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南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学试题(WORD版)


南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试


注意事项:







2014.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题纸内.试题的答案写在答题纸 上对应题目的答案空格内.考试 ... 结束后,交回答题纸. 参考公式: 1 n - - 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑ (xi- x )2,其中 x = ∑ xi. ni=1 ni=1 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上) 1.已知集合 A={-3,-1,1,2},集合 B=[0,+∞),则 A∩B= 2.若复数 z=(1+i)(3-ai)(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a= ▲ ▲ . ▲ . .

3.现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 ▲ .
S←0 For End I

5.若一组样本数据 2,3,7,8,a 的平均数为 5,则该组数据的 方差 s2= ▲ .

From 1

To

10

S ← S+I For Print S

6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点的双曲线的一条准线 1 方程为 x= ,且它的一个顶点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则该 2 双曲线的渐近线方程为 ▲ .

第4题

7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若点 P(m, 1)到直线 4x-3y-1=0 的距离为 4, P 且点 P 在不等式 2x+y≥3 表示的平面区域内,则 m= ▲ .
D E 第8题 B C

8.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° , 侧棱 PA⊥底面 ABCD,PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积 A 为 ▲ . ▲

π 9.设函数 f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数”是“φ= ”的 2 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”其中之一)

条件. (选填“充分不必要” 、

10.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x2+ (y- 1)2= 4 上存在 A,B 两点关于点 P(1,2)成中心对称,
高三数学试卷第 1 页(共 4 页)

则直线 AB 的方程为



. ▲ .

2π → → 11.在△ABC 中,BC=2,A= ,则 AB · AC 的最小值为 3

12.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果实数 t 满足 1 f(lnt)+f(ln )≤2f(1),那么 t 的取值范围是 t 13.若关于 x 的不等式 (ax- 20)lg ▲ . ▲ .

2a ≤ 0 对任意的 x> 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x

4 1 1 14.已知等比数列{an}的首项为 ,公比为- ,其前 n 项和为 Sn,若 A≤Sn- ≤B 对 n∈N*恒成立, 3 3 Sn 则 B-A 的最小值为 ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) π 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

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16.(本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分别为 BB1,AC 的中点. (1)求证:BF∥平面 A1EC; (2)求证:平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.
A1 C1 E A F C 第 16 题 B B1

17.(本小题满分 14 分) 如图, 现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通 “环岛” . 以正方形的四个顶点为圆心, 1 在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m 的圆 5 形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60 m,绕岛行驶的路宽均不小于 10 m. (1)求 x 的取值范围; (运算中 2取 1.4) (2)若中间草地的造价为 a 元/m2,四个花坛的造价为 当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
D 花坛 岛口 花坛 C

4 12a ax 元/m2,其余区域的造价为 元/m2, 33 11

岛口

草地

岛口

花坛 A 岛口 第 17 题

花坛 B

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18. (本小题满分 16 分) 3 x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点(1, )的椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0), 2 a b 过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, 点 B 关于坐标原点的对称点为 P, 直线 PA, PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 8 3 3 (2)若点 B 的坐标为( , ),试求直线 PA 的方程; 5 5 (3)记 M,N 两点的纵坐标分别为 yM,yN,试问 yM·yN 是否为定值?若是,请求出该定值;若不 是,请说明理由.
y

N
B l

O P A

F

x M

第 18 题

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+1(a,b∈R). (1)当 a≠0 时,则 a,b 满足什么条件,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线? g(x) (2)当 a=1 时,求函数 h(x)= 的单调减区间; f(x) (3)当 a=0 时,若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈R 恒成立,求 b 的取值的集合.

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20.(本小题满分 16 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,S6=22. (1)求 Sn; (2)若 从 { a n } 中 抽 取 一 个 公 比 为 q 的 等 比 数 列 { a k n} , 其 中 k 1 = 1 , 且 k1<k2<?<kn<?,kn∈N*. ①当 q 取最小值时,求{ kn}的通项公式; ②若关于 n(n∈N*)的不等式 6Sn>kn+1 有解,试求 q 的值.

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南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评 分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决 定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 指定区域内 作答.解 . . . ..... 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,

2014.01

AB , CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P ,若 PC ?

9 1 , OP ? ,求 PD 的长. 8 2

B.选修 4—2:矩阵与变换

? ? 已知曲线 C : xy ? 1 ,若矩阵 M ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程. 2 ? ? 2 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? 直线 l 的参数方程为 ?

