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高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2

第1章 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数 学习目标 1, 1.能根据定义求函数y=C,y=x,y=x2 数. 2.掌握基本初等函数的导数公式. y= ,y= x x 的导 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 内容索引 知识梳理 题型探究 当堂训练 知识梳理 知识点一 几个常见函数的导数 1.(kx+b)′=k(k,b为常数); 2.C′=0(C为常数); 3.(x)′=1; 4.(x2)′=2x; 5.(x3)′=3x2; 1 1 6.(x)′=-x2; 7.( x)′= 1 2 x . 知识点二 基本初等函数的导数公式 1.(xα)′=αxα-1(α为常数); 2.(ax)′=axln a(a>0,且a≠1); 1 1 3.(logax)′=xlogae=xln a(a>0,且 a≠1); 4.(ex)′=ex; 1 5.(ln x)′=x; 6.(sin x)′=cos x; 7.(cos x)′=-sin x. 题型探究 类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数. π (1)y=cos 6; 解 y′=0. 1 (2)y=x5; 1 -5 解 ∵y=x5=x , 5 ∴y′=(x )′=-5x =-x6. -5 -6 解答 x2 (3)y= ; x 3 x2 解 ∵y= = 2 , x x 3 ∴y′=( x 2 )′= (4)y=lg x; 3 2 1 x2= 3 2 x. 1 解 y′= . xln 10 解答 (5)y=5x; 解 y′=5xln 5. π (6)y=cos( -x). 2 π 解 ∵y=cos(2-x)=sin x, ∴y′=(sin x)′=cos x. 解答 反思与感 悟 若给出函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解析式 进行化简或变形后求导,如根式化指数幂的形式求导. 跟踪训练1 (1)下列结论: ①(sin x)′=cos x; ②( x 3 )′= x 3 ; 1 ③(log3x)′=3ln x; 1 ④(ln x)′=x. ①④ 其中正确结论的序号是 ______. 5 2 解析 答案 (2)求下列函数的导数. 1 ①y=(1- x)(1+ )+ x; x 1 解 ∵y=(1- x)(1+ )+ x x 1-x 1 = + x= , x x 1 2 ∴y′= ? x. ? 3 2 解答 x ②y=2cos -1. 2 2 x 解 ∵y=2cos 2-1=cos x, 2 ∴y′=(cos x)′=-sin x. 解答 类型二 求函数在某一点处的导数 例 2 求函数 f(x)= 1 6 x5 在 x=1 处的导数. 解 ∵f(x)= 1 6 x5 5 6 =x 6 , 5 6 11 6 ? 5 ∴f′(x)=x ( ? )′= ? x ? , 5 ∴f′(1)=-6. 解答 反思与感 悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导, 最后将变量的值代入导函数便可求解. 3 跟踪训练 2 函数 f(x)= x,则 f′(3)=____. 6 解析 ∵f′(x)=( x)′= , 2 x 3 ∴f′(3)= = 6 . 2 3 1 1 解析 答案 类型三 利用导数研究切线问题 命题角度1 已知切点解决切线问题 例3 (1)已知P,Q为抛物线1 y= 为4,- 2,过P, Q分别作抛物线的切线,两切线交于点 ,则 (1A ,- 4) 2 x2上两点,点P,Q横坐标分别 点A的坐标为________. 解析 答案 (2)已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一 个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?并说明理 由. 解 设存在一个公共点(x0,y0),使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=y′| y′| =-sin x0. x ? x0 =cos x0,k2= x ? x0 要使两切线垂直,必须有k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即sin 2x0=2,这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂 直. 解答 反思与感 悟 解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用: (1)切点处的 导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上,这 三个条件联立方程即可解决. 1 跟踪训练3 已知函数y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则 e k= ____. 解析 设切点坐标为(x0,y0), 由题意,得 y′| x ? x 又y0=kx0, 0 1 = =k, x0 ② ① 而且y0=ln x0, ③ 1 由①②③可得 x0=e,y0=1,则 k=e. 解析 答案 命题角度2 已知斜率解决切线问题 例4 求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离. 解 2 ),依题意知,与直线x-y-2=0平行 设切点坐标为(x0 x, 0 的抛物线y=x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短. 1 ∵y′=(x )′=2x,∴2x0=1,∴x0=2, 1 1 ∴切点坐标为(2,4), 1 1 |2-4-2| 7 2 ∴所求的最短距离 d= = 8 . 2 2 解答 反思与感 悟 利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0) 处的切线方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值 问题,一般都与函数图象的切线有关 . 解题时可先利用图象分 析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算. 跟踪训练4 并在弧 已知直线l: 2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A、 上求一点P,使△ABP的面积最大. AOB B两点,O是坐标原点,


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