1k2=

=﹣ ,

即为 x12x22=16y12y22, 又点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆 M 上异于顶点的任意两点, 2 2 可得 4y1 =6﹣x1 ,4y22=6﹣x22, 即有 x12x22=(6﹣x12) (6﹣x22) , 2 2 化简可得 x1 +x2 =6; ②由题意可得 C(x2,﹣y2) , 2 2 2 2 由 4y1 =6﹣x1 ,4y2 =6﹣x2 , 可得 y12+y22= = ,

由 x12+x22=(x1﹣x2)2+2x1x2=6, 可得(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2, 由 y12+y22=(y1+y2)2﹣2y1y2= , 可得(y1+y2)2= +2y1y2= (3+4y1y2) , =﹣ ,即 x1x2=﹣4y1y2,



可得(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2=6+8y1y2, 则直线 AC 的斜率为 kAC= =± =± .

20.已知函数 f(x)=ex﹣cx﹣c(c 为常数,e 是自然对数的底数) ,f′(x)是函数 y=f(x) 的导函数. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 c>1 时,试求证: ①对任意的 x>0,不等式 f(lnc+x)>f(lnc﹣x)恒成立; ②函数 y=f(x)有两个相异的零点. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求得 f(x)的导数,讨论 c 的范围:当 c≤0 时,当 c>0 时,解不等式即可得 到所求单调区间;
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(2)①作差可得,f(lnc+x)﹣f(lnc﹣x)=c(ex﹣e﹣x﹣2x) ,设 g(x)=ex﹣e﹣x﹣2x,x >0,求出导数 g′(x) ,运用基本不等式判断单调性,即可得证; ②求出 f(x)的导数,求得单调区间和极小值,且为最小值,判断小于 0,即可得证. 【解答】解: (1)函数 f(x)=ex﹣cx﹣c 的导数为 f′(x)=ex﹣c, 当 c≤0 时,f′(x)>0 恒成立,可得 f(x)的增区间为 R; 当 c>0 时,由 f′(x)>0,可得 x>lnc;由′(x)<0,可得 x<lnc. 可得 f(x)的增区间为(lnc,+∞) ;减区间为(﹣∞,lnc) ; (2)证明:①f(lnc+x)﹣f(lnc﹣x) =elnc+x﹣c(lnc+x)﹣c﹣elnc﹣x+c(lnc﹣x)+c=c(ex﹣e﹣x﹣2x) , 设 g(x)=ex﹣e﹣x﹣2x,x>0,g′(x)=ex+e﹣x﹣2, 由 x>0 可得 ex+e﹣x﹣2>2 ﹣2=0,

即 g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)递增,可得 g(x)>g(0)=0, 又 c>1,则 c(ex﹣e﹣x﹣2x)>0, 可得不等式 f(lnc+x)>f(lnc﹣x)恒成立; ②函数 f(x)=ex﹣cx﹣c 的导数为 f′(x)=ex﹣c, c>1 时,f(x)的增区间为(lnc,+∞) ;减区间为(﹣∞,lnc) , 可得 x=lnc 处 f(x)取得极小值,且为最小值, 由 f(lnc)=elnc﹣clnc﹣c=c﹣clnc﹣c=﹣clnc<0, 可得 f(x)=0 有两个不等的实根. 则函数 y=f(x)有两个相异的零点.

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2016 年 8 月 2 日

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