? 2a cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,

? x ? 3t ? 2 ( t 为参数) ,若直线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值. ? y ? 4t ? 2

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x1 , x 2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2

? x3 ? 1 ,求证:

2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

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22. (本小题满分 10 分)

A(1, 2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1)若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上,记三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 , 1 1 1 ? ? 的值; 求 k1 k2 k3 (2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上,记四边 AB , BC ,CD , DA 所在直线的斜率分别为 k1 ,
已知点

k 2 , k 3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4

23.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)中,ai=2 或-2(1≤i≤2m). (1)求满足“对任意的 1≤k≤m,都有
2l

a2k-1 =-1”的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A; a2k a2k-1 ≠-1”的有序数组(a1,a2, a2k

(2)若对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,求满足“存在 1≤k≤m,使得
i=2k-1

a3,?,a2m)的个数 B.

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南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案(I)卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 26 5. 5 1 12.[ ,e] e 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 59 14. 72

2 10.x+y-3=0 11.-. 3

二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4. 1 因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,即 ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, 解方程组? 得 a=2,b=2. ?ab=4,

?????2 分 ?????4 分 ?????7 分

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= .所以 B= . 2 6 4 3 2 3 所以 a= ,b= . 3 3 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,所以 b=2a.
?a2+b2-ab=4, 2 3 4 3 解方程组? 得 a= ,b= . 3 3 b = 2 a , ?

?????10 分

?????13 分 ?????14

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 OA1=OC. 1 1 因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥AA1∥CC1,OF= AA1= CC1. 2 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC. (2)因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 由(1)知 BF∥OE.

??????4 分 ??????7 分

??????9 分

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所以 OE⊥AC,OE⊥AA1. 而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1. 因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.
≥9, ?x 100-2x≥60, 17.解: (1)由题意得,? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

??????12 分 ??????14 分

??????4 分

解得 9≤x≤15. 所以 x 的取值范围是[9,15] . (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2)2+ ax×πx2+ [104-π×( x2)2-πx2] 5 33 11 5 a 1 4 = [π(- x4+ x3-12x2)+12×104] . 11 25 3 1 4 4 令 f(x)=- x4+ x3-12x2.则 f′(x)=- x3+4x2-24x. 25 3 25 由 f′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 列表如下: x f′(x) f(x) 所以当 x=10,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 18.解: (1)由题意,得 2a= 因为 c=1,所以 b2=3. x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 8 3 3 8 3 3 (2)因为 F(1,0),B( , ),所以 P(- ,- ). 5 5 5 5 所以直线 AB 的斜率为 3. 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1). ??????7 分 ???????9 分 ??????5 分 3 (1-1)2+( -0)2+ 2 ??????14 分 9 (9,10) - ↘ 10 0 极小值 (10,15) + ↗ 15 0 ??????12 分 ??????10 分 ??????7 分

3 (1+1)2+( -0)2=4,即 a=2.??2 分 2

?x +y =1, ? 解方程组? 4 3 得点 A 的坐标为(0,- 3). ? ? y= 3(x-1),
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2

2

所以直线 PA 的方程为 y=-

3 x- 3. 4

???????10 分

(3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yM·yN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 B(-x2,-y2).
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 所以 + =1, + =1. 4 3 4 3

(x2+x1)(x2-x1) (y2+y1)(y2-y1) 两式相减, 得 + = 0. 4 3 (y2+y1)(y2-y1) 3 所以 =- =kPAk. 4 (x2+x1)(x2-x1) 3 所以 kPA=- . 4k 3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2). 4k 3(x2+4)(x2-1) 3 所以 yM=- (4+x2)-y2=- -y2. 4k 4y2 y2 4y2 直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2
2 3(x2+4)(x2-1) 4y2 所以 yM·yN=- - . x2 x2 2 2 x2 y2 2 2 因为 + =1,所以 4y2 =12-3x2 . 4 3 2 -3(x2+4)(x2-1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9. x2

???????12 分

???????14 分

所以 yM·yN 为定值-9. 19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1. 又 f(0)=1,所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1.

???????16 分

???????2 分

所以当 a∈R 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线.????4 分 x2+bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex -x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] h′(x)= =- . ex ex 由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). ?????10 分 ??????7 分

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(3)当 a=0 时,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ′(x)≥0,函数 φ(x)在 R 上是增函数. 因为 φ(0)=0,所以 x<0 时,φ(x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. ②当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb,φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb)上是减函数,在(lnb,+∞)上是增函数. (Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. 所以 φ(x)≥φ(0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}. ??????16 分 ?????12 分

2 20.解: (1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,a1=2,所以 d=3.???2 分 n(n+5) 2 所以 Sn= 3 .an=3(n+2) (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1. 要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. 8 4 32 / {an}, 若 k2=2,则由 a2=3,得 q=3,此时 a k 3= 9 ∈ 所以 k2>2,同理 k2>3. 若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2 . 2 n 1 因为 a k n=3(kn+2),所以 kn=3×2 - -2. 2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 当 q 不是自然数时,kn 不全是正整数,不合题意,所以 q≥2,q∈N*.. 2n(n+5)+2 不等式 6Sn>kn+1 有解,即 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,当 q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. ?????12 分 3 qn 以下证明当 q≥5 时,不等式 2n(n+5)+2 设 bn= . 3 qn 2(n+1)(n+6)+2 + 3 qn 1 bn+1 n2+7n+7 则 = = bn 2n(n+5)+2 3q(n2+5n+1) 3 qn 2n(n+5)+2 ≤1 恒成立. 3 qn ??????10 分
n

?????4 分

??????6 分

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= =

2n+6 2(n+3) 1 1 (1+ 2 )= (1+ ) 3q n +5n+1 3q (n+3)2-(n+3)-5 1 2 (1+ ). 3q 5 (n+3)- -1 n+3

5 因为 f(n)=(n+3)- -1 在 n∈N*上是增函数, n+ 3 7 所以 f(1)≤f(n)<+∞,即 ≤f(n)<+∞. 4 1 bn+1 5 所以 < ≤ . 3q bn 7q bn+1 因为 q≥5,所以 <1.所以数列{bn}是递减数列. bn 14 所以 bn≤b1= <1. 3q 综上所述,q 的取值为 2,3,4. ????????16 分 ????????14 分

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南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较 严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 指定 . . . .. 区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... A.选修 4—1:几何证明选讲 解:因为 P 为 AB 中点,所以 OP⊥AB.所以 PB= r2-OP2= 9 因为 PC·PD=PA·PB=PB2,PC= , 8 2 所以 PD= . 3 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上一点(x′,y′)对应于曲线 C′上一点(x,y). ??????10 分 3 . 2 ??????5 分

? 22 由? 2 ?2



? x′ x ? ?=? ?,得 2x′- 2y′=x, 2x′+ 2y′=y. ? 2 2 2 2 ?y′? ?y? 2 ? 2
2 2

???????5 分

所以 x′=

2 2 (x+y),y′= (y-x). 2 2

因为 x′y′=1,所以 y2-x2=2. 所以曲线 C′的方程为 y2-x2=2. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:直线 l 的普通方程为 4x-3y-2=0,圆 C 的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2.???5 分 由题意,得 |4a-2|
2

???????10 分

4 +(-3)

2=|a|,解得

2 a=-2 或 a= . 9

????10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 证: 因为 x1,x2,x3 为正实数,

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2 2 2 x2 x3 x1 所以 +x1+ +x2+ +x3≥2 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 x1 即 + + ≥1. x1 x2 x3

2 x2 ·x +2 x1 1

2 x3 ·x +2 x2 2

2 x1 ·x =2(x1+x2+x3)=2. x3 3

?????10 分

22. (本小题满分 10 分) 解: (1)由点 A(1,2)在抛物线 M∶y2=2px 上,得 p=2. 所以抛物线 M 的方程为 y2=4x.
2 2 y1 y2 设 B( ,y1),C( ,y2). 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 -1 - -1 4 4 4 y1+2 y2+y1 y2+2 1 1 1 4 所以 - + = - + = - + =1. ??????7 分 k1 k2 k3 y1-2 y2-y1 y2-2 4 4 4 2 y3 (2)设 D( ,y3). 4

???????3 分

1 1 1 1 y1+2 y2+y1 y3+y2 y3+2 则 - + - = - + - =0. k1 k2 k3 k4 4 4 4 4

???????10 分

23.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)中,ai=2 或-2(1≤i≤2m). a2k-1 (1)求满足“对任意的 1≤k≤m,都有 =-1”的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A; a2k
2l

(2)若对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,求满足“存在 1≤k≤m,使得
i=2k-1

a2k-1 ≠-1”的 a2k

有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 B. a2k-1 解: (1)因为对任意的 1≤k≤m,都有 a2k =-1, 所以(a2k-1,a2k)=(2,-2)或(a2k-1,a2k)=(-2,2).共有 2 种情况. 由乘法原理,得序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A=2 .
1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2Cm 种,其余的由(1)知有 2m

m

???????5 分
-1

1 m 种,所有共有 2Cm 2

-1

种.

2 当存在二个 k 时,因为对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,所以这两组共有 2Cm 种,

2l

i=2k-1

其余的由(1)知有 2m

-2

2 m 种,所有共有 2Cm 2


-2

种.? ???????10 分

1 m 1 2 m 2 m 依次类推得:B=2Cm 2 +2Cm 2 +?+2Cm =2(3m-2m).


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